Lot (Mathematik)

Ein Lot ist in der Geometrie eine Strecke oder Gerade, die auf einer gegebenen Geraden oder Ebene senkrecht steht. Je nachdem, ob es sich um eine Gerade oder um eine Strecke handelt, spricht man auch von Lotgerade oder Lotstrecke. Der Schnittpunkt des Lots mit der gegebenen Geraden oder Ebene wird Lotfußpunkt genannt. Das Lot kann auf verschiedene Weisen mit Zirkel und Lineal geometrisch konstruiert werden. Berechnet werden kann es durch Ermittlung eines Normalenvektors der Gerade oder Ebene oder durch Orthogonalprojektion eines Punkts außerhalb der Gerade oder Ebene. Die Länge der Lotstrecke ist dann gerade der Abstand (Normalabstand) eines Punkts von der Gerade oder Ebene.

Lot von einem Punkt auf eine Gerade mit Lotfußpunkt

DefinitionBearbeiten

Eine Strecke oder Gerade   heißt Lot auf eine Gerade   oder Ebene  , wenn

    bzw.    

gilt, wenn sie also senkrecht auf der Geraden oder Ebene steht und somit mit ihr einen rechten Winkel bildet. Der Lotfußpunkt ist dann der Schnittpunkt   bzw.   des Lots mit der Geraden oder Ebene.

Geometrische KonstruktionenBearbeiten

In zwei Dimensionen lässt sich das Lot auf eine Gerade auf einfache Weise mit Zirkel und Lineal konstruieren. Je nachdem, ob ein gegebener Punkt   auf der Geraden   oder außerhalb liegt, spricht man vom Errichten oder vom Fällen des Lots.

Errichten des LotsBearbeiten

Ist ein Punkt   auf der Geraden   gegeben, dann findet man die Lotgerade durch diesen Punkt wie folgt:

Man sticht den Zirkel in den Punkt   ein und bestimmt durch Ziehen eines beliebigen Kreisbogens zwei Punkte auf   mit gleichem Abstand von  . Dann vergrößert man den Winkel des Zirkels, sticht ihn jeweils in einen der beiden gefundenen Punkte auf   ein und findet durch Ziehen zweier Kreisbögen einen Punkt (von zwei möglichen) außerhalb der Geraden   mit gleichem Abstand von den beiden Punkten. Die Gerade, die durch diesen Punkt und den gegebenen Punkt   verläuft, ist dann die Lotgerade zu   durch  .

Eine Alternative, auf einer Geraden   durch den Punkt   mit eingeschränkten Platzverhältnissen ein Lot zu errichten, zeigt das rechte Bild. Die einfache Konstruktion lässt sich auf folgende Art und Weise beschreiben: Man schlägt um einen frei wählbaren Punkt   einen Kreisbogen mit dem Radius  , bis er die Gerade   in   schneidet (bspw. kann man   so wählen, dass eine gedachte Linie von   zu   mit der Geraden   einen Winkel von ca. 45° bildet). Es folgt das Zeichnen einer Linie ab   durch  , bis sie den Kreisbogen in   schneidet. Die abschließende Linie, die durch   und   verläuft, ist dann die Lotgerade zu   durch  .

   
Errichten eines Lots als Mittelsenkrechte zweier Punkte.
Errichten eines Lots mithilfe des Thaleskreises. Die Position des Punktes   ist frei wählbar.

Fällen des LotsBearbeiten

 
Fällen des Lots
 
Alternative Methode zum Fällen des Lots

Ist ein Punkt   außerhalb der Geraden   gegeben, dann findet man das Lot durch   auf   wie folgt: Man sticht den Zirkel in den Punkt   ein und bestimmt durch Ziehen eines Kreisbogens mit entsprechend großem Radius zwei Punkte auf   mit gleichem Abstand von  . Dann sticht man jeweils in einen der beiden gefundenen Punkte auf   ein und findet durch Ziehen zweier Kreisbögen (mit hinreichend großem Radius) einen weiteren Punkt mit gleichem Abstand von den beiden Punkten. Die Gerade, die durch diesen Punkt und den gegebenen Punkt   verläuft, ist dann die Lotgerade zu   durch   und der Schnittpunkt dieser Lotgeraden mit   ist der Lotfußpunkt  .

Eine alternative Konstruktion, von einem gegebenen Punkt das Lot auf eine Gerade zu fällen, besteht darin, den Zirkel an zwei beliebigen Punkten   und   auf der Geraden einzustechen und jeweils den Kreis, der durch den gegebenen Punkt   verläuft, einzuzeichnen. Diese beiden Kreise schneiden sich dann in einem weiteren Punkt   außerhalb der Gerade und die Linie die durch   und   verläuft, ist dann die Lotgerade durch  . Diese Konstruktion kann auch für Spiegelungen benutzt werden.

BerechnungBearbeiten

In der analytischen Geometrie werden Punkte in der euklidischen Ebene oder im euklidischen Raum mit Hilfe eines kartesischen Koordinatensystems durch Ortsvektoren

    bzw.    

beschrieben. Geraden in der Ebene sind typischerweise durch eine Geradengleichung in Parameterform

 

gegeben, wobei   der Ortsvektor eines Geradenpunkts (Stützvektor),   ein Richtungsvektor der Geraden und   ein reeller Geradenparameter ist. Ebenen im Raum können als Ebenengleichung in Parameterform angegeben werden.

 

gegeben, wobei   und   reelle Ebenenparameter sind, sowie   und   zwei Spannvektoren der Ebene, die nicht kollinear sind. Zwei Vektoren   und   in der Ebene oder im Raum bilden einen rechten Winkel, wenn für ihr Skalarprodukt   gilt.

Errichten des LotsBearbeiten

Ein Richtungsvektor der Lotgeraden   zu einer gegebenen Geraden   oder einer Ebene   ist ein Normalenvektor   der Geraden bzw. Ebene. Man erhält im zweidimensionalen Fall einen Normalenvektor einer Geraden, indem man die beiden Komponenten des Richtungsvektors   vertauscht und bei einer der beiden Komponenten das Vorzeichen umkehrt, z. B. zu

 .

Einen Normalenvektor   einer Ebene kann man über das Kreuzprodukt zweier nichtkollinearer Spannvektoren durch

 

berechnen. Ist nun ein Punkt   mit dem Ortsvektor   auf der Geraden gegeben, dann ist die Gleichung der Lotgeraden  

 ,

wobei der Parameter   alle reellen Zahlen durchläuft. Eine Gerade im Raum hat keine ausgezeichnete Normalenrichtung, stattdessen besitzt sie an jedem Geradenpunkt eine Lotebene, deren Normalenvektoren zu den Richtungsvektoren der Geraden kollinear sind.

Fällen des LotsBearbeiten

Die Lotgerade   von einem Punkt mit dem Ortsvektor   auf eine Gerade   im zweidimensionalen Fall oder eine Ebene im Dreidimensionalen berechnet sich mithilfe des Normalenvektors  

 .

Der Lotfußpunkt   lässt sich als Schnittpunkt von   mit  , bzw.   berechnen.

Für eine Gerade im dreidimensionalen Raum verwendet man den Normalenvektor einer Hilfsebene  , die den Punkt   beinhaltet und senkrecht auf der Gerade steht.

Alternativ erhält man direkt den Lotfußpunkt mit dem Ortsvektor   auf   in der Ebene oder   im Raum mit dem Normalenvektor   als Orthogonalprojektion

 , wobei   der Stützvektor von  , bzw.   ist.

Es ist auch möglich, das Lot von einem Punkt im Raum auf eine Gerade im Raum zu fällen. Ist   ein Richtungsvektor der Geraden und   der Stützvektor, dann erhält man den Ortsvektor   des Lotfußpunkts durch

 .

Der Lotfußpunkt   ist derjenige Geraden- bzw. Ebenenpunkt, der den geringsten Abstand zu   hat. Die Länge der Lotstrecke, die sich mit dem Betrag   berechnet, wird Abstand von   zur Gerade   oder Ebene   genannt.

BeispielBearbeiten

Gegeben sei die Ebene durch den Stützvektor  , sowie die Spannvektoren   und  

 

Ein Normalenvektor der Ebene ist dann

 

oder auch einfacher  . Die Lotgerade   durch den Stützpunkt mit   auf   hat damit beispielsweise die Geradengleichung

 .

Ist der Ortsvektor   eines Punktes außerhalb der Ebene gegeben, dann erhält man für den Lotfußpunkt   des Lots von   auf   mit dem Stützvektor  mit

 .

Der Abstand   des Punkts   von der Ebene   erfüllt damit

 .

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Perpendicular – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien