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Lineare Gleichung

mathematische Bestimmungsgleichung, in der ausschließlich Linearkombinationen der Unbekannten vorkommen

Eine lineare Gleichung ist eine mathematische Bestimmungsgleichung, in der ausschließlich Linearkombinationen der Unbekannten vorkommen. Kennzeichnend ist für eine lineare Gleichung also, dass jede Unbekannte nur in der ersten Potenz steht, also nicht beispielsweise quadriert vorkommt (siehe quadratische Gleichung). Typischerweise sind die Unbekannten einer linearen Gleichung Skalare, meist reelle Zahlen. Im einfachsten Fall einer skalaren Unbekannten besitzt eine lineare Gleichung die Form

,

wobei und Konstanten sind. Es gibt aber auch lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten und mit anderen mathematischen Objekten als Unbekannten, beispielsweise Folgen (lineare Differenzengleichungen), Vektoren (lineare Gleichungssysteme) oder Funktionen (lineare Differentialgleichungen). Im allgemeinen Fall besitzt eine lineare Gleichung die Form

,

wobei eine lineare Abbildung ist.

Homogene lineare Gleichungen sind spezielle lineare Gleichungen, bei denen der konstante Term der Gleichung gleich null ist. Die Lösungen einer homogenen linearen Gleichung bilden einen Untervektorraum des Vektorraums der Unbekannten und besitzen damit besondere Eigenschaften wie die Gültigkeit des Superpositionsprinzips. Die Lösungen einer inhomogenen linearen Gleichung bilden hingegen einen affinen Unterraum, so lässt sich jede Lösung einer inhomogenen linearen Gleichung als Summe der Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung und einer Partikulärlösung darstellen. Der Lösungsraum einer linearen Gleichung kann über den Kern und den Kokern der linearen Abbildung charakterisiert werden.

Lineare Gleichungen und deren Lösungen werden insbesondere in der linearen Algebra und der linearen Funktionalanalysis studiert, sie spielen aber auch in der Zahlentheorie eine Rolle.

Skalare lineare GleichungenBearbeiten

Häufig sind die Unbekannten bei linearen Gleichungen Skalare (meist reelle oder komplexe Zahlen). Solche lineare Gleichungen sind dann spezielle algebraische Gleichungen vom Grad 1.

Lineare Gleichungen mit einer UnbekanntenBearbeiten

Eine skalare Gleichung mit einer Unbekannten   heißt linear, wenn sie durch Äquivalenzumformungen (siehe Lösen von Gleichungen) in die Form

 

gebracht werden kann. Hierbei sind   und   Konstanten, die nicht von   abhängen.

Ist  , kann der Wert der Unbekannten  , mit dem die Gleichung erfüllt ist, bestimmt werden, indem auf beiden Seiten durch   geteilt wird:

 

Falls   und   sind, besitzt die Gleichung keine Lösung. Falls   und   sind, gibt es unendlich viele Lösungen, weil dann nämlich jedes   die Gleichung erfüllt.

Beispiele

Die Lösung der linearen Gleichung

 

erhält man, indem man beide Seiten durch 3 dividiert, sodass auf der linken Seite nur noch die Unbekannte   übrig bleibt:

 .

Die lineare Gleichung

 

besitzt keine Lösung, während die lineare Gleichung

 

für jedes   erfüllt wird.

Lineare Gleichungen mit zwei UnbekanntenBearbeiten

 
Die Lösungsmenge der linearen Gleichung  

Eine skalare Gleichung mit zwei Unbekannten   und   heißt linear, wenn sie durch Äquivalenzumformungen in die Form

 

gebracht werden kann, wobei  ,   und   Konstanten sind. Die Lösungen bilden Geraden im zweidimensionalen Raum, sofern nicht sowohl   als auch   gilt. Man spricht dann auch von der Koordinatenform einer Geradengleichung. Andernfalls ist die Lösungsmenge entweder der ganze zweidimensionale Raum   oder leer  .

Die Lösung einer solchen Gleichung wird oft in Parameterdarstellung angegeben. Hierzu löst man die Gleichung nach einer der Unbekannten auf, beispielsweise  , was, sofern  ,

 

ergibt, und fasst die andere Unbekannte   als freien Parameter   auf. Damit kann man die Lösung als

   und     mit   

schreiben. Auf diese Weise wird sichtbar, dass, obwohl die Gleichung zwei Unbekannte enthält, der Lösungsraum nur eindimensional ist, also lediglich von einem Parameter   abhängt. Die Parameterdarstellung selbst ist nicht eindeutig. Ist  , kann man die Gleichung auch nach   auflösen und   als freien Parameter wählen. Auch andere Parametrisierungen sind möglich, dennoch wird durch sie die gleiche Lösungsmenge beschrieben.

Beispiel

Die Lösungsmenge für die lineare Gleichung

 

ist durch Auflösen nach   als

   und     mit   

gegeben. Den Funktionsgraph der beschriebenen Gerade erhält man dann über die Geradengleichung

 .

Lineare Gleichungen mit mehreren UnbekanntenBearbeiten

 
Die Lösung einer reellen linearen Gleichung mit drei Unbekannten ist im Allgemeinen eine Ebene.

Allgemein heißt eine skalare Gleichung mit   Unbekannten   linear, wenn sie durch Äquivalenzumformungen in die Form

 

gebracht werden kann, wobei   und   Konstanten sind. Es dürfen also ausschließlich Linearkombinationen der Unbekannten auftreten. Die Lösungen solcher Gleichungen sind im Allgemeinen  -dimensionale Teilmengen (Hyperebenen) des zugehörigen  -dimensionalen Raums. Falls   ist die Lösungsmenge entweder der ganze  -dimensionale Raum   oder leer  .

Die Parameterdarstellung der Lösungsmenge erhält man im allgemeinen Fall wiederum dadurch, dass man die Gleichung nach einer der Unbekannten, beispielsweise   wenn  , auflöst,

 ,

und die anderen Unbekannten als freie Parameter   bis   auffasst. Damit ist die Lösungsmenge gegeben als

   mit   .

Dadurch, dass   Parameter frei wählbar sind, ist der Lösungsraum  -dimensional. Auch hier ist die Parameterdarstellung nicht eindeutig, man kann die Gleichung auch nach einer der anderen Unbekannten, sofern der zugehörige Koeffizient ungleich Null ist, auflösen oder eine andere Parametrisierung wählen.

Beispiel

Die Lösungsmenge der linearen Gleichung mit drei Unbekannten

 

ist eine Ebene im dreidimensionalen Raum mit Darstellung

   mit   .

Allgemeine lineare GleichungenBearbeiten

Lineare AbbildungenBearbeiten

Allgemein werden lineare Gleichungen über lineare Abbildungen definiert. Eine Gleichung der Form

 

heißt dabei linear, wenn   eine lineare Abbildung ist und wenn   unabhängig von   ist. Die Abbildung   bildet dabei von einem Vektorraum   in einen Vektorraum   ab, wobei   und   sind. Beide Vektorräume sind dabei über einem gemeinsamen Körper   definiert. Eine Abbildung ist linear, wenn für Konstanten  

 

gilt.

Beispiel

Ist   und  , dann ist   ein reeller Vektor und   eine reelle Zahl. Wählt man nun für   die lineare Abbildung

 

mit konstantem Vektor  , wobei   das Standardskalarprodukt der beiden Vektoren ist, dann erhält man die lineare Vektorgleichung

 ,

die äquivalent zur obigen skalaren linearen Gleichung mit   Unbekannten ist. Die Linearität von   folgt dabei direkt aus der Linearität der Skalarmultiplikation

 .

HomogenitätBearbeiten

 
Eine homogene und eine inhomogene skalare lineare Gleichung mit zwei Unbekannten   und  

Eine lineare Gleichung heißt homogen, falls   ist, also wenn sie die Form

 

hat, andernfalls heißt eine lineare Gleichung inhomogen. Homogene lineare Gleichungen besitzen mindestens den Nullvektor

 

als Lösung, da

 

gilt. Umgekehrt werden inhomogene lineare Gleichungen nie durch die triviale Lösung erfüllt.

Beispiel

Die Lösung der homogenen linearen Gleichung mit zwei Unbekannten   und  

 

ist eine Gerade im zweidimensionalen Raum, die durch den Nullpunkt geht. Die Lösung der inhomogenen Gleichung

 

ist eine dazu parallele Gerade, die aber nicht den Nullpunkt enthält.

SuperpositionBearbeiten

 
Superpositionsprinzip bei der linearen Gleichung  : Lösung der homogenen Gleichung (blau), Partikulärlösung (grün) und Lösung der inhomogenen Gleichung (rot)

Homogene lineare Gleichungen besitzen die Superpositionseigenschaft: Seien   und   zwei Lösungen einer homogenen linearen Gleichung, dann ist auch   eine Lösung dieser Gleichung. Allgemein gilt sogar, dass alle Linearkombinationen   von Lösungen einer homogenen linearen Gleichung mit Konstanten   und   diese Gleichung lösen, da

 

gilt. Durch die Einbeziehung von   und der Superpositionseigenschaft bilden die Lösungen einer homogenen linearen Gleichung einen Untervektorraum von  .

Weiterhin lässt sich die Lösung einer inhomogenen Gleichung als Summe der Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung und einer Partikulärlösung darstellen: Sei   eine konkrete Lösung einer inhomogenen linearen Gleichung und sei   die allgemeine Lösung des zugehörigen homogenen Problems, dann ist   die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung, da

 

gilt. Die Lösungen einer inhomogenen linearen Gleichung bilden damit einen affinen Unterraum über dem Vektorraum der zugehörigen homogenen Gleichung.

Umgekehrt gilt entsprechend: Sind   und   zwei Lösungen einer inhomogenen linearen Gleichung, dann löst   die zugehörige homogene Gleichung, da

 

gilt.

Beispiel

Eine konkrete Lösung der inhomogenen Gleichung

 

ist

 .

Sind nun   die Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung

 ,

also alle   mit  , dann wird die inhomogene Gleichung allgemein gelöst durch

   mit   .

Dimension des LösungsraumsBearbeiten

Der Lösungsraum einer homogenen linearen Gleichung wird als Kern   der linearen Abbildung bezeichnet, seine Dimension nennt man auch Defekt. Aufgrund des Rangsatzes gilt für die Dimension des Lösungsraums einer endlich-dimensionalen homogenen linearen Gleichung

 .

Dabei ist   der Rang der Abbildung, also die Dimension seines Bildes. Das Bild einer Abbildung ist die Menge der Werte, die   für   annehmen kann.

Aufgrund der Superpositionseigenschaft ist die Dimension des Lösungsraums einer inhomogenen linearen Gleichung gleich der der zugehörigen homogenen Gleichung, sofern eine Partikulärlösung existiert. Dies ist genau dann der Fall, wenn die rechte Seite   im Bild der Abbildung liegt, also   gilt. Der Kokern der linearen Abbildung   beschreibt gerade den Raum der Bedingungen, die die rechte Seite einer linearen Gleichung erfüllen muss, damit die Gleichung lösbar ist. Seine Dimension ist

 .

Beispiele

Wählt man als Vektorräume   und   sowie als lineare Abbildung

 ,

wobei zumindest einer der Koeffizienten   ungleich Null sei, dann ist das Bild von   der ganze Raum   und somit

 .

Der Lösungsraum der homogenen linearen Gleichung   hat also Dimension 2 und ist eine Ebene im dreidimensionalen Raum. Auch der Lösungsraum der inhomogenen Gleichung   ist hier eine Ebene, da die Gleichung, wenn beispielsweise   ist, die Partikulärlösung   besitzt. Der Kokern hat hier Dimension 0, die Gleichung ist also für beliebiges   lösbar.

Wählt man stattdessen

 ,

dann werden alle Vektoren aus   auf die Null abgebildet und es gilt

 .

Der Lösungsraum der zugehörigen homogenen linearen Gleichung ist also der gesamte dreidimensionale Raum. Der Lösungsraum der inhomogenen Gleichung ist in diesem Fall leer, da die Gleichung nur für   eine Lösung besitzt. Der Kokern hat Dimension 1.

Wichtige Typen linearer GleichungenBearbeiten

Lineare diophantische GleichungenBearbeiten

Wählt man Vektorräume   und   über den ganzen Zahlen und

 

mit konstantem Koeffizientenvektor  , erhält man die linearen diophantischen Gleichungen

 ,

von denen ganzzahlige Lösungen   gesucht werden. Lineare diophantische Gleichungen besitzen Lösungen, wenn der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten   bis   ein Teiler der rechten Seite   ist, also wenn

 

gilt. Die Lösungen können dann durch Kombination der Lösungen der homogenen Gleichung mit einer Partikulärlösung, die mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus gefunden werden kann, angegeben werden.

Lineare VektorgleichungenBearbeiten

Wählt man die Vektorräume   und   sowie

 

wobei   eine reelle  -Matrix ist, erhält man die lineare Vektorgleichung

 

mit rechter Seite   und unbekanntem Vektor  , die gerade ein lineares Gleichungssystem darstellt. Ein lineares Gleichungssystem entsteht also durch Zusammenfassen von mehreren skalaren linearen Gleichungen mit ein oder mehreren Unbekannten zu einer Einheit. Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist dann die Schnittmenge der Lösungen der einzelnen Gleichungen. Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix   gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix   ist. Lineare Gleichungssysteme können beispielsweise mit Hilfe des gaußschen Eliminationsverfahrens gelöst werden.

Lineare DifferenzengleichungenBearbeiten

Wählt man die Vektorräume   als Folgenräume und,

 

erhält man die lineare Differenzengleichung  -ter Ordnung

   für   ,

wobei die Unbekannte   eine Folge ist und   sowie   Koeffizienten sind, die zwar von   abhängen dürfen, aber unabhängig von den Gliedern der gesuchten Folge sein müssen. Die Lösung einer Differenzengleichung hängt von den Startwerten   ab und ist dann eindeutig definiert. Lineare Differenzengleichungen können durch Kombination der Lösung der homogenen Gleichung, die mit Hilfe der charakteristischen Gleichung gefunden werden kann, mit einer Partikulärlösung explizit gelöst werden.

Lineare gewöhnliche DifferentialgleichungenBearbeiten

Wählt man die Vektorräume   und   als Funktionenräume mit stetig differenzierbaren Funktionen   und  , erhält man durch Wahl von   als linearen gewöhnlichen Differentialoperator  -ter Ordnung

 

die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

 ,

wobei die Koeffizientenfunktionen   und die rechte Seite   zwar von  , aber nicht von der gesuchten Funktion   und deren Ableitungen   abhängen dürfen. Ist   eine vektorwertige Funktion, spricht man von einem linearen Differentialgleichungssystem. Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung gibt der Satz von Picard-Lindelöf. Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung kann über das zugehörige Fundamentalsystem angegeben werden, eine Partikulärlösung kann beispielsweise mittels der Variation der Konstanten gefunden werden.

Lineare partielle DifferentialgleichungenBearbeiten

Sind die Vektorräume   und   ebenfalls Funktionenräume, wobei   und   stetig differenzierbare Funktionen mehrerer Veränderlicher sind, erhält man durch Wahl von   als linearen partiellen Differentialoperator  -ter Ordnung

 

die lineare partielle Differentialgleichung

 ,

wobei  ,   und   sind. Wiederum dürfen die Koeffizientenfunktionen   und die rechte Seite   zwar von den Koordinaten   bis  , aber nicht von der gesuchten Funktion   und deren partiellen Ableitungen abhängen. Damit die Lösung einer partiellen Differentialgleichung eindeutig bestimmt ist, müssen Anfangs- und/oder Randbedingungen vorgegeben werden. Zur Lösung linearer partieller Differentialgleichungen gibt es verschiedene Ansätze, beispielsweise Fundamentallösungen, die Methode der Charakteristiken oder der Separationsansatz.

Lineare IntegralgleichungenBearbeiten

Sind die Vektorräume   und   Funktionenräume ausreichender Integrierbarkeit, erhält man durch Wahl von   als linearen Integraloperator

 

mit Integralkern   und konstantem Vorfaktor   die lineare Integralgleichung

 ,

die im allgemeinen Fall eine Volterra-Integralgleichung 2. Art darstellt. Sind beide Integrationsgrenzen fest, so handelt es sich um eine Fredholm-Integralgleichung. Ist  , spricht man von einer Integralgleichung 1. Art.

Weitere lineare OperatorgleichungenBearbeiten

Beispiele für weitere lineare Operatorgleichungen mit Funktionen als Unbekannten sind:

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Linear equations – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien