Minkowski-Ebene

Eine Minkowski-Ebene, benannt nach Hermann Minkowski, ist im klassischen Fall eine Inzidenzstruktur, die im Wesentlichen die Geometrie der durch eine Gleichung der Form gegebenen Hyperbeln und der Geraden in der reellen Anschauungsebene beschreibt. Punkte mit denselben x- oder y-Koordinaten haben keine Verbindung, man nennt sie deshalb (+)-parallel bzw. (-)-parallel.

klassische Minkowski-Ebene: 2d/3d-Modell

Offensichtlich gilt: Durch 3 paarweise nicht parallele Punkte geht genau eine Hyperbel. Allerdings: Eine Gerade ist schon durch 2 Punkte eindeutig bestimmt. Zwei Hyperbeln können sich in 2 Punkten schneiden oder in einem Punkt berühren (gemeinsame Tangente) oder meiden. Wie bei Möbius- und Laguerre-Ebenen erhält man einfachere geometrische Verhältnisse, wenn man die Geometrie der Hyperbeln/Geraden durch Hinzunahme von weiteren Punkten homogenisiert: Einer Hyperbel fügt man die zwei Punkte und einer Gerade den Punkt hinzu und nennt die so erweiterten Hyperbel/Geraden Zykel (s. Bild). Die neue Inzidenzstruktur hat jetzt ähnliche Eigenschaften wie eine Möbius- oder Laguerre-Ebene (s. Abschnitt Axiome) und besitzt (auch wie Möbius- und Laguerre-Ebenen) ein räumliches Modell: Die klassische Minkowski-Ebene ist isomorph zur Geometrie der ebenen Schnitte eines einschaligen Hyperboloids (s. Bild) im reellen projektiven Raum. Ein einschaliges Hyperboloid ist eine Quadrik, die Geraden und nicht ausgeartete projektive Kegelschnitte enthält.

Neben diesen geometrischen Modellen der klassischen reellen Minkowski-Ebene gibt es noch die Darstellung über dem Ring der anormal-komplexen Zahlen (analog der Beschreibung der klassischen Möbius-Ebene über den komplexen Zahlen)[1]. Eine anormal-komplexe Zahl hat (wie eine komplexe Zahl) die Form aber mit .

Eine Minkowski-Ebene ist eine der 3 Benz-Ebenen: Möbius-Ebene, Laguerre-Ebene und Minkowski-Ebene. Die klassische Möbius-Ebene ist die Geometrie der Kreise und die klassische Laguerre-Ebene die Geometrie der Parabeln.

Der Name Minkowski-Ebene rührt von der Minkowski-Metrik her, mit der man pseudoeuklidische "Kreise" (Hyperbeln) beschreibt[2].

Die Axiome einer Minkowski-EbeneBearbeiten

Es sei   eine Inzidenzstruktur mit der Menge   der Punkte, der Menge   der Zykel und zwei Äquivalenzrelationen   ((+)-parallel) und   ((-)-parallel) auf der Menge der Punkte  . Für einen Punkt   definieren wir:   und  . Eine Äquivalenzklasse   oder   heißt (+)-Erzeugende bzw. (-)-Erzeugende. (Im räumlichen Modell der klassischen Minkowski-Ebene ist eine Erzeugende eine Gerade auf dem Hyperboloid.)
Zwei Punkte   heißen parallel ( ), falls   oder   gilt.

Eine Inzidenzstruktur   heißt Minkowski-Ebene, wenn die folgenden Axiome gelten:

 
Minkowski-Ebene: Axiome C1,C2
 
Minkowski-Ebene: Axiome C3,C4
(C1): Zu je zwei nicht parallelen Punkten   gibt es genau einen Punkt   mit  .
(C2): Für jeden Punkt   und jeden Zykel   gibt es genau zwei Punkte   mit  .
(C3): Zu je 3 paarweise nicht parallelen Punkten   gibt es genau einen Zykel  , der   enthält.
(C4):(Berühraxiom) Für jeden Zykel  , jeden Punkt   und jedem Punkt   und   gibt es genau einen Zykel   so, dass  , d. h.   berührt   im Punkt  .
(C5): Jeder Zykel enthält wenigstens 3 Punkte. Es gibt wenigstens einen Zykel   und einen Punkt   nicht auf  .

Für Untersuchungen einer Minkowski-Ebene sind die folgenden zu (C1) bzw. (C2) äquivalenten Aussagen von Vorteil.

(C1'): Für je zwei Punkte   gilt:  .
(C2'): Für jeden Punkt   und jeden Zykel   gilt:  .

Analog zu Möbius- und Laguerre-Ebenen sind auch hier die folgenden lokalen Strukturen affine Ebenen.

Für eine Minkowski-Ebene   und   definieren wir

 

und nennen diese Inzidenzstruktur Ableitung im Punkt  .

Bei der klassischen reellen Minkowski-Ebene ist   die reelle affine Ebene   (s. 1. Bild).

Eine direkte Konsequenz der Axiome (C1) - (C4) und (C1'), (C2') ist:

Satz: Für eine Minkowski-Ebene   ist jede Ableitung eine affine Ebene.

Hieraus ergibt sich die alternative Definition

Satz: Es sei   eine Inzidenzstruktur mit zwei Äquivalenzrelationen   und   auf der Menge der Punkte  .

  ist eine Minkowski-Ebene genau dann, wenn für jeden Punkt   die Ableitung   eine affine Ebene ist.

Das MinimalmodellBearbeiten

Das Minimalmodell einer Minkowski-Ebene lässt sich über der Menge   von 3 Elementen definieren:

 ,
  genau dann, wenn   und   genau dann, wenn   ist.

Also: Die Anzahl der Punkte ist   und die der Zykel  .

 
Minkowski-Ebene: Minimalmodell (nur die Zykel durch   sind gezeichnet)

Für endliche Minkowski-Ebenen ergibt sich aus (C1'), (C2'):

  • Es sei   eine endliche Minkowski-Ebene, d. h.  . Für jedes Paar   von Zykeln und jedes Paar   von Erzeugenden gilt:  .

Dies gibt Anlass zu folgender Definition:
Für eine endliche Minkowski-Ebene   und einen Zykel   von   nennen wir die natürliche Zahl   die Ordnung von  .

Einfache kombinatorische Überlegungen ergeben:

  • Für eine endliche Minkowski-Ebene   gilt:
a) Jede Ableitung (affine Ebene) hat die Ordnung  .
b)   c)  .

Die klassische reelle Minkowski-EbeneBearbeiten

Die formale Definition der klassischen reellen Minkowski-Ebene präzisiert die in der Einleitung beschriebene Homogenisierung der Geometrie der Hyperbeln:

 , die Menge der Punkte,
 
  die Menge der Zykel..

Die Inzidenzstruktur   heißt klassische reelle Minkowski-Ebene.

Die Menge der Punkte besteht aus  , zwei Kopien von   und dem Punkt  .
Jede Gerade   wird durch den Punkt  , jede Hyperbel   durch die zwei Punkte   ergänzt (s. 1. Bild).

Zwei Punkte   können genau dann nicht durch einen Zykel verbunden werden, wenn   oder   ist. Wir definieren:
Zwei Punkte   sind (+)-parallel ( ), wenn   ist, und (-)-parallel ( ), wenn   gilt.
Beide Relationen sind Äquivalenzrelationen auf der Menge der Punkte.
Zwei Punkte   heißen parallel ( ), wenn   oder   gilt.

  • Die hier definierte Inzidenzstruktur   erfüllt die Axiome einer Minkowski-Ebene.

Wie die klassische Möbius- bzw. Laguerre-Ebene gibt es auch für die klassische reelle Minkowski-Ebene ein räumliches Modell. Allerdings genügt eine affine Quadrik zur Beschreibung nicht:

  • Die klassische Minkowski-Ebene ist isomorph zur Geometrie der ebenen Schnitte eines einschaligen Hyperboloids im 3-dimensionalen reellen projektiven Raum.

Miquelsche Minkowski-EbenenBearbeiten

Die wichtigsten nicht klassischen Minkowski-Ebenen erhält man durch die einfache Ersetzung der reellen Zahlen im klassischen Modell durch einen beliebigen Körper  . Die so erhaltene Inzidenzstruktur   ist für jeden Körper eine Minkowski-Ebene. Analog zu Möbius- und Laguerre-Ebenen werden sie durch die entsprechende Version des Satzes von Miquel charakterisiert:

 
Satz von Miquel (Kreise statt Hyperbel)

Satz(MIQUEL)[3]: Für eine Minkowski-Ebene   gilt:

Wenn für beliebige 8 Punkte paarweise nicht parallele Punkte  , die so den Ecken eines Würfels zu geordnet werden können, dass 4 Punkte zu 5 Seitenflächen jeweils auf einem Zykel liegen, so ist dies auch für die 4 Punkte der 6. Seitenfläche der Fall (s. Bild: Für eine bessere Übersicht wurden Kreise statt Hyperbeln gezeichnet).

Die Bedeutung des Satzes von Miquel zeigt der folgende Satz von Chen:

Satz(CHEN)[4]: Nur eine Minkowski-Ebene   erfüllt den Satz von Miquel.

Aufgrund dieses Satzes heißt   eine miquelsche Minkowski-Ebene.

Bemerkung: Das Minimalmodell einer Minkowski-Ebene ist miquelsch.

Es ist isomorph zur Minkowski-Ebene   mit   (Körper  ).

Ein erstaunliches Resultat ist der

Satz(Heise)[5]: Jede Minkowski-Ebene gerader Ordnung ist miquelsch.

Bemerkung: Eine geeignete stereographische Projektion zeigt:   ist isomorph zur Geometrie der ebenen Schnitte auf einem einschaligen Hyperboloid (Quadrik vom Index 2) im 3-dimensionalen projektiven Raum über   [6].

Nicht miquelsche Minkowski-EbenenBearbeiten

Es gibt zahlreiche nicht miquelsche Minkowski-Ebenen (s. Weblink circle geometries). Aber: Es gibt keine ovoidalen Minkowski-Ebenen (Im Gegensatz zu Möbius- und Laguerre-Ebenen), weil eine quadratische Menge vom Index 2 im 3-dimensionalen projektiven Raum schon eine Quadrik ist (s. quadratische Menge)[7]. Viele nicht miquelsche Beispiele werden durch eine Verallgemeinerung des Zusammenhangs der Hyperbeln/Geraden mit den gebrochen linearen Abbildungen (projektive Gruppe  ) gewonnen[8]. Aber auch die blose Ersetzung der Hyperbeln im klassischen Modell durch die ähnlichen Kurven   liefert nicht miquelsche Minkowski-Ebenen[9].

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Walter Benz: Vorlesungen über Geometrie der Algebren. Reprint von 1973. Springer, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-88671-3, S. 45.
  2. Walter Benz: Vorlesungen über Geometrie der Algebren. Reprint von 1973. Springer, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-88671-3, S. 42.
  3. Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. (PDF; 891 kB), S. 93.
  4. Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. (PDF; 891 kB), S. 95.
  5. Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. (PDF; 891 kB), S. 110.
  6. Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. (PDF; 891 kB), S. 97.
  7. Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. (PDF; 891 kB), S. 76.
  8. Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. (PDF; 891 kB), S. 100.
  9. Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. (PDF; 891 kB), S. 113.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten