Hyperboloid

quadratische Fläche im dreidimensionalen Raum

Ein Hyperboloid ist im einfachsten Fall eine Fläche, die durch Rotation einer Hyperbel um eine ihrer Achsen entsteht.

  • Bei Rotation einer Hyperbel um ihre Nebenachse entsteht ein einschaliges Hyperboloid. Es besteht aus einem zusammenhängenden Flächenstück.
  • Bei Rotation einer Hyperbel um ihre Hauptachse entsteht ein zweischaliges Hyperboloid. Es besteht aus zwei getrennten Flächenstücken.
Einschaliges Hyperboloid
Zweischaliges Hyperboloid

Beide Flächen lassen sich durch eine quadratische Gleichung – analog zu den Gleichungen von Ellipse und Hyperbel – beschreiben. Sie sind deshalb Spezialfälle von Quadriken (z. B. Kugel, Kegel, Paraboloid) und werden typischerweise von Ebenen in Kegelschnitten geschnitten.

Ein wesentlicher Unterschied zwischen einem einschaligen und einem zweischaligen Hyperboloid ist, dass das einschalige Hyperboloid Geraden enthält, es also eine Regelfläche ist, das zweischalige nicht.

Diese Eigenschaft macht das einschalige Hyperboloid für Architekten und Bauingenieure interessant, da sich einschalige Hyperboloide leicht aus Geraden modellieren lassen. Einige Kühltürme haben die Form eines einschaligen Hyperboloids. Auch im Maschinenbau finden einschalige Hyperboloide Verwendung bei Hyperboloidgetrieben,[1][2] Einschalige Hyperboloide spielen auch in der synthetischen Geometrie eine Rolle: Eine Minkowski-Ebene ist die Geometrie der ebenen Schnitte eines einschaligen Hyperboloids. Während das einschalige Hyperboloid von Tangentialebenen in zwei sich schneidenden Geraden geschnitten wird (siehe unten), hat ein zweischaliges Hyperboloid mit Tangentialebenen immer nur einen Punkt gemeinsam und ist deshalb geometrisch mehr mit einer Kugel verwandt.

EigenschaftenBearbeiten

Einschaliges EinheitshyperboloidBearbeiten

 
Einschaliges Hyperboloid: Erzeugung durch Rotation einer Hyperbel (oben) bzw. einer Geraden (unten: rot oder blau)
 
Einschaliges Hyperboloid: ebene Schnitte

Lässt man die Hyperbel   in der x-z-Ebene um die z-Achse rotieren (siehe Abbildung), so erhält man das einschalige Einheits-Hyperboloid mit der Gleichung

  •  .

Bei der Rotation wird   durch   ersetzt.

Das einschalige Einheits-Hyperboloid ergibt sich durch Rotation des Graphen der Funktion   um die  -Achse. Für die Ableitung gilt  . Das Volumen und die Oberfläche für ein einschalige Einheits-Hyperboloid mit der Höhe   ergeben sich nach den Guldinschen Regeln mithilfe von Integralen.

 
Rotationsparaboloid mit Parabeln und Höhenkreisen

VolumenBearbeiten

 

OberflächeBearbeiten

 

ParameterdarstellungBearbeiten

Offensichtlich ist jeder Höhenschnitt mit einer Ebene   ein Kreis mit Radius  . Der Schnitt der Ebene   liefert die beiden Schnittgeraden  . Durch Rotation dieser Geraden erhält man Parameterdarstellungen aller Geraden auf dem Hyperboloid:

 

Das einschalige Hyperboloid   lässt sich also auch durch Rotation der Geraden   oder   (windschief zur Rotationsachse) erzeugen (siehe Abbildung). Diese Aussage wird in der Literatur als Satz von Wren bezeichnet[3].

TangentialebenenBearbeiten

Die Gleichung der Tangentialebene einer implizit durch   gegebenen Fläche in einem Punkt   ist  .

Für H1 ergibt sich

  •  

Ebene SchnitteBearbeiten

  • Ebenen mit einer Neigung kleiner 1 (1 ist die Neigung der Geraden auf dem Hyperboloid) schneiden   in einer Ellipse,
  • Ebenen mit einer Neigung gleich 1 durch den Koordinatenursprung schneiden   in einem parallelen Geradenpaar,
  • Ebenen mit einer Neigung gleich 1 nicht durch den Koordinatenursprung schneiden   in einer Parabel,
  • Tangentialebenen schneiden   in einem sich schneidenden Geradenpaar,
  • Ebenen mit einer Neigung größer 1, die keine Tangentialebenen sind, schneiden   in einer Hyperbel.[4]

Eine Ebene, die eine Hyperboloid-Gerade   enthält, ist entweder eine Tangentialebene und enthält damit eine zweite   schneidende Hyperboloid-Gerade oder enthält eine zu   parallele Hyperboloid-Gerade und ist damit Tangentialebene in einem Fernpunkt.

Affine BilderBearbeiten

Analog wie eine beliebige Ellipse als affines Bild des Einheitskreises aufgefasst werden kann, ist ein beliebiges einschaliges Hyperboloid das affine Bild des Einheitshyperboloids  . Die einfachsten affinen Bilder erhält man durch Skalierung der Koordinatenachsen:

  •  

Im Fall   sind die Höhenschnitte Kreise. Andern falls sind es Ellipsen. Ein solches Hyperboloid nennt man einschaliges Rotationshyperboloid. Dass ein beliebiges einschaliges Hyperboloid auch immer Kreise enthält, wird in Kreisschnittebene gezeigt.

Da ein beliebiges einschaliges Hyperboloid Geraden enthält, ist es eine Regelfläche. Da jede Tangentialebene eines einschaligen Hyperboloids in der Nähe seines Berührpunktes die Fläche schneidet, hat es eine negative Gaußsche Krümmung und ist deswegen nicht abwickelbar, im Gegensatz zu den Regelflächen Kegel und Zylinder, die die Gaußsche Krümmung 0 haben. Aus der üblichen Parameterdarstellung einer Hyperbel mit Hyperbelfunktionen erhält man die folgende Parameterdarstellung des Hyperboloids  

 

Homogene KoordinatenBearbeiten

Führt man homogene Koordinaten so ein, dass die Fernebene durch die Gleichung   beschrieben wird, muss man   setzen. Nach Beseitigung des Nenners erhält man die homogene Beschreibung von   durch die Gleichung:

 .

Der Schnitt des Hyperboloids mit der Fernebene   ist ein Kreis.
Die Umformung zu   und anschließende Einführung neuer Koordinaten   liefert die Beschreibung des einschaligen Hyperboloids in homogenen Koordinaten durch die Gleichung

 

In den neuen Koordinaten schneidet die Ebene   das Hyperboloid in zwei Geraden.
Führt man jetzt wieder affine Koordinaten durch   ein, erhält man die Gleichung eines hyperbolischen Paraboloids:

 

Dies zeigt: Ein einschaliges Hyperboloid ist projektiv äquivalent zu einem hyperbolischen Paraboloid.

Zweischaliges HyperboloidBearbeiten

Zweischaliges EinheitshyperboloidBearbeiten

 
Zweischaliges Hyperboloid: Erzeugung durch Rotation einer Hyperbel
 
Zweischaliges Hyperboloid: ebene Schnitte

Lässt man die Hyperbel   in der x-z-Ebene um die z-Achse rotieren (siehe Abbildung), so erhält man das zweischalige Einheits-Hyperboloid mit der Gleichung   oder in üblicher Form

  •  .

Der Schnitt der Ebene   mit   ist ein Kreis (falls  ) oder ein Punkt (falls  ) oder leer (falls  ).   besteht aus zwei Teilen, entsprechend den zwei Teilen der Hyperbel.

Das zweischalige Einheits-Hyperboloid ergibt sich durch Rotation des Graphen der Funktion   um die  -Achse. Für die Ableitung gilt  . Das Volumen und die Oberfläche für ein zweischalige Einheits-Hyperboloid mit der Höhe   ergeben sich nach den Guldinschen Regeln mithilfe von Integralen.

VolumenBearbeiten

 

OberflächeBearbeiten

 

TangentialebenenBearbeiten

Die Tangentialebene von   in einem Punkt   hat die Gleichung (siehe oben)

  •  

Ebene SchnitteBearbeiten

  • Ebenen mit einer Neigung kleiner 1 (Neigung der Asymptoten der erzeugenden Hyperbel) schneiden   entweder in einer Ellipse oder in einem Punkt oder nicht,
  • Ebenen mit einer Neigung gleich 1 und durch den Koordinatenursprung schneiden   nicht,
  • Ebenen mit einer Neigung gleich 1 und nicht durch den Koordinatenursprung schneiden   in einer Parabel,
  • Ebenen mit einer Neigung größer 1 schneiden   in einer Hyperbel.[5]

Affine BilderBearbeiten

Ein beliebiges zweischaliges Hyperboloid ist das affine Bild des Einheitshyperboloids  . Die einfachsten affinen Bilder erhält man durch Skalierung der Koordinatenachsen:

  •  

Im Fall   sind die Höhenschnitte Kreise. Andern falls sind es Ellipsen. Ein solches Hyperboloid nennt man zweischaliges Rotationshyperboloid. Dass ein beliebiges zweischaliges Hyperboloid auch immer Kreise enthält, wird in Kreisschnittebene gezeigt.

Für ein zweischaliges Hyperboloid   ergibt sich die folgende Parameterdarstellung:

 

Homogene KoordinatenBearbeiten

Führt man wie bei   homogene Koordinaten ein, erhält man die homogene Beschreibung von   durch die Gleichung:

 .

Vertauscht man die Koordinaten   und kehrt wieder zu affinen Koordinaten zurück, ergibt sich die Gleichung der Einheitskugel:

 

Dies zeigt: Ein zweischaliges Hyperboloid ist projektiv äquivalent zu einer Kugel.

SymmetrieeigenschaftenBearbeiten

Wie Ellipsen und Hyperbeln haben auch Hyperboloide Scheitel und Nebenscheitel und Symmetrien. Die Hyperboloide  sind offensichtlich

DoppelkegelBearbeiten

Den Doppelkegel   kann man als Grenzfläche zwischen den Scharen von einschaligen bzw. zweischaligen Hyperboloiden   bzw.   auffassen. Er entsteht durch Rotation der gemeinsamen Asymptoten der Erzeuger-Hyperbeln.

Gemeinsame ParameterdarstellungBearbeiten

Es gibt verschiedene Möglichkeiten. Hyperboloide zu parametrisieren. Eine einfache Möglichkeit, das einschalige und zweischalige Hyperboloid und den Kegel zu parametrisieren, ist:

 

Für   ergibt sich ein einschaliges, für   ein zweischaliges Hyperboloid und für   ein Doppelkegel.

 
Wasserturm in Frankreich in Form eines einschaligen Hyperboloids
 
Hafenturm in Kobe (Japan) in Form eines einschaligen Hyperboloids

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum: Projektive Geometrie. Von den Grundlagen bis zu den Anwendungen (= Vieweg Studium: Aufbaukurs Mathematik). 2., durchgesehene und erweiterte Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-17241-X (online [abgerufen am 1. April 2012]).
  • Burkard Polster: A geometrical picture book. 1. Auflage. Springer, New York/ Berlin/ Heidelberg 1998, ISBN 0-387-98437-2.
  • Hermann Schaal: Lineare Algebra und analytische Geometrie. Band III. Vieweg, 1980, ISBN 3-528-13057-1.
  • Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra. Unter Einschluß der linearen Algebra. 2., überarb. und erw. Auflage. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12203-0.
  • Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik. 2., überarb. und erw. Auflage. BI-Wissenschafts-Verlag, 1999, ISBN 3-411-14101-8.

WeblinksBearbeiten

Commons: Hyperboloid – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. W. Steinhilper (Herausg.): Konstruktionselemente des Maschinenbaus 2. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-29629-8, S. 374.
  2. Modellsammlung d. Uni Göttingen: Hyperboloidgetriebe
  3. K. Strubecker: Vorlesungen der Darstellenden Geometrie. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1967, S. 218
  4. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. TU Darmstadt (PDF; 3,4 MB), S. 116.
  5. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. TU Darmstadt (PDF; 3,4 MB), S. 122.