Abstand

Länge einer gradlinigen Strecke, die zwei Punkte verbindet

Der Abstand, auch die Entfernung oder die Distanz zweier Punkte ist die Länge der kürzesten Verbindung dieser Punkte.

Abstand zweier Punkte, ist die Länge der kürzesten Verbindung von nach

Im euklidischen Raum ist dies die Länge der geradlinigen Strecke zwischen den beiden Punkten. Der Abstand zweier geometrischer Objekte ist die Länge der kürzesten Verbindungslinie der beiden Gegenstände, also der Abstand der beiden einander nächstliegenden Punkte. Werden nicht die einander nächstliegenden Punkte zweier Objekte betrachtet, so wird dies explizit angegeben oder ergibt sich aus dem Zusammenhang, wie beispielsweise der Abstand der geometrischen Mittelpunkte oder der Schwerpunkte.

Die Metrik ist der Teil der Mathematik, der sich mit der Abstandsmessung beschäftigt.

Der Abstand, die Entfernung, die Distanz zwischen zwei Werten einer Größe oder zwischen zwei Zeitpunkten wird bestimmt, indem man den Absolutbetrag ihrer Differenz bildet, das heißt, indem sie voneinander abgezogen werden und vom Ergebnis der Absolutbetrag gebildet wird. Der gemessene Abstand ist unabhängig vom gewählten Referenzpunkt des Koordinatensystems, nicht aber von dessen Skalierung (siehe auch Maßstabsfaktor).

In der beobachtenden Astronomie wird der scheinbare Abstand am Himmel zwischen zwei Himmelsobjekten als Winkelabstand angegeben.

Der Abstand zweier Mengen im euklidischen Raum (oder allgemeiner in einem metrischen Raum) kann über die Hausdorff-Metrik definiert werden.

Euklidischer AbstandBearbeiten

Im kartesischen Koordinatensystem berechnet man den Abstand (euklidischer Abstand) zweier Punkte mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:

 
Der Abstand zweier Punkte in der Ebene
 [1]

Für die Ebene ( ):

 

Für den dreidimensionalen Raum ( ):

 [2]

Der Abstand eines Punkts von einer Geraden oder einer ebenen Fläche ist der Abstand vom Fußpunkt des darauf gefällten Lots, der von einer gekrümmten Linie ist stets ein Abstand von einer ihrer Tangenten.

Berechnungsmöglichkeiten für die Abstände von Punkten zu Geraden oder Ebenen sind in der Formelsammlung analytische Geometrie aufgeführt.

Abstand in der EbeneBearbeiten

Abstand zwischen Punkt und GeradeBearbeiten

 
Beispiel: Abstand   zwischen Punkt   und Geraden   in der Ebene.

Der Abstand zwischen dem Punkt   und der Geraden   mit der Koordinatenform   beträgt:

 

Der Punkt auf der Geraden  , der   am nächsten liegt, hat die Koordinaten

 

Wenn die Gerade   durch die Punkte   und   verläuft, ist

 
 
 

Diese Werte können in die Formeln eingesetzt werden.[3]

Beispiel

Eingesetzte Werte für Gerade  :   und für Punkt  

 [LE]

Abstand im dreidimensionalen RaumBearbeiten

Für die Konstruktion des Abstandes bedarf es als zusätzliches Hilfsmittel einer Dynamischen-Geometrie-Software (DGS).

Abstand zwischen Punkt und GeradeBearbeiten

Der Abstand zwischen dem Punkt   und der Geraden  , die durch die Punkte   und   verläuft, beträgt mit den Vektoren  :

 [4]

Beispiel

 
Beispiel: Abstand   zwischen Punkt   und Geraden   im Raum.

Konstruktion des Abstandes  .

Gegeben sind die Koordinaten der Punkte   und  , durch die die Gerade   verläuft, und der Punkt  .

Nach dem Einzeichnen der Geraden   durch  ,   und dem Punkt   werden die Verbindungsvektoren   und   eingezeichnet. Eine abschließend errichtete Senkrechte auf die Gerade   durch Punkt   liefert den Abstand  [LE].

Nachrechnung

Diese Werte in die Formel eingesetzt, ergeben

 
 [LE].

Abstand zwischen zwei windschiefen GeradenBearbeiten

Zwei windschiefe Geraden ( ), wobei die eine durch die Punkte   und   und die andere durch die Punkte   und   verläuft, haben mit den Vektoren   folgenden Abstand:

 [5]

Beispiel

 
Beispiel: Konstruktion des Abstandes   zwischen zwei windschiefen Geraden   und   im Raum.

Konstruktion des Abstandes   mithilfe einer Hilfsebene.

Gegeben seien die Koordinaten der vier Punkte   und  

Nach dem Einzeichnen der Geraden   durch  ,   und   durch  ,   werden zunächst die Verbindungsvektoren   und   eingezeichnet. Für das Bestimmen der Hilfsebene wird eine Parallele zu   durch   gezogen und anschließend der Punkt   beliebig auf der Parallele markiert. Mithilfe der somit gegebenen drei Punktes   und   wird die Ebene   generiert. Es folgt das Fällen des Lots vom Punkt   auf die Ebene   mit Fußpunkt   und eine Parallele zu   die   in   (rot) schneidet. Abschließend liefert die Parallele zu   ab dem Punkt   bis zur Geraden   den Abstand:  [LE].

Nachrechnung

Diese Werte eingesetzt in die Formel ergeben

 
 [LE].

Abstand zwischen Punkt und EbeneBearbeiten

Der Abstand zwischen dem Punkt   und der Ebene   mit der Koordinatenform  [A 1] beträgt:

 [A 1]

Für die einzusetzenden Werte gilt:

 

Wenn drei Punkte  ,  ,   gegeben sind, die eine Ebene   bestimmen (siehe Dreipunkteform) dann lässt sich der Abstand mithilfe der Vektoren   mit folgender Formel berechnen:

 [6][A 2]

Dabei steht   für das Kreuzprodukt,   für das Skalarprodukt und   für den Betrag des Vektors.

Beispiel

 
Beispiel: Konstruktion des Abstandes   zwischen dem Punkt   und der Ebene   im Raum.

Konstruktion des Abstandes  [7]

Gegeben seien die Koordinaten der drei Punkte der Ebene   mit   sowie des außerhalb liegenden Punktes  

Nach dem Eintragen der Punkte   und   sowie des außerhalb liegenden Punktes   kann die Ebene   generiert werden. Anschließend fällt man das Lot vom Punkt   des Koordinatenursprungs auf die Ebene   mit dem Fußpunkt   Durch die Punkte   und   verläuft auch der, aus der Parameterdarstellung von   ermittelbare, Normalenvektor mit   Abschließend liefert die Parallele zu   ab dem Punkt   bis zur Ebene   den Abstand:  [LE].

Nachrechnung

Ermittlung der einzusetzenden Werte für Formel  

 

Diese Werte eingesetzt in   ergeben schließlich

 [LE].

Das Ergebnis gleicht dem des Beispiels.

Andere DefinitionenBearbeiten

Die Definition des euklidischen Abstands kann mithilfe von Metriken verallgemeinert werden. Der euklidische Abstand ist der euklidischen Norm (2-Norm) eines Vektorraums, z. B. des dreidimensionalen euklidischen Raums, zugeordnet, siehe Metrischer Raum - Beispiele.

Manhattan-MetrikBearbeiten

 
Die Linien in rot, blau und gelb sind drei Beispiele für die Manhattan-Metrik zwischen den zwei schwarzen Punkten (je 12 Einheiten lang). Die grüne Linie stellt zum Vergleich den euklidischen Abstand dar, der eine Länge von   Einheiten hat.

Die sogenannte Manhattan-Metrik ist eine Metrik, in der den Abstand   zwischen zwei Punkten   und   als die Summe der absoluten Differenzen ihrer Einzelkoordinaten definiert wird:[8]

 

Die Manhattan-Metrik ist die von der Summennorm (1-Norm) eines Vektorraums erzeugte Metrik.

Weil die Wege zwischen zwei Punkten immer rechtwinklig entlang den horizontalen und vertikalen Linien (Straßen) verlaufen, aber nicht durch die quadratischen "Gebäudeblöcke", ist der Abstand zwischen zwei Punkten nicht kleiner und im Allgemeinen größer als der euklidischen Abstand. Der Abstand zwischen zwei Punkten mit ganzzahligen Koordinaten (Kreuzungen) ist immer eine ganze Zahl.

So ist beispielsweise in der nebenstehenden Grafik die Manhattan-Metrik in einem zweidimensionalen Raum, sodass sich

 

ergibt, wobei   und   die schwarz markierten Punkte sind.

Abstandsmessung auf gekrümmten FlächenBearbeiten

Auf der Kugeloberfläche wird der Abstand entlang von Großkreisen bestimmt und im Gradmaß oder Bogenmaß angegeben. Zur Berechnung des Abstandes siehe Orthodrome.

Auf dem Erdellipsoid oder anderen konvexen Flächen benutzt man die geodätische Linie oder den Normalschnitt.

In der Geodäsie und den Geowissenschaften spricht man eher von Distanz oder Entfernung, die metrisch angegeben wird.

Dichtestes PunktpaarBearbeiten

 
Die zwei Punkte mit dem kleinsten Abstand sind rot markiert.

Das Problem des dichtesten Punktpaares (englisch closest pair of points problem) ist die Suche nach den zwei am dichtesten beieinander liegenden Punkten in einer Ebene. Gegeben ist eine beliebige Menge von Punkten in der Ebene und gesucht sind zwei dieser Punkte, sodass der euklidische Abstand minimal ist. Ein ähnliches Problem ist die Suche nach den zwei am weitesten voneinander entfernten Punkten in der Ebene, also den zwei Punkten mit dem maximalen euklidischen Abstand.

Der Brute-force-Algorithmus berechnet die Abstände zwischen allen möglichen Punktpaaren und wählt das Punktpaar mit dem kleinsten Abstand aus. Die Laufzeit des Algorithmus ist quadratisch und liegt in  . Ein Divide-and-conquer-Algorithmus hat eine Laufzeit, die in   liegt.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Wiktionary: Abstand – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wikiquote: Abstand – Zitate

AnmerkungenBearbeiten

  1. a b Um eine Doppelbezeichnung der Konstante   zu vermeiden wurde mit passendem Vorzeichen   gewählt.
  2. Im Gegensatz zur Formel aus dem englischen Sprachraum wurde für den Abstand die Bezeichnung   anstatt   gewählt.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Petra Stein, Sven Vollnhals: 3.5.1 Spezialfälle der Minkowski-Metrik: Das euklidische Distanzmaß. 3.5 Distanz- und Ähnlichkeitsmaße für metrische Variablen. In: Grundlagen clusteranalytischer Verfahren. Universität Duisburg-Essen, 1. April 2011, S. 15, abgerufen am 19. Oktober 2018.
  2. Klaus Hefft: 9.1.3 Euklidischer Raum. 9.1 Dreidimensionaler euklidischer Raum. In: MATHEMATISCHER VORKURS zum Studium der Physik. Universität Heidelberg, 8. Juli 2018, abgerufen am 19. Oktober 2018.
  3. Wolfram MathWorld: Point-Line Distance--2-Dimensional
  4. Wolfram MathWorld: Point-Line Distance--3-Dimensional
  5. Wolfram MathWorld: Line-Line Distance
  6. Wolfram MathWorld: Point-Plane Distance
  7. R. Verfürth: I.5.7. Parameterfreie Darstellungen einer Ebene.; Beispiel I.5.6. Mathematik für Maschinenbauer, Bauingenieure und Umwelttechniker I. Ruhr-Universität Bochum, Dezember 2006, S. 37―39, abgerufen am 22. Mai 2021.
  8. Wolfram MathWorld: Taxicab Metric