Schnittwinkel (Geometrie)

Ein Schnittwinkel ist in der Geometrie ein Winkel, den zwei sich schneidende Kurven oder Flächen bilden. Beim Schnitt zweier Geraden entstehen im Allgemeinen vier Schnittwinkel, von denen je zwei gegenüberliegende kongruent sind. Als Schnittwinkel wird meist der kleinere dieser beiden kongruenten Winkel bezeichnet, der dann spitz- oder rechtwinklig ist. Da Nebenwinkel sich zu 180° ergänzen, lässt sich der größere Schnittwinkel, der dann stumpf- oder rechtwinklig ist, aus diesem ermitteln.

Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Schnittwinkel zwischen den Graphen zweier reeller Funktionen lassen sich mittels der Ableitungen der Funktionen am Schnittpunkt berechnen. Schnittwinkel zwischen zwei Kurven kann man über das Skalarprodukt der Tangentialvektoren am Schnittpunkt ermitteln. Der Schnittwinkel zwischen einer Kurve und einer Fläche ist der Winkel zwischen dem Tangentialvektor der Kurve und dem Normalenvektor der Fläche am Schnittpunkt. Der Schnittwinkel zweier Flächen ist der Winkel zwischen den Normalenvektoren der Flächen und dann abhängig vom Punkt auf der Schnittkurve.

Schnittwinkel von FunktionsgraphenBearbeiten

 
Schnittwinkel zwischen den Graphen zweier linearer Funktionen

Der Schnittwinkel   zwischen den Graphen zweier linearer Funktionen mit den Steigungen   bzw.   berechnet sich mittels

 .

Die Herleitung dieser Formel erfolgt über die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen. Gilt für die Steigungen  , dann wird die Tangensfunktion unendlich und die beiden Geraden schneiden sich rechtwinklig.

Allgemeiner lässt sich auf diese Weise auch der Schnittwinkel zwischen den Graphen zweier differenzierbarer Funktionen mit den Ableitungen   bzw.   im Schnittpunkt ermitteln.

Beispiele

Die Graphen der beiden linearen Funktionen   und   schneiden sich an der Stelle   in einem  -Winkel, denn

 .

Die Exponentialfunktion   schneidet die konstante Funktion   an der Stelle   in einem Winkel von 45°, denn

 .

Schnittwinkel von Kurven und FlächenBearbeiten

Schnittwinkel zweier KurvenBearbeiten

 
Der Schnittwinkel zweier (hier kreisförmiger) Kurven ist der Winkel zwischen den Tangenten der Kurven   und   am Schnittpunkt  .

Im euklidischen Raum kann man den Schnittwinkel   zweier sich schneidender Geraden mit den Richtungsvektoren   und   durch

 

berechnen, wobei   das Skalarprodukt der beiden Vektoren und   die euklidische Norm eines Vektors ist. Allgemeiner lässt sich so auch der Schnittwinkel zweier differenzierbarer Kurven über das Skalarprodukt der zugehörigen Tangentialvektoren   und   am Schnittpunkt ermitteln.

Beispiele

Der Schnittwinkel zwischen zwei sich schneidenden Raumgeraden mit den Richtungsvektoren   und   ist

 .

Um den Schnittwinkel zwischen der Gerade   und dem Einheitskreis   im Punkt   zu berechnen ermittelt man die beiden Tangentialvektoren in diesem Punkt als   und   und damit

 .

Schnittwinkel einer Kurve mit einer FlächeBearbeiten

 
Schnittwinkel  , Gerade g, Ebene E, Projektionsgerade p
 

Der Schnittwinkel   zwischen einer Gerade mit dem Richtungsvektor   und einer Ebene mit dem Normalenvektor   ist durch

 

gegeben. Allgemeiner kann man so auch den Schnittwinkel zwischen einer differenzierbaren Kurve und einer differenzierbaren Fläche über das Skalarprodukt des Tangentialvektors der Kurve   mit dem Normalenvektor der Fläche   am Schnittpunkt berechnen. Dieser Schnittwinkel ist dann gleich dem Winkel zwischen dem Tangentialvektor der Kurve und dessen Orthogonalprojektion auf die Tangentialebene der Fläche.

Schnittwinkel zweier FlächenBearbeiten

 
Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen:  

Der Schnittwinkel   zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren   und   ist entsprechend

 .

Allgemeiner lässt sich so auch der Schnittwinkel zwischen zwei differenzierbaren Flächen ermitteln. Dieser Schnittwinkel hängt dabei im Allgemeinen von dem Punkt auf der Schnittkurve ab.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Rolf Baumann: Geometrie: Winkelfunktionen, Trigonometrie, Additionstheoreme, Vektorrechnung. Mentor 1999, ISBN 3580636367, S. 76-77
  • Andreas Filler: Elementare Lineare Algebra. Springer, 2011, ISBN 9783827424136, S. 159-161
  • Schnittwinkel In: Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 361–362

WeblinksBearbeiten

Commons: Schnittwinkel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien