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Gerade durch die beiden Punkte und in einem kartesischen Koordinatensystem

Eine Geradengleichung ist eine Gleichung in der Mathematik, die eine Gerade eindeutig beschreibt. Die Gerade besteht aus all den Punkten, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen.

Die Abbildung zeigt eine Gerade durch zwei gegebene Punkte und in einem kartesischen Koordinatensystem. Durch zwei voneinander verschiedene Punkte existiert in der euklidischen Geometrie immer genau eine Gerade.

Geraden in der EbeneBearbeiten

KoordinatengleichungenBearbeiten

In einem kartesischen Koordinatensystem werden jedem Punkt   der Ebene zwei Zahlen   und   als Koordinaten zugeordnet. Man schreibt   oder  . Eine Gleichung mit den Variablen   und   beschreibt dann eine Menge von Punkten in der Ebene und zwar die Menge aller Punkte, deren  - und  -Koordinate die Gleichung erfüllen. Die Schreibweise

 

bedeutet beispielsweise, dass die Gerade   aus allen Punkten   besteht, die die Gleichung   erfüllen. Die entsprechende Mengenschreibweise lautet

 .

Geraden sind nun dadurch ausgezeichnet, dass es sich bei der zugehörigen Geradengleichung um eine lineare Gleichung handelt. Für solche Gleichungen gibt es eine Reihe unterschiedlicher Darstellungsformen.

Haupt- oder NormalformBearbeiten

 
Gerade mit Steigung m und y-Achsenabschnitt n

Jede Gerade, die nicht parallel zur y-Achse ist, ist der Graph einer linearen Funktion

 ,

wobei   und   reelle Zahlen sind.[1] Die zugehörige Geradengleichung lautet dann

 .

Die Parameter   und   der Geradengleichung haben eine geometrische Bedeutung. Die Zahl   ist die Steigung der Geraden und entspricht der senkrechten Kathete des Steigungsdreiecks, dessen waagrechte Kathete die Länge   aufweist. Die Zahl   ist der y-Achsenabschnitt, das heißt die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt  . Ist  , so verläuft die Gerade als Ursprungsgerade durch den Koordinatenursprung und die zugehörige Funktion ist dann eine Proportionalität. Die Gerade mit der Gleichung   erhält man aus der Geraden mit der Gleichung  , indem sie um   in Richtung der y-Achse verschoben wird. Diese Verschiebung erfolgt nach oben, wenn   positiv ist, und nach unten, wenn   negativ ist.

Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen, sind keine Funktionsgraphen. Sie lassen sich durch eine Gleichung der Form

 

darstellen, wobei   eine reelle Zahl ist. Eine solche Gerade schneidet die x-Achse im Punkt  .

ZweipunkteformBearbeiten

 
Steigungsdreiecke einer Geraden

Verläuft die Gerade durch die beiden Punkte   und  , wobei   und   verschieden seien, dann kann die Steigung   der Geraden mit Hilfe des Differenzenquotienten durch

 

berechnet werden. Nach dem Strahlensatz kann nun statt des Punktes   auch ein beliebiger anderer Punkt   der Geraden gewählt werden, ohne dass die Steigung sich verändert. Damit ergibt sich die Zweipunkteform

 

oder äquivalent dazu, indem die Gleichung nach   aufgelöst wird,

 

und somit

 .

PunktsteigungsformBearbeiten

 
Punktsteigungsform einer Geradengleichung

Eine Gerade durch den Punkt   mit der Steigung   wird durch folgende Gleichung beschrieben:

 .

Diese Formel kann auch benutzt werden, wenn zwei Punkte bekannt sind, aber man den Schnittpunkt mit der y-Achse (oben   genannt) nicht explizit bestimmen will.

KoordinatenformBearbeiten

Die Koordinatenform der Geradengleichung in der Ebene lautet

 ,

wobei   und   nicht beide 0 sein dürfen.

Durch Auflösen der Gleichung nach   (falls  ) erhält man hieraus die explizite Form. Die Koordinatenform hat den Vorteil, dass sie symmetrisch in   und   ist. Es wird also keine Richtung der Geraden bevorzugt. Geraden, die parallel zur y-Achse sind, spielen keine Sonderrolle.

AchsenabschnittsformBearbeiten

 
Achsenabschnittsform einer Geradengleichung

Eine spezielle Form der Koordinatenform ist die Achsenabschnittsform. Schneidet die Gerade die x-Achse im Punkt   und die y-Achse im Punkt  , wobei   und   nicht null seien, so lässt sich die Geradengleichung in der Form

 

schreiben. Diese Form heißt Achsenabschnittsform der Geradengleichung mit dem x-Achsenabschnitt   und dem y-Achsenabschnitt  . Wird die Gleichung nach   aufgelöst, so ergibt sich die explizite Form

 ,

wobei das Verhältnis   gerade der Steigung   der Geraden entspricht.

VektorgleichungenBearbeiten

Es gibt auch die Möglichkeit, eine Gerade mit Hilfe der Vektorrechnung zu beschreiben. Dabei betrachtet man statt der Punkte ihre Ortsvektoren. Der Ortsvektor   eines Punktes   wird üblicherweise mit   bezeichnet.

ParameterformBearbeiten

 
Parameterform einer Geradengleichung

Bei der Parameterform wird keine Bedingung formuliert, die die Koordinaten der Punkte erfüllen müssen, damit sie auf der Geraden liegen, sondern die Punkte der Geraden werden in Abhängigkeit von einem Parameter dargestellt. Jedem Wert des Parameters entspricht dabei ein Punkt der Geraden. Durchläuft der Parameter alle reellen Zahlen, so erhält man alle Punkte der Geraden. In der Parameterform hat eine Gerade die Darstellung

 

beziehungsweise ausgeschrieben

 .

Hierbei ist   der Ortsvektor eines festen Punktes der Geraden,   der Richtungsvektor der Geraden und   eine Zahl, die angibt, wie lange in diese Richtung gezählt wird. Der Parameter   bildet hierbei die Koordinate eines affinen Koordinatensystems auf der Geraden, das heißt die Gerade wird mit den Werten von   beziffert, wobei der Nullpunkt bei   liegt.

NormalenformBearbeiten

 
Normalenform einer Geradengleichung

Mit einem Normalenvektor  , der im rechten Winkel zur Geraden steht, lässt sich die Gerade in Normalenform schreiben:

 .

Darin ist   wieder der Ortsvektor eines Geradenpunkts und   das Skalarprodukt zweier Vektoren. Ist   ein Richtungsvektor einer Geraden, so ist   ein Normalenvektor der Geraden. Bei der hesseschen Normalform

 

wird eine Gerade durch einen normierten und orientierten Normalenvektor   und den Abstand   vom Koordinatenursprung beschrieben.

Geraden im RaumBearbeiten

 
Darstellung einer Raumgeraden

Geraden im Raum lassen sich nicht in der Normalenform darstellen, da sie weder Achsenabschnitte noch einen eindeutig bestimmten Normalenvektor besitzen (zu einer Geraden im Raum gibt es unendlich viele auf ihr senkrecht stehende Richtungen). Gebräuchlich ist die oben vorgestellte Parameterform

 ,

wobei  ,   und   nun Vektoren im Raum sind. Mit Hilfe des Vektorprodukts lässt sich noch eine andere, parameterfreie Geradenform konstruieren, die Determinantenform

 .

Hierbei ist   wiederum der Ortsvektor eines festen Punkts der Geraden und   der Richtungsvektor der Geraden. Da die Differenz   des Ortsvektors   jedes beliebigen Punktes der Geraden und dem Stützvektor   kollinear zum Richtungsvektor   sein muss (also in dieselbe oder in die entgegengesetzte Richtung zeigt), ergibt das Vektorprodukt der beiden immer den Nullvektor:

 .

Für jeden Vektor  , der Ortsvektor eines Punktes der Geraden ist, trifft die Gleichung zu, in allen anderen Fällen ergibt sich nicht der Nullvektor. Ist   ein Einheitsvektor, so entspricht

 

genau dem Abstand der Geraden vom Ursprung.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

AnmerkungenBearbeiten

  1. Der Parameter   wird in der Literatur auch mit  ,   oder   bezeichnet. In Österreich schreibt man meist  .

WeblinksBearbeiten

  Commons: Lineare Gleichungen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  Commons: Lineare Funktionen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien