Lot (Mathematik)

Ein Lot ist in der Geometrie eine Strecke oder Gerade, die auf einer gegebenen Geraden oder Ebene senkrecht steht. Je nachdem, ob es sich um eine Gerade oder um eine Strecke handelt, spricht man auch von Lotgerade oder Lotstrecke. Der Schnittpunkt des Lots mit der gegebenen Geraden oder Ebene wird Lotfußpunkt genannt. Das Lot kann auf verschiedene Weisen mit Zirkel und Lineal geometrisch konstruiert werden. Berechnet werden kann es mit Hilfe der Vektorrechnung und dem Skalarprodukt, das ein einfaches Mittel ist, um die Orthogonalität zweier Vektoren festzustellen. Die Länge der Lotstrecke ist dann gerade der Abstand (Normalabstand) eines Punkts von der Gerade oder Ebene.

Lot von einem Punkt auf eine Gerade mit Lotfußpunkt

Spezielle Lotgeraden/Lotebenen sind die Mittelsenkrechte zweier Punkte in der Ebene/Raum.

DefinitionBearbeiten

Eine Strecke oder Gerade   heißt Lot auf eine Gerade   oder Ebene  , wenn

    bzw.    

gilt, wenn sie also senkrecht auf der Geraden oder Ebene steht und somit mit ihr einen rechten Winkel bildet. Der Lotfußpunkt ist dann der Schnittpunkt   bzw.   des Lots mit der Geraden oder Ebene.

Geometrische KonstruktionenBearbeiten

In zwei Dimensionen lässt sich das Lot auf eine Gerade auf einfache Weise mit Zirkel und Lineal konstruieren. Je nachdem, ob ein gegebener Punkt   auf der Geraden   oder außerhalb liegt, spricht man vom Errichten oder vom Fällen des Lots.

Errichten des LotsBearbeiten

Ist ein Punkt   auf der Geraden   gegeben, dann findet man die Lotgerade durch diesen Punkt wie folgt:

Man sticht den Zirkel in den Punkt   ein und bestimmt durch Ziehen eines beliebigen Kreisbogens zwei Punkte auf   mit gleichem Abstand von  . Dann vergrößert man den Winkel des Zirkels, sticht ihn jeweils in einen der beiden gefundenen Punkte auf   ein und findet durch Ziehen zweier Kreisbögen einen Punkt (von zwei möglichen) außerhalb der Geraden   mit gleichem Abstand von den beiden Punkten. Die Gerade, die durch diesen Punkt und den gegebenen Punkt   verläuft, ist dann die Lotgerade zu   durch  .

Eine Alternative, auf einer Geraden   durch den Punkt   mit eingeschränkten Platzverhältnissen ein Lot zu errichten, zeigt das rechte Bild. Die einfache Konstruktion lässt sich auf folgende Art und Weise beschreiben: Man schlägt um einen frei wählbaren Punkt   einen Kreisbogen mit dem Radius  , bis er die Gerade   in   schneidet (bspw. kann man   so wählen, dass eine gedachte Linie von   zu   mit der Geraden   einen Winkel von ca. 45° bildet). Es folgt das Zeichnen einer Linie ab   durch  , bis sie den Kreisbogen in   schneidet. Die abschließende Linie, die durch   und   verläuft, ist dann die Lotgerade zu   durch  .

   
Errichten eines Lots als Mittelsenkrechte zweier Punkte.
Errichten eines Lots mithilfe des Thaleskreises. Die Position des Punktes   ist frei wählbar.

Fällen des LotsBearbeiten

 
Fällen des Lots
 
Alternative Methode zum Fällen des Lots

Ist ein Punkt   außerhalb der Geraden   gegeben, dann findet man das Lot durch   auf   wie folgt: Man sticht den Zirkel in den Punkt   ein und bestimmt durch Ziehen eines Kreisbogens mit entsprechend großem Radius zwei Punkte auf   mit gleichem Abstand von  . Dann sticht man jeweils in einen der beiden gefundenen Punkte auf   ein und findet durch Ziehen zweier Kreisbögen (mit hinreichend großem Radius) einen weiteren Punkt mit gleichem Abstand von den beiden Punkten. Die Gerade, die durch diesen Punkt und den gegebenen Punkt   verläuft, ist dann die Lotgerade zu   durch   und der Schnittpunkt dieser Lotgeraden mit   ist der Lotfußpunkt  .

Eine alternative Konstruktion, von einem gegebenen Punkt das Lot auf eine Gerade zu fällen, besteht darin, den Zirkel an zwei beliebigen Punkten   und   auf der Geraden einzustechen und jeweils den Kreis, der durch den gegebenen Punkt   verläuft, einzuzeichnen. Diese beiden Kreise schneiden sich dann in einem weiteren Punkt   außerhalb der Gerade und die Linie die durch   und   verläuft, ist dann die Lotgerade durch  . Diese Konstruktion kann auch für Spiegelungen benutzt werden.

BerechnungBearbeiten

In der EbeneBearbeiten

 
Lotgerade (rot) zu einer Gerade   und einem Punkt  

Lotgerade, FußpunktBearbeiten

Für einen Punkt   und eine Gerade   in der Ebene hat diejenige Gerade   (Lotgerade) durch  , die auf   senkrecht steht, die Normalenform

(LG2)  

denn der Richtungsvektor   der Gerade   muss ein Normalenvektor der Lotgerade   sein. Soll der Lotfußpunkt   (Schnittpunkt von  ) bestimmt werden, setzt man die Parameterdarstellung von   in die Gleichung der Lotgerade ein, löst nach   auf und setzt das Ergebnis in die Parameterdarstellung von   ein, es ergibt sich:

(LF2) 

Andere Vorgaben:
a) Falls die Gerade   durch zwei Punkte   gegeben ist, kann man   setzen.
b) Falls die Gerade   durch die Gleichung   gegeben ist, hat die Lotgerade durch den Punkt   die Gleichung  . Der Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt beider Geraden. Alternativ kann man   und   setzen und die obige Formel verwenden.
c) Falls die Gerade   durch die Gleichung   oder in Normalenform   mit   beschrieben wird, kann man   setzen und für   einen der Achsenschnittpunkte wählen.

MittelsenkrechteBearbeiten

Die Mittelsenkrechte zweier Punkte   ist die Lotgerade durch den Mittelpunkt   der Strecke  . Mit   erhält man aus der Formel (LG2):

 
(MS)  

In Koordinaten ergibt sich für  :

 

Im RaumBearbeiten

Punkt und GeradeBearbeiten

 
Lotebene (rot) zu einer Gerade   und einem Punkt  

Setzt man in der obigen Formel (LG2) Vektoren aus dem   ein, so beschreibt sie diejenige Ebene durch  , die auf der Gerade   senkrecht steht, also die Lotebene:

(PGLE3)  

Der Schnittpunkt der Lotebene mit der Gerade   ergibt sich aus der 3-dimensionalen Form der obigen Formel (LF2):

(PGLF3)  

  ist der Lotfußpunkt.
Die Gerade   schneidet die Gerade   in   senkrecht. Also ist

(PGLG3)  

die Lotgerade von   auf  .

Punkt und EbeneBearbeiten

 
Lotgerade (rot) zu einer Ebene   und Punkt  

Für den Punkt   und die Ebene   ist

(PELG3)  

die Lotgerade. Der Schnittpunkt der Lotgerade mit der Ebene liefert durch Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung den Lotfußpunkt:

(PELF3) 

Alternative Vorgabe: Falls die Eben in der Form   gegeben ist, kann man   setzen.

MittellotebeneBearbeiten

Die Mittellotebene zweier Punkte   ist die Lotebene durch den Mittelpunkt   der Strecke  . Mit   erhält man, wie im ebenen Fall (Mittelsenkrechte), aus der Formel (PGLE3):

 
(MLE)  

In Koordinaten ergibt sich für  :

 

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Perpendicular – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien