Affine Koordinaten

Affine Koordinaten sind Koordinaten, die im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra einem Punkt eines -dimensionalen affinen Raumes bezüglich einer sogenannten affinen Punktbasis zugeordnet werden, das ist eine geordnete Menge von Punkten des Raumes mit bestimmten Eigenschaften (siehe weiter unten in diesem Artikel).

Man unterscheidet dann inhomogene affine Koordinaten, die gebräuchlichste Form, bei denen die Koordinaten eines Punktes eine geordnete Menge (Tupel) von Zahlen ist, und homogene Formen, bei denen diese Koordinaten ein -Tupel bilden.

Mit Hilfe der hier beschriebenen affinen Koordinatensysteme lässt sich eine affine Abbildung durch eine Abbildungsmatrix darstellen.

Affine Koordinaten stehen in engem Zusammenhang zu Teilverhältnissen: Affine Koordinaten lassen sich in Teilverhältnisse umrechnen und umgekehrt.

In der synthetischen Geometrie werden affine Koordinaten für affine Ebenen durch eine geometrische Konstruktion, die Koordinatenkonstruktion, eingeführt. Dabei dienen Punkte einer fest gewählten Gerade der Ebene als affine Koordinaten. Für affine Ebenen über einem Körper führt dieses geometrische Konzept zu den gleichen (inhomogenen) affinen Koordinaten, wie das im vorliegenden Artikel beschriebene Vorgehen aus der analytischen Geometrie. → Siehe zu den affinen Koordinaten in der synthetischen Geometrie den Hauptartikel „Ternärkörper“.

DefinitionenBearbeiten

Affines Koordinatensystem im StandardmodellBearbeiten

Sei   ein affiner Raum mit zugehörigem  -Vektorraum  . Sei   die Dimension von  .

Dann heißen   Punkte   eine affine Basis, falls die Vektoren   eine Basis von   bilden.

In diesem Fall gibt es zu jedem   eindeutig bestimmte   mit   und  .

Dabei bedeutet die Notation  , dass für einen (und damit jeden) Punkt   die Gleichung   in   gilt.

Inhomogene, baryzentrische und homogene affine KoordinatenBearbeiten

Im affinen Raum   gibt es keinen ausgezeichneten Nullpunkt. Eine affine Basis   trägt diesem Umstand Rechnung. Wählt man einen Basisvektor beliebig aus, etwa  , so ist   eine Basis des zugehörigen Vektorraums. Für jedes   hat man also eindeutige   mit  . Daraus folgt

 

Setzt man

 ,  ,

so gilt   und  . In dieser Darstellung sind die Basispunkte   wieder gleichberechtigt, keiner der Punkte ist irgendwie ausgezeichnet.

Die Koordinaten   heißen inhomogene affine Koordinaten,   heißen baryzentrische affine Koordinaten von   bezüglich der Basis  . Die baryzentrischen Koordinaten liefern im Gegensatz zu den inhomogenen Koordinaten auch dann formal die gleiche Darstellung des Punktes  , wenn der Vektor   nicht der Nullvektor des Vektorraums ist.

Als homogene affine Koordinaten bezeichnet man die  -Tupel  . (In der Literatur wird auch häufig   verwendet). Diese Notation motiviert sich durch die Interpretation des  -dimensionale affinen Punktraumes als die durch   gegebene Teilmenge des projektiven Raumes  . Im projektiven Raum hat man vom   induzierte „homogene“ Koordinaten, wobei alle   mit   denselben Punkt wie   beschreiben, man für   also   setzen kann. Die Darstellung durch homogene Koordinaten kann unter anderem verwendet werden, um beliebige affine Abbildungen mit einer (erweiterten) Abbildungsmatrix ohne Translationsvektor zu beschreiben (→ zu dieser Koordinatendarstellung siehe Hauptartikel Homogene Koordinaten, zur erweiterten Abbildungsmatrix siehe Affine Abbildung: Erweiterte Abbildungsmatrix).

Zu einer affinen Basis   gibt es genau eine Affinität   mit  , wobei   die kanonische Basis von   sei. Ist nun  , so können die affinen Koordinaten von   bezüglich der affinen Basis   im affinen Raum   wie oben berechnet werden. Die Affinität   wird auch affines Koordinatensystem genannt; dem liegt die Vorstellung zu Grunde, dass   die Koordinaten von   nach   trägt. In dieser Auffassung ist   der Ursprung und   die Koordinatendarstellung des Ortsvektors eines Punktes  .

BeispieleBearbeiten

ZahlenbeispielBearbeiten

Sei   der dreidimensionale reelle Koordinatenraum. Dann bilden die drei Punkte   und   zusammen mit dem Ursprung   eine affine Basis. Für einen Punkt   sind die Zahlen   die affinen Koordinaten bezüglich dieser Basis.

Wählt man die affine Basis aus dem Ursprung und den Punkten  ,   und  , so sind die affinen Koordinaten   zu einem Punkt   durch   gegeben, denn es gilt

 

GeradengleichungBearbeiten

Geraden   sind eindimensionale affine Unterräume und je zwei verschiedene Punkte   bilden eine affine Basis. Die Darstellung der Punkte von   in affinen Koordinaten führt zur Geradengleichung in der sogenannten Parameterform, denn es ist

 .

GleichungssystemeBearbeiten

Die Lösungsmenge eines inhomogenen linearen Gleichungssystems bildet einen affinen Raum. Ist   eine spezielle Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und   eine Basis des Lösungsraumes des zugehörigen homogenen Systems, so bilden   eine affine Basis des affinen Lösungsraums des inhomogenen Gleichungssystems. Zu jeder Lösung   gibt es daher eindeutig bestimmte   mit   und  . Diese Betrachtung zeigt die bekannte Tatsache, dass es für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem keine ausgezeichnete spezielle Lösung gibt.

KonvexkombinationenBearbeiten

Eine Konvexkombination von   Punkten   ist eine spezielle Darstellung in baryzentrischen affinen Koordinaten  , bei der nicht nur   sondern darüber hinaus auch   für alle   gilt.

LiteraturBearbeiten

  • Gerd Fischer: Analytische Geometrie (= Rororo-Vieweg 35). Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 1978, ISBN 3-499-27035-8.
  • Hermann Schaal, Ekkehart Glässner: Lineare Algebra und analytische Geometrie. Band 1. Vieweg, Braunschweig 1976, ISBN 3-528-03056-9.
  • Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik. Für Mathematiker, Informatiker und Physiker. Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim 1990, ISBN 3-411-14101-8.