Affine Koordinaten

Affine Koordinaten sind Koordinaten, die im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra einem Punkt eines -dimensionalen affinen Raumes bezüglich einer sogenannten affinen Punktbasis zugeordnet werden, das ist eine geordnete Menge von Punkten des Raumes mit bestimmten Eigenschaften (siehe weiter unten in diesem Artikel).

Man unterscheidet dann inhomogene affine Koordinaten, die gebräuchlichste Form, bei denen die Koordinaten eines Punktes eine geordnete Menge (Tupel) von Zahlen sind, und homogene Formen, bei denen diese Koordinaten ein -Tupel bilden.

Mit Hilfe der hier beschriebenen affinen Koordinatensysteme lässt sich eine affine Abbildung durch eine Abbildungsmatrix darstellen.

Affine Koordinaten stehen in engem Zusammenhang zu Teilverhältnissen: Affine Koordinaten lassen sich in Teilverhältnisse umrechnen und umgekehrt.

In der synthetischen Geometrie werden affine Koordinaten für affine Ebenen durch eine geometrische Konstruktion, die Koordinaten­konstruktion, eingeführt. Dabei dienen Punkte einer fest gewählten Gerade der Ebene als affine Koordinaten. Für affine Ebenen über einem Körper führt dieses geometrische Konzept zu den gleichen (inhomogenen) affinen Koordinaten, wie das im vorliegenden Artikel beschriebene Vorgehen aus der analytischen Geometrie. → Siehe zu den affinen Koordinaten in der synthetischen Geometrie den Hauptartikel „Ternärkörper“.

DefinitionenBearbeiten

Affines Koordinatensystem im StandardmodellBearbeiten

Sei   ein affiner Raum mit zugehörigem  -Vektorraum  . Sei   die Dimension von  .[Anm. 1]

Dann heißen   Punkte   eine affine Basis, falls die Vektoren   eine Basis von   bilden.

In diesem Fall gibt es zu jedem   eindeutig bestimmte   mit   und  .

Dabei bedeutet die Notation  , dass für einen (und damit jeden) Punkt   die Gleichung   in   gilt.

Inhomogene, baryzentrische und homogene affine KoordinatenBearbeiten

Im affinen Raum   gibt es keinen ausgezeichneten Nullpunkt. Eine affine Basis   trägt diesem Umstand Rechnung. Wählt man einen Basisvektor beliebig aus, etwa  , so ist   eine Basis des zugehörigen Vektorraums. Für jedes   hat man also eindeutige   mit  . Daraus folgt

 

Setzt man

 ,  ,

so gilt   und  . In dieser Darstellung sind die Basispunkte   wieder gleich­berechtigt, keiner der Punkte ist irgendwie ausgezeichnet.

Die Koordinaten   heißen inhomogene affine Koordinaten,   heißen baryzentrische affine Koordinaten von   bezüglich der Basis  . Die baryzentrischen Koordinaten liefern im Gegensatz zu den inhomogenen Koordinaten auch dann formal die gleiche Darstellung des Punktes  , wenn der Vektor   nicht der Nullvektor des Vektorraums ist.

Als homogene affine Koordinaten bezeichnet man die  -Tupel  ; in der Literatur wird auch häufig alternativ   verwendet. Diese Notation motiviert sich durch die Interpretation des  -dimensionale affinen Punktraumes als die durch   gegebene Teilmenge des projektiven Raumes  . Im projektiven Raum hat man vom   induzierte „homo­gene“ Koordinaten, wobei alle     mit   denselben Punkt wie     beschreiben, man für   also   setzen kann. Die Darstellung durch homogene Koordinaten kann unter anderem verwendet werden, um beliebige affine Abbildungen (Affinitäten) mit einer (erweiterten) Abbildungsmatrix ohne Translationsvektor zu beschreiben (→ zu dieser Koordinatendarstellung siehe Hauptartikel Homogene Koordinaten, zur erweiterten Abbildungsmatrix siehe Affine Abbildung: Erweiterte Abbildungsmatrix).

Zu einer affinen Basis   gibt es genau eine Affinität   mit  , wobei   die kanonische Basis von   sei. Ist nun  , so können die affinen Koordinaten von   bezüglich der affinen Basis   im affinen Raum   wie oben berechnet werden. Die Affinität   wird manchmal auch affines Koordinatensystem genannt; dem liegt die Vorstellung zu Grunde, dass   die Koordinaten von   nach   trägt.[Anm. 2] In dieser Auffassung ist   der Ursprung und   die Koordinatendarstellung des Ortsvektors eines Punktes  .

Schwerpunkt und KoordinatenBearbeiten

Eine alternative Darstellung nach Thomas Zink von der Universität Bielefeld (2015) verdeutlicht den Zusammenhang mit Begriff des Schwerpunkts:[1]

Gewichtete PunkteBearbeiten

Sei   ein affiner Raum über einem Körper  . Ein geordnetes Paar (p, \lambda) mit einem Punkt   und einem Skalar   nennt man auch einen „gewichteten Punkt“.

Sei nun   eine Sequenz von   gewichteten Punkten mit  .

SchwerpunktBearbeiten

Als Schwerpunkt der Sequenz bezeichnet man einen Punkt   genau dann, wenn für alle Punkte   gilt:

 ,

d. h.

 

Siehe Anmerkungen.[Anm. 3]

Als Gewicht der Sequenz bezeichnet man die Summe der einzelnen Gewichte  .

Mit den auf Summe 1 normierten Gewichten   gilt dann:

 .

Rahmen (Basis)Bearbeiten

Ein (n+1)-Tupel   von Punkten   nennt man einen Rahmen (auch Basis des affinen Raums genannt), wenn die Verbindungsvektoren   eine Basis   des Vektorraums   bilden;   heißt dann Ursprung und   ein affines Koordinatensystem.[2]

Punkt als Schwerpunkt seiner baryzentrisch KoordinatenBearbeiten

Für   nennt man   die baryzentrischen Koordinaten von   bezüglich des Rahmens  , wenn   der Schwerpunkt der mit diesen Koordinaten gewichteten Rahmenpunkte   ist. Es gilt dann:

 .

Für auf Gewicht 1 normierte baryzentrische Koordinaten   gilt:

 .

Wie man sieht, deckt sich diese Definition inhaltlich mit der obigen.

BeispieleBearbeiten

ZahlenbeispielBearbeiten

Sei   der dreidimensionale reelle Koordinatenraum. Dann bilden die drei Punkte   und   zusammen mit dem Ursprung   eine affine Basis. Für einen Punkt   sind die Zahlen   die affinen Koordinaten bezüglich dieser Basis.

Wählt man die affine Basis aus dem Ursprung und den Punkten  ,   und  , so sind die affinen Koordinaten   zu einem Punkt   durch   gegeben, denn es gilt:

 

GeradengleichungBearbeiten

Geraden   sind eindimensionale affine Unterräume und je zwei verschiedene Punkte   bilden eine affine Basis. Die Darstellung der Punkte von   in affinen Koordinaten führt zur Geradengleichung in der sogenannten Parameterform, denn es ist

 .

GleichungssystemeBearbeiten

Die Lösungsmenge eines inhomogenen linearen Gleichungssystems bildet einen affinen Raum. Ist   eine spezielle Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und   eine Basis des Lösungsraumes des zugehörigen homogenen Systems, so bilden   eine affine Basis des affinen Lösungsraums des inhomogenen Gleichungssystems. Zu jeder Lösung   gibt es daher eindeutig bestimmte   mit   und  . Diese Betrachtung zeigt die bekannte Tatsache, dass es für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem keine ausgezeichnete spezielle Lösung gibt.

KonvexkombinationenBearbeiten

Sei gegeben ein affiner Raum über einem geordneten Körper   wie z. B.  . Eine Konvexkombination von   Punkten   ist eine spezielle Darstellung in baryzentrischen affinen Koordinaten  , bei der nicht nur   sondern darüber hinaus auch   (nichtnegativ) für alle   gilt.

AnmerkungenBearbeiten

  1. Der Verbindungsvektor von eines Punktes   zu einem Punkt   sei mit   bezeichnet.
  2. Mit den Zuweisungen   erhält man mit   eineindeutig ein Koordinatensystem nach obigem Sprachgebrauch (Ursprung + Basisvektoren).
  3. Anmerkungen zu diesem Ansatz:
    1. Auf die Reihenfolge der gewichteten Punkte kommt es nicht an.
    2. Es wird hier bewusst nicht vorausgesetzt, dass die Gewichte nichtnegativ sind. In der praktischen Anwendung könnte etwa der Auftrieb dafür sorgen, dass negative Gewichte vorkommen.
    3. Wenn obige Beziehung für einen Punkt   gilt, dann für alle  . Sei nämlich  . Dann ist   und
       
       
     .

LiteraturBearbeiten

  • Gerd Fischer: Analytische Geometrie (= Rororo-Vieweg 35). Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 1978, ISBN 3-499-27035-8.
  • Hermann Schaal, Ekkehart Glässner: Lineare Algebra und analytische Geometrie. Band 1. Vieweg, Braunschweig 1976, ISBN 3-528-03056-9.
  • Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik. Für Mathematiker, Informatiker und Physiker. Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim 1990, ISBN 3-411-14101-8.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Thomas Zink: Baryzentrische Koordinaten. Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld. 20. November 2015, 3 Seiten.
  2. Definition: affines Koordinatensystem. Auf: Mathematik [Universität Stuttgart] (Spezialfall  )