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Linearkombination

Begriff der Mathematik
(Weitergeleitet von Konvexkombination)

DefinitionBearbeiten

Linearkombinationen endlich vieler VektorenBearbeiten

Sei   ein Vektorraum über dem Körper  . Außerdem seien endlich viele Vektoren   aus   gegeben. Dann nennt man jeden Vektor  , der sich in der Form

 

mit Skalaren   schreiben lässt, eine Linearkombination von  . Die Faktoren   in der obigen Darstellung nennt man die Koeffizienten der Linearkombination. Auch die Darstellung selbst wird als Linearkombination bezeichnet.

Beispiel: Im dreidimensionalen (reellen) Vektorraum   ist der Vektor   eine Linearkombination der Vektoren   und  , denn

 

Die Koeffizienten   und   sind in diesem Beispiel reelle Zahlen, denn   ist ein reeller Vektorraum.

Linearkombinationen beliebig vieler VektorenBearbeiten

Linearkombinationen von unendlich vielen Elementen betrachtet man nur unter der Voraussetzung, dass in Wirklichkeit nur endlich viele hiervon in der Summe verwendet werden.

Sei   ein Körper und   ein  -Vektorraum. Ferner sei   eine durch die Indexmenge   indizierte Familie von Vektoren  . Hat man dann zu jedem   einen Koeffizienten   derart, dass fast alle Koeffizienten Null sind, so ist

 

die zugehörige Linearkombination. Dass nur endlich viele Koeffizienten (und damit Summanden) von 0 verschieden sind, ist erforderlich, damit die Summe überhaupt definiert werden kann. Eine konvergente Reihe ist also im Allgemeinen keine Linearkombination ihrer Summanden.

Linearkombinationen in LinksmodulnBearbeiten

In einer weiter gehenden Verallgemeinerung ergibt der Begriff der Linearkombination bereits einen Sinn, wenn man Ringe statt Körpern und Linksmoduln statt Vektorräumen betrachtet. Viele der aus der linearen Algebra bekannten, einfachen Operationen lassen sich auch in dieser Allgemeinheit durchführen, lediglich das Auflösen nach einem Vektor aus einer Linearkombination kann misslingen, denn dazu muss man mit dem Inversen des Koeffizienten vor diesem Vektor multiplizieren und der Ring enthält diese Inversen in der Regel nicht.

AllgemeinesBearbeiten

In einem Vektorraum   ist jede Linearkombination von Vektoren wieder ein Element des Vektorraums. Die Menge aller Linearkombinationen einer Menge von Vektoren wird ihre lineare Hülle genannt, sie ist stets ein Untervektorraum von  . Lassen sich alle Vektoren in   als Linearkombination aus einer Menge   darstellen, dann ist   ein Erzeugendensystem von  .

Der Nullvektor eines Vektorraums lässt sich immer als Linearkombination einer gegebenen Menge von Vektoren ausdrücken. Sind alle Koeffizienten einer solchen Linearkombination gleich 0 (Nullelement des zugrundeliegenden Körpers), so spricht man von einer trivialen Linearkombination. Sind die gegebenen Vektoren linear abhängig, so lässt sich der Nullvektor auch als nicht triviale Linearkombination schreiben. Allgemein sind die Koeffizienten einer Linearkombination von Vektoren genau dann eindeutig bestimmt, wenn die Vektoren linear unabhängig sind.

Linearkombinationen, deren Koeffizienten nicht beliebige reelle oder komplexe Zahlen, sondern ganze Zahlen sind (man spricht dann auch von einer ganzzahligen Linearkombination), spielen beim erweiterten euklidischen Algorithmus eine zentrale Rolle; er liefert eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers zweier ganzer Zahlen   als Linearkombination von   und  :

 .

SpezialfälleBearbeiten

Die hier betrachteten speziellen Linearkombinationen verwenden eine Ordnung auf dem Koeffizientenkörper, sie beschränken sich daher auf  - oder  -Vektorräume.

Positive KoeffizientenBearbeiten

  • Sind die Koeffizienten   der Linearkombination alle größer oder gleich null, so spricht man von einer konischen Linearkombination. Sind die Koeffizienten der Linearkombination alle echt größer als null, so spricht man von einer Positivkombination.

Affine KombinationBearbeiten

  • Ist die Summe der Koeffizienten gleich 1, so handelt es sich um eine Affinkombination. Diese Definition ist für beliebige Linksmoduln möglich.

KonvexkombinationBearbeiten

In reellen Räumen nennt man eine Linearkombination Konvexkombination, wenn alle Koeffizienten aus dem Einheitsintervall [0,1] stammen und deren Summe 1 ergibt:

 .

Dabei kann die Bedingung   entfallen, denn sie ergibt sich automatisch aus der Summenbedingung und der Nichtnegativität der Koeffizienten. Mit obigen Bezeichnungen gilt daher in reellen Räumen: Eine Linearkombination ist genau dann eine Konvexkombination, wenn sie konisch und affin ist.

Konvexkombinationen von Konvexkombinationen sind wieder Konvexkombinationen. Die Menge aller Konvexkombinationen einer vorgegebenen Menge von Vektoren heißt deren konvexe Hülle.

LiteraturBearbeiten