Baryzentrische Koordinaten

Begriff aus der Mathematik

Baryzentrische Koordinaten (auch homogene baryzentrische Koordinaten) dienen in der linearen Algebra und in der Geometrie dazu, die Lage von Punkten in Bezug auf eine gegebene Strecke, ein gegebenes Dreieck, ein gegebenes Tetraeder oder allgemeiner ein gegebenes Simplex zu beschreiben.

Die baryzentrischen Koordinaten eines Punktes (blau) sind die Verhältnisse dreier Massen in den Ecken eines Dreiecks (rot), deren Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) der Punkt ist. In diesem Beispiel hat die baryzentrischen Koordinaten .
Die Verbindung zwischen Physik und Geometrie liefert die Gleichung des Hebelgesetzes: Danach ist das Verhältnis der Massen gleich dem Verhältnis der Strecken , die die Lage des Schwerpunktes beschreiben.

Ebene baryzentrische Koordinaten eines Punktes kann man sich als Verhältnisse von drei Massen vorstellen, die sich in den Ecken eines vorgegebenen Dreiecks befinden und deren Schwerpunkt ist (siehe Bild). Da es dabei nur auf Verhältnisse ankommt, schreibt man . Sind alle Massen gleich, ist der geometrische Schwerpunkt des Dreiecks und hat die baryzentrischen Koordinaten . Ihre geometrische Bedeutung erhalten die baryzentrischen Koordinaten durch die folgenden Eigenschaften: Im 1-Dimensionalen ist das Massenverhältnis gleich einem Verhältnis von Teilstrecken (siehe 2. Bild), im 2-Dimensionalen sind die Massenverhältnisse gleich Flächenverhältnissen von Teildreiecken.

Baryzentrische Koordinaten wurden zuerst von A. F. Möbius 1827 in seinem Buch Der baryzentrische Calcul eingeführt.[1][2] Sie sind ein Spezialfall homogener Koordinaten. Ein wesentlicher Unterschied zu den üblichen homogenen Koordinaten, z. B. in der Ebene, ist die Beschreibung der Ferngerade durch die Gleichung statt durch .

Insbesondere in der Dreiecksgeometrie spielen die baryzentrischen Koordinaten, neben den trilinearen Koordinaten, eine wesentliche Rolle. Überall, wo es um Verhältnisse von Strecken geht, wie zum Beispiel in dem Satz von Ceva, sind sie ein geeignetes Werkzeug. Aber nicht nur in der Geometrie, sondern auch im Bereich des computer-aided Design verwendet man sie zur Erzeugung von dreieckigen Flächenstücken, den dreieckigen Bézierflächen.[3][4]

In den Abschnitten Definition und Im Raum werden die in der Mathematik üblichen Bezeichnungen benutzt. In den Abschnitten Auf einer Gerade, In einer Ebene werden die Koordinaten mit bezeichnet, um an ihre Beziehung zu Massen und deren Schwerpunkt zu erinnern, was für das Verständnis oft eine Hilfe ist.

Definition und EigenschaftenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Es seien   die Ortsvektoren der Ecken   eines Simplex in einem affinen Raum  . Der affine Raum hat dann die Dimension  . Falls es für einen Punkt   in   Zahlen   gibt, deren Summe nicht Null ist und die Gleichung

(G) 

erfüllt, sagt man   sind baryzentrische Koordinaten des Punktes   bezüglich der Punkte   und schreibt  . Für die Ecken gilt offensichtlich

 .

Baryzentrische Koordinaten sind nicht eindeutig: Für jedes   ungleich Null beschreibt auch   den Punkt  . D.h.: Nur die Verhältnisse der Koordinaten sind wesentlich. An diese Eigenschaft soll die Schreibweise mit   erinnern. Man kann baryzentrische Koordinaten als homogene Koordinaten eines  -dimensionalen projektiven Raums   auffassen, von dem der affine Raum   ein Teil ist. Und zwar sind die Punkte von   diejenigen Punkte von  , die nicht in der durch die Gleichung   bestimmten Hyperebene (Fernhyperebene) liegen.

Gleichung (G) ist ein unterbestimmtes homogenes lineares Gleichungssystem, das sich in der üblichen Form

(G') 

schreiben lässt.

Erfüllen die Koordinaten   zusätzlich die Normierungsbedingung

(N)  

so spricht man von normierten baryzentrischen Koordinaten. In diesem Fall sind die Zahlen   eindeutig bestimmt (s. unten) und man kann den Punkt   (Ursprungsgerade) auch als affinen Punkt   der Hyperebene des   mit der Gleichung   auffassen. Um die Normierung formal sicher zu stellen, kann man (N) nach einer Koordinate auflösen und in das n-tupel einfügen. Löst man z. B. nach   auf, ergibt sich  .

Hinweis: Die Begriffe werden nicht einheitlich verwendet. Viele Autoren sprechen nur dann von baryzentrischen Koordinaten, wenn die Normierungsbedingung erfüllt ist.
Normierte baryzentrische Koordinaten lassen sich einfach ermitteln, indem man jede einzelne baryzentrische Koordinate durch die Summe der Koordinaten dividiert.

EigenschaftenBearbeiten

Punkt im Simplex:
Falls die Koordinaten positiv sind, so liegt der Punkt   in der konvexen Hülle von  , also im Simplex mit diesen Eckpunkten. Die Darstellung eines Punktes innerhalb einer konvexen Hülle als Summe von Eckpunkten eines Simplex wird affine Kombination oder baryzentrische Kombination genannt.

Massenmittelpunkt:
Wie man aus der Umstellung

(S) 

der Definitionsgleichung (G) sieht, kann man   als Massenmittelpunkt (das Baryzentrum) einer Anordnung von Massen   an den Eckpunkten   des Simplex auffassen. Dies ist der Ursprung des Begriffs baryzentrisch.
Physikalische Bedeutung der
Gleichung (G): Die Gesamtmasse im Schwerpunkt   verursacht im Nullpunkt dasselbe Drehmoment wie die Einzelmassen,
Gleichung (G'): Die Summe der von den Einzelmassen erzeugten Drehmomente ist im Schwerpunkt   gleich 0.

Mittelpunkt zweier Punkte:
Sind   die normierten (!) baryzentrischen Darstellungen zweier Punkte  , dann hat der Mittelpunkt   die baryzentrische Darstellung

 

Existenz, Eindeutigkeit normierter Koordinaten:
Normierte baryzentrische Koordinaten sind eindeutig bestimmt. Denn, versucht man das durch (G') und (N) beschriebene inhomogene lineare Gleichungssystem mit Hilfe der Cramerschen Regel zu lösen, ist die Determinante im Nenner ungleich Null, da sie, bis auf einen Faktor, im ebenen Fall (n=3) die orientierte Fläche des Dreiecks und im 3-dimensionalen Fall (n=4) das orientierte Volumen des Tetraeders ist (siehe unten).

Lässt man die Bedingung (N) wieder fallen, hat das lineare homogene System (G') 1-dimensionale Lösungen (Punkte des oben erwähnten projektiven Raums  ). Für größeres   gilt Entsprechendes.

Unabhängigkeit von Nullpunkt und Skalierung:
Dass die baryzentrischen Koordinaten nicht von dem zufällig gewählten Nullpunkt des affinen Raums   abhängen, erkennt man dadurch, dass eine Verschiebung der Vektoren   um einen festen Vektor   die Definitionsgleichung (G) unverändert lässt. Dasselbe gilt für eine uniforme Skalierung (Multiplikation der Vektoren mit einem festen Faktor ungleich Null).

Beispiel:
In der Ebene besteht ein Simplex aus 3 Punkten (Dreieck), d. h. es ist   und jeder Punkt hat 3 baryzentrische Koordinaten:  . Zum Beispiel hat der geometrische Schwerpunkt des Dreiecks die baryzentrische Darstellung  , denn es ist   Die normierte Darstellung ist  

Vorteil, Nachteil:
Wie man in dem Beispiel sieht, lassen sich wesentliche Punkte z. B. von Dreiecken einheitlich und einfach beschreiben. Bei Berechnungen müssen nicht die speziellen (affinen) Koordinaten eines gegebenen Dreiecks berücksichtigt werden. Wie man affine Koordinaten in baryzentrische Koordinaten umrechnet, wird in den folgenden Abschnitten gezeigt. Ein gewisser Nachteil baryzentrischer Koordinaten ist allerdings: Sie sind nicht eindeutig (im nicht normierten Fall) und es gibt immer 1 Koordinate mehr als die affinen Koordinaten.

Unterschied zu anderen homogenen Koordinaten: Beispiel n=3
Üblicherweise führt man homogene Koordinaten so ein, dass die Ferngerade durch eine Koordinatenebene, z. B. durch  , beschrieben wird. Dies hat den Vorteil, dass ein einfacher Zusammenhang zu den affinen Koordinaten, die die zugehörige affine Ebene (projektive Ebene ohne die Punkte der Ferngerade) beschreiben, besteht: Ein affiner Punkt hat die Koordinaten  . Es besteht allerdings der Nachteil, dass die zu den Koordinatenachsen gehörigen projektiven Punkte   keine affinen Punkte sind. Nur der Punkt   wird zu einem affinen Punkt. Baryzentrische Koordinaten haben keine so einfache Beziehung zu den affinen Koordinaten. Dafür liegen alle den Koordinatenachsen entsprechenden projektiven Punkte   im affinen Bereich, denn die Ferngerade wird hier durch die Gleichung   beschrieben.

Auf einer Gerade (n=2, Strecke)Bearbeiten

Der Schwerpunkt   zweier Massen  , die auf der  -Achse an den Stellen   platziert sind, ist die Stelle  , wo das Hebelgesetz (Kraft x Kraftarm = Last x Lastarm, siehe 2. Bild) erfüllt ist. Genauer: Wo die Summe der Drehmomente gleich Null ist[5] und damit gilt:

(G'2)  

Diese Gleichung ist äquivalent zu (siehe Abschnitt Definition)

(G2)  

Auflösen nach   ergibt:

(S2)  

Lässt man negative Massen zu, z. B.  , so ergibt sich aus (G2) für   die Gesamtmasse   und  .

Eine Lösung von (G'2) ist  . Alle Lösungen sind Vielfache davon. Also hat der Schwerpunkt die baryzentrische Darstellung (siehe Abschnitt Definition)

 
Baryzentrische Koordinaten als Verhältnis von Strecken
(B2)  

Dabei ist  

 
Baryzentrische Koordinaten auf einer Gerade (unten). Der Mittelpunkt der Strecke   hat die baryzentrischen Koordinaten  

Dieser einfache Zusammenhang der baryzentrischen Koordinaten mit Verhältnissen von Teilstrecken ist der Grund für ihre Bedeutung in der Dreiecksgeometrie.
Die Aussage (B2) ist der Lehrsatz in §21, S. 25, des Buches von Möbius.

Die normierten baryzentrischen Koordinaten müssen zusätzlich zu (G'2) die Bedingung

(N2)  

erfüllen. Löst man das inhomogene Gleichungssystem bestehend aus den Gleichungen (G'2), (N2) mit Hilfe der Cramerschen Regel, ergibt sich die normierte Darstellung

(NB2)  

Beispiel: Der Mittelpunkt   der Punkte   besitzt die baryzentrischen Koordinaten   und in normierter Darstellung  

In einer Ebene (n=3, Dreieck)Bearbeiten

Umrechnung der KoordinatenBearbeiten

Sind in den Ecken eines Dreiecks   drei Massen   platziert, so sind die Gleichgewichtsgleichungen für die Drehmomente um die Koordinatenachsen

(G'3) 

oder in der Form (siehe Definition)

(G3) 

Der Schwerpunkt hat die Koordinaten

(S3) 

Baryzentrische Koordinaten eines gegebenen Punktes  , erhält man durch Lösen des unterbestimmten homogenen Systems (G'3) nach  . Nimmt man die Normierungsgleichung

(N3)  
hinzu, ist das jetzt inhomogene LGS eindeutig und mit Hilfe der Cramerschen Regel lösbar. Es ergibt sich:
 
 
(NB3)  
Der gemeinsame Nenner ist der doppelte Flächeninhalt des Dreiecks, also ungleich Null.
Wegen   genügt es, zwei der drei Brüche zu berechnen.
Alle Zähler lassen sich als  -Determinanten schreiben. Verzichtet man auf die Normierung, darf bei den baryzentrischen Koordinaten der gemeinsame Nenner weggelassen werden:
(B3) 
Multipliziert man jede Determinante mit  , entstehen die orientierten Flächen   der Teildreiecke  ,  ,   (siehe auch den nächsten Abschnitt Beziehung zu trilineare Koordinaten). Damit gilt:
(BF3) 

Aussage (BF3) ist der Lehrsatz in §23, S. 26, des Buches von Möbius.

Spezialfall: Koordinatendreieck:

Für das spezielle rechtwinklige Dreieck   als Bezugsdreieck hat ein Punkt   die einfachen baryzentrischen Koordinaten  .

Geraden, Schnittpunkte, ParallelitätBearbeiten

 
In den Punkten   befinden sich die Massen  .
Die lilafarbigen parallelen Geraden haben die jeweils angegebenen Gleichungen. Ihr gemeinsamer Fernpunkt hat die Koordinaten  
Die Koordinaten der Rasterpunkte sind normiert.
  • Die Ecken des Dreiecks haben die homogenen Koordinaten
 .
  • Die Gerade durch die Punkte   wird durch die Gleichung   beschrieben und hat den Fernpunkt  . …
  • Die Ferngerade ist durch die Gleichung   festgelegt.
  • Eine beliebige Gerade wird durch eine Gleichung   beschrieben (s. homogene Koordinaten).
  • Drei Geraden
 
 
 
haben einen Punkt gemeinsam, wenn

 .

  • Zwei Geraden   sind parallel, wenn sie sich auf der Ferngerade schneiden, d. h., wenn

 .

  • Drei Punkte  ,   und   liegen genau dann auf einer Geraden, wenn

 

  • Hieraus ergibt sich die Gleichung   einer Gerade durch zwei vorgegebene Punkte   in Determinantenform:

 

Beziehung zu trilinearen KoordinatenBearbeiten

 
Grundseite und Höhe eines Teildreiecks

Für die Flächen   der Teildreiecke in (BF3) gilt  , wobei   die Grundseiten (Seiten des Dreiecks) und die Höhen der Teildreiecke sind (siehe Bild). Also gilt

(BT3)  

Die Beziehung (BT3) zeigt den einfachen Zusammenhang der baryzentrischen Koordinaten mit den trilinearen Koordinaten   eines Punktes. Für ein gleichseitiges Dreieck sind die baryzentrischen und trilinearen Koordinaten gleich. Die Ferngerade hat in baryzentrischen Koordinaten die Gleichung  . In trilinearen Koordinaten ist die Gleichung noch von den Seitenlängen   des Dreiecks abhängig:  

Besondere Punkte, EulergeradeBearbeiten

geometrischer Schwerpunkt

  ist der geometrische Schwerpunkt, wenn alle Massen gleich sind. Seine baryzentrischen Koordinaten sind also   Wegen (BF3) und   gilt

  und  

(Siehe hierzu auch Geometrischer Schwerpunkt.)

Parameterdarstellung einer Gerade

Eine Gerade durch zwei Punkte   hat für Punkte   die Darstellung

 
 
Projektion eines Punktes auf die Seite gegenüber einer Ecke
Projektion auf eine Seite

Projiziert man einen Punkt   von der Ecke   aus auf die gegenüberliegende Seite (die Gerade hat die Gleichung  ), so erhält man den Punkt   (siehe Bild). Sind die Koordinaten von   normiert, teilt   die Strecke   im Verhältnis  . Ist z. B. der Punkt der geometrische Schwerpunkt  , so wird er auf die Seitenmitte   projiziert und teilt die Strecke   im Verhältnis  .
Entsprechendes gilt für die Projektionen von den anderen Ecken aus.

Inkreismittelpunkt, Ankreismittelpunkte
 
Zu Inkreismittelpunkt und Ankreismittelpunkte:
Die Flächeninhalte der Dreiecke   und   haben verschiedene Vorzeichen

Für den Inkreis des Dreiecks gilt   (Inkreisradius) und damit (s. (BT3)) hat der Inkreismittelpunkt die baryzentrischen Koordinaten   und wegen   gilt   Mit Hilfe des Sinussatzes ergibt sich für den Inkreismittelpunkt auch eine Darstellung mit den Winkeln:

 

wobei   der Winkel bei   ist.

Die Winkelhalbierende der Ecke   (Gerade  ) hat die Gleichung

 

Sie schneidet die Seite   (Gleichung  ) im Punkt  . (  kann auch als Projektion von   auf die Seite   angesehen werden.) Wegen (B2) gilt:

  Analog für die anderen Winkelhalbierenden.

Dies ist der Winkelhalbierendensatz für das Dreieck   .

Da die Dreiecksflächen orientiert sind, kann   und damit auch   negative Werte annehmen, jenachdem, ob   auf derselben Seite der zu   gehörigen Dreiecksseite liegt wie die Ecke   oder nicht. Beim Inkreismittelpunkt haben alle   dasselbe Vorzeichen. Bei einem Ankreismittelpunkt haben (wie beim Inkreismittelpunkt) alle Abstände die Länge des Ankreisradius, aber einer der Abstände hat ein von den beiden anderen verschiedenes Vorzeichen. Damit ergeben sich die baryzentrischen Darstellungen der Ankreismittelpunkte:

 

Analog zum Inkreisradius ergibt sich für die Ankreisradien:

 
 
 : Nagel-Punkt. Er liegt mit dem geometrischen Schwerpunkt   und dem Inkreismittelpunkt   auf einer Gerade.   teilt die Strecke   im Verhältnis 2:1
Nagelpunkt

Aus der Beschreibung der Lage der Berührpunkte der Ankreise auf den Dreiecksseiten erkennt man ihre baryzentrische Darstellung:

 
 
 

  ist offensichtlich die Projektion (siehe oben) des Punktes

 

von der Ecke   aus auf die gegenüberliegende Seite. D.h.:

Die drei Geraden   schneiden sich im Punkt  , dem Nagel-Punkt.

Die Matrix

 

beschreibt (in baryzentrischen Koordinaten) die zentrische Streckung am geometrischen Schwerpunkt   mit dem Faktor   (siehe Abschnitt Steiner-Ellipse, Steiner-Inellipse). Bildet man   damit ab, erhält man den Inkreismittelpunkt  . Dies zeigt:

Die Punkte   liegen auf einer Gerade durch   und   teilt die Strecke   im Verhältnis 2:1.
 
Umkreismittelpunkt  
Umkreismittelpunkt

Der Umkreismittelpunkt   hat zu den Ecken den gleichen Abstand  , den Umkreisradius. Der Winkel bei   im Teildreieck   ist wegen des Kreiswinkelsatzes doppelt so groß wie der Winkel   bei  . Also ist die Fläche  . Entsprechendes gilt für  . Damit sind die baryzentrischen Koordinaten des Umkreismittelpunktes

 

Aus   und den Kosinussätzen für die drei Winkel ergibt sich die winkelfreie Darstellung

 
 
Höhenschnittpunkt  
Höhenschnittpunkt

Ist   der Höhenschnittpunkt, so ist   der Fußpunkt der Höhe   (siehe Bild) und es gilt   Wegen (B2) ist   Analog ergeben sich die anderen Verhältnisse. Damit hat der Höhenschnittpunkt die baryzentrischen Koordinaten

 

Falls ein Winkel   ist, z. B.  , so ist  .

Spieker-Punkt
 
Spieker-Punkt eines Dreiecks

Belegt man die Seiten   eines Dreiecks   gleichmäßig mit Masse, so nennt man den zugehörigen Kantenschwerpunkt Spieker-Punkt. (Ecken- und Flächenschwerpunkt eines Dreiecks sind identisch: der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.) Denkt man sich die Masse einer Seite in ihrem Schwerpunkt, dem Mittelpunkt   konzentriert, so ist der Spieker-Punkt   der Schwerpunkt des Dreiecks   mit den Seitenlängen   als Massenbelegungen in den Ecken. Aus   und (S3) folgt:

 
 

Analog ergibt sich die y-Koordinate.

 
Spieker-Punkt als Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks  

Hieraus erkennt man die baryzentrischen Koordinaten des Spieker-Punktes:

 

Bedeutung von   für das Dreieck  :
Aus den obigen Überlegungen (Masse   im Punkt  ) folgt direkt die baryzentrische Darstellung von   bezüglich des (grünen) Dreiecks  :

 

Da   die Länge der dem Punkt   gegenüberliegenden (grünen) Seite ist, ist   der Inkreismittelpunkt = Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks   (siehe oben). Diese Eigenschaft liefert die Möglichkeit den Punkt   zeichnerisch zu bestimmen.

Eulergerade
 
Eulergerade eines Dreiecks

Der geometrische Schwerpunkt  , der Umkreismittelpunkt   und der Höhenschnittpunkt   liegen auf einer Gerade, der Eulergerade. Denn, führt man am Punkt   eine zentrische Streckung mit Streckfaktor   durch, wird jede Ecke auf den Mittelpunkt der ihr gegenüberliegenden Seite abgebildet (  teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1) und die Höhen werden auf die Mittelsenkrechten abgebildet. Also geht   in   über und beide Punkte liegen auf einer gemeinsamen Gerade durch  . Der Umkreis geht dabei in den Kreis durch die Seitenmitten, den Feuerbachkreis, über, dessen Mittelpunkt (Bild von  ) also auch auf der Eulergerade liegt.

Die Gleichung der Eulergerade in baryzentrischen Koordinaten ist (s. oben)

 
 

oder unter Verwendung von Punkt  :

 

Gleichseitige Dreiecke besitzen keine Eulergerade, da   ist.

Ist das Dreieck gleichschenklig, aber nicht gleichseitig, z. B.  , so hat die Eulergerade die Gleichung   und ist gleich der Seitenhalbierenden durch  . Sie enthält dann auch den Inkreismittelpunkt.

Ist das Dreieck rechtwinklig, z. B.  , so ist   und die Eulergerade hat die Gleichung   und ist die Seitenhalbierende zur Hypotenuse.

Satz von CevaBearbeiten

 
Satz von Ceva
Satz von Ceva

Ist P ein Punkt innerhalb des Dreiecks   und   der Schnittpunkt der Gerade   mit der Seite   (siehe Bild), so gilt

 
Beweis

Mit den Punkten in baryzentrischen Koordinaten:

 
 

ist   (siehe Besondere Punkte). Aus B2 erhält man   Führt man diese Überlegungen auch für diePunkte   durch, ergibt sich

 

Steiner-Ellipse, Steiner-InellipseBearbeiten

Die eindeutig bestimmte Ellipse durch die Ecken des (beliebigen) Dreiecks  , deren Mittelpunkt der geometrische Schwerpunkt   ist, heißt Steiner-Ellipse. In baryzentrischen Koordinaten wird sie durch die Gleichung

(SE) 

beschrieben.

 
Steiner-Ellipse

Man prüft leicht nach, dass die sechs Punkte

 
 

die Gleichung (SE) erfüllen und, dass der Schwerpunkt   der Mittelpunkt (siehe Abschnitt Definition) der Paare   ist. Die Gleichung (SE) muss also einen nicht ausgearteten Kegelschnitt   (Ellipse oder Hyperbel oder Parabel) beschreiben. Da aus den Gleichungen

  der Widerspruch
 
 
 

folgt, hat   mit der Ferngerade keinen Punkt gemeinsam, d. h.   ist eine Ellipse.

Die Spiegelung am Punkt   lässt das Sechseck   und damit auch die Ellipse invariant (Eine Ellipse ist durch 5 ihrer Punkte eindeutig bestimmt). Also ist der Symmetriepunkt   der Mittelpunkt der Ellipse.

Da der Mittelpunkt   der Sehne   auf dem Durchmesser   liegt, muss die Tangente in   parallel zu   sein (siehe Ellipse). Sie hat die Gleichung  . Schneidet man die Parallele zur Tangente durch den Mittelpunkt   (sie hat die Gleichung  ) mit der Ellipse (SE) erhält man die zwei zu   konjugierten Punkte (siehe Steiner-Ellipse)

 

Entsprechendes gilt für die Tangenten in den anderen Ecken.

 
Steiner-Inellipse (grün)

Bildet man die Steiner-Ellipse mit der zentrischen Streckung   an ihrem Mittelpunkt   mit Faktor   ab, erhält man also eine Ellipse mit demselben Mittelpunkt  , die die Dreiecksseiten in deren Mittelpunkten berührt. Dies ist die Steiner-Inellipse des Dreiecks. Wegen   ist die Abbildungsmatrix von  

 

Transformiert man die Gleichung (SE) der Steiner-Ellipse mit dieser Matrix, ergibt sich die Gleichung der Steiner-Inellipse in baryzentrischen Koordinaten:

(SIE) 
 
Steiner-Ellipsen als Kegel in (homogenen) baryzentrischen Koordinaten und in normierten baryzentrischen Koordinaten als Kreise in der Ebene  
3d-Darstellungen

1) Die durch die Gleichung (SE) definierte Quadrik   im   mit (wie üblich) orthogonalen Koordinatenachsen ist ein gerader Kreiskegel mit dem Nullpunkt als Spitze, der die Koordinatenachsen enthält und die Gerade   als Achse besitzt. Denn für die Schnittkurve der Ebene   und der Quadrik mit der Gleichung (SE) gilt

 
 
 

D.h.: die Schnittkurve ist auch ein ebener Schnitt der Einheitskugel und damit ein Kreis (im Bild lila).

2) Analoge Überlegungen für die durch die Gleichung (SIE) definierte Quadrik   zeigen:   ist auch ein gerader Kreiskegel mit dem Nullpunkt als Spitze und der Gerade   als Achse. Der Basiskreis ist der Schnitt der Ebene   mit der kleineren Kugel   (im Bild grün). Schneidet man den Kegel   mit der Koordinatenebene  , ergibt sich die Ursprungsgerade  , d. h. der Kegel berührt die Koordinatenebene. Dies gilt auch für die anderen Koordinatenebenen.

3) In normierten baryzentrischen Koordinaten (d. h. in der Ebene  ) erscheint das gegebene Dreieck gleichseitig und die Steiner-Ellipsen sind dessen Umkreis und Inkreis.

4) Setzt man keine orthogonalen Koordinaten des   voraus, gilt nur: Die Kegel sind elliptisch, das Dreieck ist allgemein und die Kreise sind Ellipsen. Inzidenzen und Berührbeziehungen bleiben erhalten.

5) Wählt man, wie bei nicht baryzentrischen homogenen Koordinaten üblich, die Ursprungsebene   als Ferngerade und setzt  , so beschreibt die Gleichung (SE) im affinen Bereich ( ) die Hyperbel  . In diesem Fall sind die Punkte   Fernpunkte und zwar die Fernpunkte der Asymptoten. Im   kann man sich die Hyperbel als Schnittkurve des Kegels   mit der Ebene   vorstellen.

6) Siehe hierzu auch: Inellipse.

Im Raum (n=4, Tetraeder)Bearbeiten

Berechnung und EigenschaftenBearbeiten

Im 3-dimensionalen Raum ist ein Simplex ein Tetraeder mit den Ecken  . Um die baryzentrischen Koordinaten eines Punktes   bezgl. des gegebenen Tedraeders zu bestimmen, muss man, analog dem 2-dimensionalen Fall (Dreieck), das homogene lineare Gleichungssystem (siehe Abschnitt Definition)

(G'4) 

für   lösen. Wie im ebenen Fall fügt man hier auch die Normierungsgleichung   hinzu und löst das LGS mit Hilfe der Cramerschen Regel. Mit den Abkürzungen

 
 
 
Baryzentrische Koordinaten bezgl. eines Tetraeders (im Raum)

erhält man für die baryzentrischen Koordinaten von  :

(BV4)  

Dabei ist   das Volumen des Teiltetraeders, der aus dem gegebenen Tetraeder entsteht, indem man   durch   ersetzt (s. Bild).

Aussage (BV4) ist der Lehrsatz in §25, S. 28, des Buches von Möbius.

Ist   die Grundfläche (Seitenfläche des Tedraeders) und   die Höhe des  -ten Teiltetraeders, so gilt   und

  •  

Besondere PunkteBearbeiten

Geometrischer Schwerpunkt

Der geometrische Schwerpunkt hat die baryzentrischen Koordinaten  . Damit ist

 

wobei   das Volumen des gegebenen Tetraeders und   die Höhe des  -ten Punktes über dem  -ten Seitendreieck (s. Bild) ist. Also gilt:

 

(Vergleiche die entsprechende Aussage im ebenen Fall.)

Inkugelmittelpunkt

Für den Mittelpunkt der Inkugel ist   (Radius der Inkugel) und damit

  und
 

wobei   das Volumen des gegebenen Tetraeders ist.

Projektion eines Punktes auf eine Koordinatenebene

Analog zum ebenen Fall (siehe oben) ist die Projektion eines Punktes   von   aus auf die gegenüber liegende Ebene durch   (sie hat die Gleichung  ) der Punkt  . Falls die Koordinaten von   normiert sind, teilt   die Strecke   im Verhältnis  . Entsprechendes gilt für die anderen 3 Projektionen.

Satz von CommandinoBearbeiten

 
 : Schwerpunkt des Tetraeders,
 : Schwerpunkte der Dreiecke

Projiziert man den geometrischen Schwerpunkt   von   aus auf die gegenüberliegende Ebene mit der Gleichung  , erhält man den Schwerpunkt   des Dreiecks  . Entsprechendes gilt für die anderen Projektionen von  . Also gilt (siehe den vorigen Abschnitt):

Die Gerade durch die Ecke   und den geometrischen Schwerpunkt   des Tetraeders schneidet die gegenüberliegende Dreiecksebene im Schwerpunkt   des Dreiecks. Dabei teilt   die Strecke   im Verhältnis  .

Dies ist der Satz von Commandino.

Hyperboloid durch die Punkte eines TetraedersBearbeiten

 
Tetraeder auf einem einschaligen Hyperboloid

Ein einschaliges Hyperboloid ist eine Quadrik, die 2 Scharen von Geraden enthält. In geeigneten homogenen Koordinaten kann man es durch die Gleichung

(H) 

beschreiben[6] (siehe einschaliges Hyperboloid). Das Hyperboloid enthält die Punkte

 
 

Man rechnet leicht nach, dass

(PH)  

eine Parameterdarstellung des Hyperboloids ist. Dabei gilt:

  und
 

Die Parameterlinien ( = const oder  = const) sind Geraden. Da die Summe der baryzentrischen Koordinaten stets   ist, werden allerdings die Punkte des Hyperboloids in der Ebene   nicht erfasst. Dies ist bei Einführung baryzentrischer Koordinaten kein Nachteil.

Fasst man   als baryzentrische Koordinaten auf, entsprechen die Punkte   den Ecken eines Tetraeders (in einem affinen Raum) auf einem Hyperboloid  , das die Geraden   enthält (siehe Bild). Die beiden Geraden   liegen nicht auf dem Hyperboloid ! Rechnet man die normierten baryzentrischen Koordinaten in affine Koordinaten um (siehe (S) im Abschnitt Definition), erhält man die affine Parameterdarstellung des Hyperboloids:

(APH)  

Dies ist die Darstellung des Hyperboloids als bilineare Interpolationsfläche des räumlichen Vierecks  .

Eigenschaften

Das Hyperboloid hat mit der Fernebene   die beiden sich im Punkt   schneidenden Geraden

 
 

gemeinsam und ist deshalb affin ein

  • hyperbolisches Paraboloid. (Das obige Bild ist also projektiv zu verstehen.)
  • Die Fernebene ist die Tangentialebene im Punkt  .
  • Der Schwerpunkt   des Tetraeders liegt auf dem Hyperboloid.
 
Hyperbolisches Paraboloid (affiner Teil eines projektiven einschaligen Hyperboloids) durch die Ecken eines Tetraeders mit Punkten auf den Koordinatenachsen

Die Gerade   geht durch die Mittelpunkte   der Tetraederkanten   bzw.   und durch den Fernpunkt  . Dies bedeutet affin:

  • Die Achsen der Parabeln auf dem hyperbolischen Paraboloid sind alle parallel zur Gerade   durch die Mittelpunkte   (siehe hyperbolisches Paraboloid). Der Schwerpunkt   ist der Mittelpunkt der Punkte  .
Beispiel

Das Bild zeigt das Beispiel mit

 
 

Die Parameterdarstellung ist dann

 

Verallgemeinerte baryzentrische KoordinatenBearbeiten

Baryzentrische Koordinaten  , die mit Bezug auf ein Polytop statt mit Bezug auf ein Simplex definiert sind, werden verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten genannt. Hierbei wird weiterhin verlangt, dass die Gleichung

 

erfüllt wird, wobei   hier die Eckpunkte des gegebenen Polytops sind. Die Definition ist also formal unverändert, allerdings muss ein Simplex mit   Eckpunkten in einem Vektorraum mit einer Dimension von mindestens   enthalten sein, während Polytope auch in Vektorräume von niedrigerer Dimension eingebettet sein können. Das einfachste Beispiel ist ein Viereck in der Ebene. Als Konsequenz sind sogar die normierten verallgemeinerten baryzentrischen Koordinaten für ein Polytop im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, obwohl dies für normierte baryzentrische Koordinaten mit Bezug auf ein Simplex der Fall ist.

Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten werden insbesondere in der Computergrafik und bei der geometrischen Modellierung verwendet. Dort können dreidimensionale Objekte oft durch Polyeder approximiert werden, sodass die verallgemeinerten baryzentrischen Koordinaten eine geometrische Bedeutung haben und die weitere Bearbeitung dieser Objekte erleichtern.

Baryzentrische InterpolationBearbeiten

Auf baryzentrischen Koordinaten basiert ein Interpolationsverfahren, das die lineare Interpolation für Funktionen mehrerer Variablen verallgemeinert.

Im Falle einer Funktion   von zwei Variablen   und   sind für drei Punkte  ,   und   die Funktionswerte gegeben. Dabei dürfen  ,   und   nicht auf einer Geraden liegen. Sie müssen also ein Dreieck   aufspannen. Ist nun ein beliebiger Punkt   gegeben, so definiert man

 ,

wobei   die normierten baryzentrischen Koordinaten von   sind. Diese Interpolation funktioniert auch für Punkte außerhalb des Dreiecks.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49328-0, S. 76.
  2. August Ferdinand Möbius: Der baryzentrische Calcul, Verlag von Johann Ambrosius BartH, Leipzig, 1827.
  3. Josef Hoschek, Dieter Lasser: Grundlagen der geometriechen Datenverarbeitung. Teubner-Verlag,, 1989, ISBN 3-519-02962-6, S. 243.
  4. Gerald Farin: Curves and Surfeces for Computer Aided Geometric Design. Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7, S. 20.
  5. Christian Gerthsen: Physik. Springer-Verlag, 1963, S. 37.
  6. Felix Klein: Vorlesungen über höhere Geometrie, Springer-Verlag, 2013 ISBN 3642886744, 9783642886744, S. 15 .