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Als lineare Funktion wird oft (insbesondere in der Schulmathematik) eine Funktion der Form

also eine Polynomfunktion höchstens ersten Grades, bezeichnet.

Es handelt sich dabei jedoch nicht um eine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra, sondern um eine affine Abbildung, da die Linearitätsbedingung im Allgemeinen nicht erfüllt ist. Man spricht deswegen auch von einer affin-linearen Funktion. Um eine lineare Abbildung bzw. lineare Funktion im Sinne der linearen Algebra handelt es sich nur im Spezialfall , also Solche Funktionen werden auch als homogene lineare Funktion oder Proportionalität bezeichnet. In Anlehnung an diese Bezeichnung wird die Funktion für den Fall auch allgemeine lineare Funktion oder linear-inhomogene Funktion genannt. In diesem Artikel wird die häufig verwendete Bezeichnung lineare Funktion beibehalten.

Lineare Funktionen gehören zu den relativ einfachen Funktionen in der Mathematik. Sie sind stetig und differenzierbar. Viele Probleme lassen sich für lineare Funktionen leicht lösen; daher versucht man oft, komplizierte Problemstellungen durch lineare Zusammenhänge zu approximieren.

Inhaltsverzeichnis

GraphBearbeiten

 
Steigungsdreiecke am Graph der linearen Funktion  

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. In kartesischen Koordinaten   gilt

 

mit reellen Zahlen   und   wobei   (die Abszisse) eine unabhängige und   (die Ordinate) die abhängige Variable ist.

Es gibt zahlreiche andere Bezeichnungskonventionen für den Funktionsterm, z. B.       oder   In Österreich wird häufig   verwendet, in der Schweiz hingegen   In Belgien findet man auch   oder  

Diese Darstellung bezeichnet man auch als die Normalform einer linearen Funktion. Ihre zwei Parameter lassen sich wie folgt interpretieren:

Der Graph einer linearen Funktion verläuft nie parallel zur y-Achse, da damit einem   mehr als ein   zugeordnet wäre, was in Widerspruch zur definitorisch geforderten (Rechts-) Eindeutigkeit einer Funktion stünde.

Bestimmung des Funktionsterms aus zwei PunktenBearbeiten

 
Steigung einer linearen Funktion durch zwei gegebene Punkte

Es wird vorausgesetzt, dass die Punkte   und   auf dem Graphen der linearen Funktion   liegen und voneinander verschieden sind.

Die Steigung   lässt sich berechnen mit

 

Der y-Achsenabschnitt   ergibt sich mit

  oder  

Der gesuchte Funktionsterm   ist also gegeben durch

 

oder einfacher durch

 

ZusammenfassungBearbeiten

FunktionsgleichungBearbeiten

Eine Funktion   mit   heißt lineare Funktion. Im Fall   wird „ganzrationale Funktion 1. Grades“ oder „Polynom 1. Grades“ als Bezeichnung verwendet.
Die graphische Darstellung des Funktionsgraphen ist eine Gerade.

AchsenschnittpunkteBearbeiten

Schnittpunkt   mit der x-Achse:  
Schnittpunkt   mit der y-Achse:  

SteigungBearbeiten

 

Die Steigung   des Graphen einer linearen Funktion   lässt sich als Koeffizient   aus der Funktionsgleichung   ablesen.

Aus den Koordinaten zweier Punkte der Geraden wird sie so berechnet:

 

Funktionsgleichung aufstellenBearbeiten

  • Die Steigung   und ein Punkt   der auf der Geraden liegt, seien bekannt.
Ansatz:  
 
  • Die Koordinaten zweier Punkte   und   die auf der Geraden liegen, seien bekannt.
Zuerst wird der Steigungsfaktor   berechnet, dann damit  :
 
oder
 

Schnittpunkt zweier GeradenBearbeiten

Ansatz:  
Die Lösung   dieser Gleichung ist die x-Koordinate des Schnittpunktes der beiden Geraden.
  ist dann die y-Koordinate dieses Schnittpunktes  

Orthogonale GeradenBearbeiten

Für die Steigungen   und   zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden   und   gilt:
 
 
 

Ableitung und StammfunktionBearbeiten

Die Ableitung von   ist     ist also immer eine konstante Funktion, da die Ableitung einer Funktion die Steigung ihrer Tangente im Punkt   angibt.

Stammfunktionen von   haben die Gestalt   Dies lässt sich folgendermaßen zeigen:

 

GrenzwerteBearbeiten

Ist bei einer Funktion   der Koeffizient   positiv, so gilt   und   Der Graph entwickelt sich von „unten links“ nach „oben rechts“. Ist   jedoch negativ, gilt   und   Der Graph verläuft also von „oben links“ nach „unten rechts“. Beim Sonderfall   liegt eine konstante Funktion vor, es gilt also   der Graph verläuft in diesem Fall parallel zur x-Achse.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Lineare Gleichungen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  Commons: Lineare Funktionen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien