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Projektiver Raum

Ein Raum wo jeder Vektor sich mit jedem anderen Vektor an einem Punkt schneiden muss.
Zentralprojektion einer Eisenbahnstrecke – die parallel verlaufenden Schienen scheinen sich im Fluchtpunkt am Horizont zu schneiden.

Der projektive Raum ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Geometrie. Dieser Raum kann aufgefasst werden als die Menge aller Geraden durch den Ursprung eines Vektorraums . Ist der reelle zweidimensionale Vektorraum , so nennt man ihn reelle projektive Gerade, und im Falle heißt er reelle projektive Ebene. Analog definiert man projektive Geraden und projektive Ebenen über beliebigen Körpern als die Mengen der Ursprungsgeraden in einem zwei- bzw. dreidimensionalen Vektorraum über dem jeweiligen Körper. Projektive Ebenen können in der Inzidenzgeometrie auch axiomatisch charakterisiert werden, dabei erhält man auch projektive Ebenen, die nicht den Geraden in einem Vektorraum entsprechen.[1]

Die Idee der projektiven Räume steht in Beziehung zur Zentralprojektion aus der darstellenden Geometrie und Kartenentwurfslehre, beziehungsweise zur Art und Weise, wie das Auge oder eine Kamera eine dreidimensionale Szene auf ein zweidimensionales Abbild projiziert. Alle Punkte, die gemeinsam mit der Linse der Kamera auf einer Linie liegen, werden auf einen gemeinsamen Punkt projiziert. In diesem Beispiel ist der zugrunde liegende Vektorraum der , die Kameralinse ist der Ursprung und der projektive Raum entspricht den Bildpunkten.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Der reell-projektive Raum   ist die Menge aller Geraden durch den Nullpunkt im  . Formal definiert man dies wie folgt.

Auf   sei die Äquivalenzrelation

 

definiert. In Worten heißt dies, dass   genau dann äquivalent zu   ist, wenn es ein   gibt, so dass   gilt. Alle Punkte auf einer Ursprungsgeraden – der Ursprung ist nicht enthalten – werden also miteinander identifiziert und nicht mehr unterschieden.

Der Quotientenraum   mit der Quotiententopologie wird reeller,  -dimensionaler projektiver Raum genannt und mit   notiert.

Im Fall   spricht man von der projektiven Geraden (auch: projektive Linie) und im Fall   von einer projektiven Ebene.

Wählt man statt   den komplexen Vektorraum  , so erhält man mit der analogen Definition mit   den komplex projektiven Raum der (komplexen) Dimension   als den Raum der komplex eindimensionalen Unterräume des  .

Die Koordinaten der Punkte des projektiven Raums, welche ja Äquivalenzklassen von Punkten   sind, werden durch   notiert und heißen homogene Koordinaten. (Entsprechend für den komplex-projektiven Raum.) Für   definiert die Abbildung   eine Bijektion zwischen   und  .

Allgemeiner können auch projektive Räume über beliebigen anderen Körpern (an Stelle von   bzw.  ) konstruiert werden.

Ein allgemeinerer Begriff des projektiven Raumes wird in der synthetischen Geometrie verwendet, vor allem für den Fall   die projektive Ebene. Die Axiomatik dieses allgemeineren Begriffes wird im Hauptartikel Projektive Geometrie dargestellt.

Projektive lineare Gruppe (Kollineationen)Bearbeiten

Die projektive lineare Gruppe   ist die Gruppe der invertierbaren projektiven Abbildungen, sie ist definiert als Quotient von   unter der Äquivalenzrelation

 .

Die Wirkung von   auf   gibt eine wohl-definierte Wirkung von   auf  . Die den Elementen   entsprechenden Abbildungen   sind projektive, das heißt hier doppelverhältnistreue Kollineationen. Mit anderen Worten:

  1. Sie bilden die Menge der projektiven Punkte bijektiv auf sich selbst ab.
  2. Sie bilden jede Gerade als Punktmenge auf eine Gerade ab (erhalten damit die Inzidenzstruktur).
  3. Das Doppelverhältnis von beliebigen 4 Punkten, die auf einer Geraden liegen, bleibt unverändert. Das unterscheidet Projektivitäten von bijektiven echt semilinearen Selbstabbildungen des Vektorraums.

Analog definiert man eine Wirkung von   auf  .

Im Fall der projektiven Gerade wirkt   auf   durch gebrochen-lineare Transformationen. Nach der Identifikation von   mit   (bzw.   mit  ) wirkt   bzw.   durch  .

Beispiel: Riemann’sche ZahlenkugelBearbeiten

 
Stereographische Rückprojektionen der komplexen Zahlen   und   auf die Punkte   und   der Riemann’schen Zahlenkugel

Die komplex-projektive Gerade ist nach obiger Definition gerade die Menge der komplexen Geraden in  , welche durch den Ursprung   gehen.

Die komplex-projektive Gerade kann man auch als die reell-zweidimensionale Sphäre beziehungsweise Riemann’sche Zahlenkugel

 

auffassen. Die Übereinstimmung mit obigen Begriffen ergibt sich wie folgt: Bezeichne mit   den „Nordpol“. Betrachte die stereographische Projektion

 ,

welche durch   gegeben ist. Anschaulich legt man durch   und den Nordpol eine (reelle) Gerade und wählt den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Äquatorebene als Bildpunkt der Abbildung, wobei der Nordpol mit   identifiziert wird. Die Korrespondenz zwischen   und   in homogenen Koordinaten ist dann  .

EigenschaftenBearbeiten

  • Die reellen und komplexen projektiven Räume sind kompakte Mannigfaltigkeiten.
  • Der projektive Raum ist ein Beispiel für eine nicht affine algebraische Varietät bzw. ein nicht affines Schema. Außerdem hat der projektive Raum die Struktur einer torischen Varietät. Im algebraisch-geometrischen Kontext kann man anstelle der reellen oder komplexen Zahlen jeden beliebigen Körper einsetzen.
  • Untervarietäten des projektiven Raums werden als projektive Varietäten (veraltet auch als projektive Mannigfaltigkeiten) bezeichnet.
  • Lokal nach dem projektiven Raum modellierte lokal-homogene Mannigfaltigkeiten werden als projektive Mannigfaltigkeiten bezeichnet.

TopologieBearbeiten

Die projektive Gerade   ist homöomorph zum Kreis  . Für   ist die Fundamentalgruppe des projektiven Raums   die Gruppe Z/2Z, die 2-fache Überlagerung des   ist die Sphäre  .

Für ungerade   ist der   orientierbar, für gerade   ist er nicht orientierbar.

Die projektive Ebene   ist eine nicht-orientierbare Fläche, die sich nicht in den   einbetten lässt. Es gibt aber Immersionen des   in den  , zum Beispiel die sogenannte Boysche Fläche.

Die komplex-projektive Gerade   ist homöomorph zur Sphäre  , die quaternionisch-projektive Gerade   ist homöomorph zur  , die Cayley-projektive Gerade   homöomorph zur  .

Alle komplex- oder quaternionisch-projektiven Räume sind einfach zusammenhängend.

Die Hopf-Faserungen bilden (für  ) jeweils die Einheitssphäre in   auf   ab, die Faser ist die Einheitssphäre in  . Man erhält auf diese Weise Faserungen

 .

Diese Faserungen haben Hopf-Invariante 1.

Projektive Teilräume und abgeleitete Räume Bearbeiten

In diesem Abschnitt wird im Sinne der obigen allgemeineren Definition von einem   dimensionalen projektiven Raum   über einem beliebigen Körper   ausgegangen, die Punkte des Raumes können also als eindimensionale Untervektorräume von   angesehen werden.

  • Jedem  -dimensionalen Unterraum   von   ist ein  -dimensionaler projektiver Teilraum   von   zugeordnet. Man nennt   auch eine (verallgemeinerte, projektive) Ebene, für   Hyperebene, für   Gerade in  . Auch die leere Menge wird hier als projektiver Teilraum betrachtet, dem der Nullraum von   und als Dimension   zugeordnet wird.
  • Die Schnittmenge von zwei projektiven Teilräumen ist wiederum ein projektiver Teilraum.
  • Bildet man zu den Unterräumen, die zwei projektiven Räumen   und   zugeordnet sind, die lineare Hülle ihrer Vereinigungsmenge in  , so gehört zu diesem Untervektorraum wieder ein projektiver Teilraum, der Verbindungsraum   (auch als Summe   notiert) von   und  .
  • Für Schnitt und Verbindung von projektiven Teilräumen gilt die projektive Dimensionsformel:
 .
  • Die Menge   aller Teilräume des projektiven Raumes   bildet bezüglich der Verknüpfungen „Schnitt“   und „Verbindung“   einen längenendlichen, modularen, komplementären Verband.
  • Jedem projektiven Punkt kann über seine Koordinaten eine homogene Koordinatengleichung zugeordnet werden, deren Lösungsmenge eine Hyperebene beschreibt. Durch die so definierten Hyperebenenkoordinaten bilden die Hyperebenen in   wiederum Punkte eines projektiven Raumes, des Dualraums  .(→ siehe dazu Projektives Koordinatensystem#Koordinatengleichungen und Hyperebenenkoordinaten).
  • Allgemeiner bildet die Menge der Hyperebenen, die einen festen  -dimensionalen Teilraum   enthalten, einen projektiven Raum, den man als Bündel, im Spezialfall   als Büschel von Hyperebenen bezeichnet.   heißt Träger des Bündels oder Büschels.

Axiomatischer ZugangBearbeiten

Als man in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts die Geometrie in streng axiomatische Form fasste und dann auch daranging, die Axiome systematisch zu variieren, lag es nahe, das Parallelenaxiom durch die Festlegung zu ersetzen, dass sich zwei in einer Ebene liegende Geraden immer schneiden müssen. Dies ist allerdings unverträglich mit dem Anordnungsaxiom II.3.

Beschränkt man sich aber auf die Inzidenzaxiome, so ergeben sich sehr einfache und hochsymmetrische Axiomensysteme, die auch die Gesetze des bekannten projektiven Raums umfassen.

Ein solches Axiomsystem, das nur mit den Grundbegriffen „Punkt“, „Gerade“ und „Inzidenz“ auskommt, lautet:

  1. (Geradenaxiom) Sind   und   zwei verschiedene Punkte, so gibt es genau eine Gerade  , die mit   und   inzidiert.
  2. (Axiom von Veblen-Young) Sind  ,  ,  ,   vier Punkte, so dass   und   mit einem gemeinsamen Punkt inzidieren, so inzidieren auch   und   mit einem gemeinsamen Punkt.
  3. (1. Reichhaltigkeitsaxiom) Jede Gerade inzidiert mit mindestens drei Punkten.
  4. (2. Reichhaltigkeitsaxiom) Es gibt mindestens zwei verschiedene Geraden.

Eine Inzidenzstruktur, die diese Axiome erfüllt, heißt dann eine projektive Geometrie.

Das 1. Axiom ist eine Kurzfassung der Inzidenzaxiome I.1 und I.2.

Das 2. Axiom ersetzt das Parallelenaxiom. Wenn man im Rahmen der übrigen Axiome den Begriff „Ebene“ geeignet definiert, besagt es gerade, dass zwei Geraden einer Ebene sich immer schneiden. Ersetzt man es durch das einfachere (und strengere) Axiom

2E. Sind   und   zwei verschiedene Geraden, so gibt es genau einen Punkt, der mit   und   inzidiert,

so heißt die entsprechende Struktur eine projektive Ebene.

Die Reichhaltigkeitsaxiome 3. und 4. ersetzen das Hilbert-Axiom I.8. Strukturen, die nur die Axiome 1. bis 3., aber nicht 4. erfüllen, heißen ausgeartete projektive Geometrien. (Es sind ausnahmslos projektive Ebenen.)

 
Die Fano-Ebene erfüllt das Fano-Axiom nicht!

Da sowohl das Anordnungsaxiom III.4 als auch das Vollständigkeitsaxiom V.2 fehlen, sind endliche Modelle für projektive Geometrien möglich.

Das einfachste nicht-entartete Beispiel ist die Fano-Ebene, die aus sieben Punkten und sieben Geraden besteht; im nebenstehenden Bild sind die „Punkte“ die dick markierten Punkte, die „Geraden“ sind die Strecken sowie der Kreis.

Eine Punktmenge eines projektiven Raumes  , die mit zwei verschiedenen Punkten stets auch alle Punkte auf deren (nach Axiom 1. eindeutigen) Verbindungsgeraden enthält, heißt Linearmenge.[1] Linearmengen spielen die Rolle der projektiven Unterräume in der projektiven Geometrie, man schreibt daher auch  , wenn   eine Linearmenge ist.

  • Der einfachste (wenn auch nicht kleinste) Typ einer Linearmenge ist eine Punktreihe, also die Punktmenge auf einer Geraden.
  • Eine beliebige Punktmenge   des Raumes erzeugt eine wohlbestimmte minimale Linearmenge
  die Schnittmenge aller Linearmengen, in denen   als Teilmenge enthalten ist.
  • Ist   und für jeden Punkt  , dann heißt   ein minimales Erzeugendensystem oder auch eine Punktbasis von  .[1] Die Anzahl der Elemente   einer solchen Punktbasis von   ist unabhängig von der Wahl der Punktbasis. Die Zahl   heißt die projektive Dimension von  , sie kann  , eine natürliche Zahl oder allgemeiner eine unendliche Kardinalzahl sein, im letzten Fall nennt man die Linearmenge oft nur unendlichdimensional.
Beispiele
  1. Die leere Menge ist nach der genannten Definition selbst eine Linearmenge: Sie enthält die Punkte aller erforderlichen Verbindungsgeraden, nämlich keine. Ihre Dimension ist  .
  2. Ebenso ist jede einpunktige Menge eine Linearmenge, also ist ihre Dimension jeweils  .
  3. Jede Punktreihe ist eine eindimensionale Linearmenge, denn sie wird von zwei beliebigen, verschiedenen Punkten der Trägergeraden erzeugt.

Diese drei Typen von Linearmengen erfüllen (zusammen mit der höchstens einen Geraden, die durch zwei verschiedene Punkte der Linearmengen geht und der auf diese Teilstruktur eingeschränkten Inzidenz) die ersten drei Inzidenzaxiome (mehr oder weniger trivial) aber nicht das 4. sind also ausgeartete projektive Räume. Eine Linearmenge, die drei Punkte enthält, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen, erfüllt auch das vierte Inzidenzaxiom und ist damit selbst ein projektiver Raum. Die Dimension dieser Linearmenge ist dann mindestens 2.[1] Man beachte dazu, dass der Begriff Ebene in der obigen Beschreibung axiomatisch zu verstehen ist und nicht direkt mit dem Dimensionsbegriff für Linearmengen zusammenhängt. Ausgeartete projektive Ebenen, die Linearmengen in einem projektiven Raum sind, gehören stets einem der drei oben genannten Typen an und haben deshalb als Linearmengen eine projektive Dimension  .[1] Der Gesamtraum ist natürlich ebenfalls eine Linearmenge und hat dementsprechend eine wohlbestimmte Dimension.

ZusatzaxiomeBearbeiten

SchließungseigenschaftenBearbeiten

Als zusätzliche Axiome sind zwei klassische Schließungssätze, der Satz von Desargues und der Satz von Pappos besonders wichtig: Diese Axiome sind jeweils äquivalent dazu, dass sich die Geometrie über einer durch die Axiome bestimmten Klasse von Ternärkörpern koordinatisieren lässt:

  • Genau dann, wenn in jeder zweidimensionalen Linearmenge des Raumes der Satz von Desargues gilt, ist der Raum durch einen Schiefkörper koordinatisierbar. Diese Bedingungen sind für mindestens dreidimensionale Räume stets erfüllt. Diese letzte Aussage ist ein Satz von David Hilbert.[2][1]
  • Genau dann, wenn in jeder zweidimensionalen Linearmenge des Raumes der Satz von Pappos gilt, ist der Raum durch einen kommutativen Körper koordinatisierbar.[2] Diese Bedingungen sind auch für drei- und höherdimendimensionale nicht immer erfüllt.[3]

Die Schließungssätze wurden (implizit) als Sätze, die in der reellen zwei- oder dreidimensionalen Geometrie gelten, von den Mathematikern, nach denen sie benannt sind, bewiesen. Implizit deshalb, weil es zu ihrer Zeit weder eine axiomatische Beschreibung des modernen algebraischen Körperbegriffs noch gar des Körpers der reellen Zahlen gab. Ein modernes „Nicht-Schließungs-Axiom“ ist das Fano-Axiom. Es ist bei der Untersuchung von Quadriken von großer Bedeutung. Für diese Untersuchungen muss man meist auch das Axiom von Pappos fordern. Gilt auch noch das Fano-Axiom, dann hat der Koordinatenkörper des Raumes nicht die Charakteristik  , das heißt, eine quadratische Gleichung hat „meistens“ keine oder zwei Lösungen und man kann zum Beispiel bei einem Kegelschnitt zwischen Tangenten und Nichttangenten sinnvoll unterscheiden.

Ordnungseigenschaften und Topologische EigenschaftenBearbeiten

Ein projektiver Raum ist angeordnet, wenn auf jeder Geraden eine Trennbeziehung so definiert ist, dass diese Relation bei beliebigen Projektivitäten erhalten bleibt. Die Trennbeziehung setzt die oben beschriebene hilbertsche affine Anordnung projektiv fort: Liegt ein Punkt   affin zwischen den Punkten  , dann trennt das Punktepaar   den Punkt   vom Fernpunkt   der (projektiv abgeschlossenen) Geraden  . Die Zwischenbeziehung auf den affinen Geraden genügt dem Axiom von Pasch. Bildet man aus der Ordnungstopologie auf einer beliebigen Geraden   die Produkttopologie   (  ist die Dimension des affinen Raumes), dann ist dies für den Raum auf Grund des Axioms von Pasch eine „verträgliche“ Topologie: Die Affinitäten des Raumes sind bezüglich dieser Topologie stetig.

Diese Topologie lässt sich nun (zunächst auf einzelnen Geraden) fortsetzen, indem man die affinen Mengen von Zwischenpunkten („offene Intervalle“) bei beliebiger Wahl des Fernpunktes auf   zur Basis einer Topologie auf der projektiven Geraden macht und den Raum mit der entsprechenden Produkttopologie versieht. Damit wird eine projektive Ebene zu einer topologischen projektiven Ebene und ein höherdimensionaler Raum (genauer: die Menge seiner Punkte) zu einem topologischen Raum, in dem die Projektivitäten Homöomorphismen sind.

Eine solche Anordnung der affinen und projektiven Räume ist nur dann möglich (notwendige Bedingung), wenn in einem Koordinatenternärkörper   gilt: Ist   bei irgendeiner Beklammerung dieser „Summe“ mit mehr als einem Summanden (im Ternärkörper muss das Assoziativgesetz für die Addition nicht gelten,   ist eine Loop) dann ist  . Daraus folgt für jeden angeordneten Raum: Er und sein Koordinatenbereich ist unendlich. Ist der Raum zusätzlich desarguessch, erfüllt also das Desarguessche Schließungsaxiom, dann hat sein Koordinatenschiefkörper die Charakteristik 0.

Allgemeiner kann man eine Topologie auf einem topologischen Raum auch axiomatisch definieren, dies ist für den zweidimensionalen Fall im Artikel Topologische projektive Ebene dargestellt. Jeder projektive Raum lässt im Sinne der dort dargestellten Forderungen wenigstens eine Topologie, nämlich die diskrete Topologie zu. Dies ist in der Regel keine „interessante“ Topologie.

Auf projektiven Räumen über Schiefkörpern oder Körpern   wie dem Körper der komplexen Zahlen   und dem reellen Quaternionenschiefkörper, die endlichdimensionale Vektorräume über einem angeordneten Unterkörper   (in den Beispielen  ) sind, kann man im affinen Ausschnitt (genauer eigentlich: in der Gruppe der projektiven Perspektivitäten mit einer festen Fixpunkthyperebene   und beliebigen Zentren auf dieser Hyperebene) eine Topologie einführen: Diese Gruppe, die affine Translationsgruppe ist ein (Links-)vektorraum über   und damit auch über  , dadurch lässt sich die Ordnungstopologie, die von der Anordnung der  -Geraden stammt, auch auf den affinen und projektiven Raum über   übertragen.

EigenschaftenBearbeiten

Im Folgenden verstehen wir unter einem projektiven Raum eine Struktur aus Punkten und Geraden mit einer Inzidenzrelation, welche die oben genannten Axiome von Veblen-Young erfüllt und in der es zwei punktfremde Geraden gibt; die projektiven Ebenen sind also ausgeschlossen. Dann gelten die folgenden Sätze:

In jedem projektiven Raum der Dimension   gilt der Satz von Desargues: Sind   verschiedene Punkte, so dass  ,   und   drei verschiedene Geraden bestimmen, so liegen die drei Schnittpunkte von   mit  ,   mit   und   mit   auf einer Geraden. Mit Hilfe dieses Satzes lässt sich zeigen: Jeder projektive Raum lässt sich durch homogene Koordinaten in einem Linksvektorraum   über einem Schiefkörper   beschreiben. Der Linksvektorraum   ist mindestens vierdimensional, seine Dimension kann aber auch eine beliebige unendliche Kardinalzahl sein. Der Schiefkörper   ist kommutativ, also ein Körper genau dann, wenn in der Geometrie dieses Raumes der Satz von Pappos(-Pascal) gilt. Das ist in endlichen desarguesschen Ebenen immer der Fall (weil endliche Schiefkörper nach dem Satz von Wedderburn notwendig kommutativ sind).

Von Interesse sind in der synthetischen Geometrie vor allem die „nichtdesarguesschen“ Ebenen, in denen der Satz von Desargues nicht gilt, insbesondere die endlichen unter ihnen. Die Ordnung einer endlichen projektiven Ebene ist die um 1 verminderte Anzahl der Punkte auf einer, also jeder, Geraden. Es ist eine unbewiesene Vermutung, dass jede endliche projektive Ebene von Primzahlpotenzordnung ist (wie die desarguesschen Ebenen). Ein Satz von Bruck und Ryser schließt viele Ordnungen aus. Er sagt: Wenn   oder   Ordnung einer projektiven Ebene ist, dann ist   Summe zweier Quadratzahlen. Die folgenden Zahlen sind daher nicht Ordnungen projektiver Ebenen:  

Mit großem Computereinsatz wurde gezeigt, dass keine projektive Ebene der Ordnung   existiert. Die kleinsten Ordnungen, für welche die Frage der Existenz oder Nichtexistenz ungelöst ist, sind   Die kleinste Ordnung einer nichtdesarguesschen projektiven Ebene ist  , vergleiche dazu den Abschnitt Beispiele der Ordnung 9 im Artikel Ternärkörper.

LiteraturBearbeiten

  1. a b c d e f Beutelspacher (1982)
  2. a b David Hilbert: Grundlagen der Geometrie. 14. Auflage. Teubner, Stuttgart 1999, ISBN 3-519-00237-X (archive.org – Erstausgabe: 1899).
  3. Historisch ist dazu noch anzumerken, dass, anders als die Implikation: „Aus dem Satz von Pappos folgt der Satz von Desargues“, der Satz von Hessenberg aus der Tatsache, dass jeder Schiefkörper ein Körper ist, nicht trivial folgt: Nur der desarguessche Satz eignet sich (nach heutigem Kenntnisstand) für die Einführung von Koordinaten. Deshalb muss die Gültigkeit des Satzes von Hessenberg in beliebigen projektiven Räumen koordinatenfrei bewiesen werden.
  • D. Hilbert, S. Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie. Mit einem Anhang: Einfachste Grundbegriffe der Topologie von Paul Alexandroff. Reprint der 1932 Ausgabe. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt, 1973
  • W. Massey: Algebraic topology: An introduction. Harcourt, Brace & World, Inc., New York 1967.
  • R. Hartshorne: Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. ISBN 0-387-90244-9

WeblinksBearbeiten