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Ganzrationale Funktion

mathematische Funktion
(Weitergeleitet von Polynomfunktion)
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Graph einer ganzrationalen Funktion 5. Grades
Polynom von Grad 0,
Polynom von Grad 1,
Polynom von Grad 2,
Polynom von Grad 3,
Polynom von Grad 4,

Eine ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion ist in der Mathematik eine Funktion, die als Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten beschrieben werden kann. Somit können solche Funktionen ausschließlich mittels der Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation beschrieben werden. Ganzrationale Funktionen gehören zu den rationalen Funktionen und enthalten ihrerseits als Spezialfälle die linearen und quadratischen Funktionen.

Dieser Artikel beschäftigt sich hauptsächlich mit den in der Schulmathematik üblichen ganzrationalen Funktionen über den reellen Zahlen. Weiterführende Informationen zu möglichen Verallgemeinerungen des Konzepts finden sich im Artikel Polynom.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine ganzrationale Funktion ist eine reelle Funktion, die sich in der Gestalt

 

schreiben lässt, wobei   eine natürlichen Zahl und   reellen Zahlen sind und   gilt.[1] Die Zahl   heißt Grad der Funktion, die Zahlen   sind ihre Koeffizienten. Der Koeffizient   wird als Leitkoeffizient bezeichnet. Der Summand   heißt Absolutglied, die Summanden   und   werden manchmal als lineares beziehungsweise quadratisches Glied bezeichnet.

Die hier angegebene Darstellung der ganzrationalen Funktion ist ihre Normalform. Beispielsweise kann man eine ganzrationale Funktion auch mittels Linearfaktoren oder mittels der Horner-Schemas darstellen.

BeispieleBearbeiten

  • Die Funktion mit dem Term   ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 3 mit den Koeffizienten   und  .
  • Bei der Funktion   muss der Funktionsterm zunächst durch Auflösen der Klammern in eine Summe umgeschrieben werden:
 
der Grad ist also 4 und die Koeffizienten sind   und  .
  • Bei einer ganzrationalen Funktion vom Grad   mit den Koeffizienten   kann der Funktionsterm geschrieben werden als  .

SpezialfälleBearbeiten

  • Für   ergeben sich konstante Funktionen  
  • Für   ergeben sich lineare Funktionen   (statt   schreibt man für die Steigung hier also  , und statt   für den  -Achsenabschnitt also  ).
  • Für   ergeben sich quadratische Funktionen   (statt   und   schreibt man hier also  ,   und  ).
  • Für   ergeben sich kubische Funktionen  .
  • Für   spricht man manchmal von quartischen Funktionen.
  • Ist nur   und alle anderen Koeffizienten sind gleich  , so ergibt sich eine Potenzfunktion   mit natürlichem Exponenten.

Algebraische EigenschaftenBearbeiten

Die Addition und die Multiplikation zweier ganzrationaler Funktionen ergeben wieder ganzrationale Funktionen. Somit bildet die Menge der ganzrationalen Funktionen eine Algebra über  . Für den Grad ganzrationaler Funktionen   und   gelten die Abschätzung beziehungsweise Gleichheit

 

und

 .

Dabei bezeichnet   den Grad von  .

Außerdem ist auch die Verkettung zweier ganzrationaler Funktionen wieder eine ganzrationale Funktion, das heißt, man erhält wieder eine ganzrationale Funktion, wenn man für die Funktionsvariable eine ganzrationale Funktion einsetzt.

SymmetrieBearbeiten

  • Sind alle Exponenten gerade Zahlen, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Die Funktion heißt dann auch gerade; es gilt  .
  • Sind alle Exponenten ungerade Zahlen, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Funktion heißt dann auch ungerade; es gilt  .
  • Treten sowohl gerade als auch ungerade Exponenten auf, so hat der Graph keine einfache Symmetrie; er kann aber dennoch symmetrisch zu anderen Achsen oder Punkten sein.

Beispiele:

  • Der Graph der Funktion   ist symmetrisch zur  -Achse (nur gerade Exponenten: 6, 4 und 2).
  • Der Graph der Funktion   ist symmetrisch zum Ursprung (nur ungerade Exponenten: 7 und 1).
  • Der Graph der Funktion   hat keine einfache Symmetrie (ungerade und gerade Exponenten: 3 und 0), ist aber punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt  .
  • Der Graph jeder ganzrationalen Funktion zweiten Grades ist achsensymmetrisch zur senkrechten Achse durch seinen Scheitelpunkt.
  • Der Graph jeder ganzrationalen Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt.

GrenzverhaltenBearbeiten

Allgemein wird das Verhalten für   durch den Summanden mit dem höchsten Exponenten, das Verhalten für   durch die Summanden mit den niedrigsten Exponenten bestimmt.

WachstumBearbeiten

Ganzrationale Funktionen können als Linearkombinationen von Potenzen aufgefasst werden. Daher wachsen sie (für hinreichend große Werte) langsamer als jede exponentielle Funktion, deren Basis größer als 1 ist, unabhängig von den Koeffizienten.

Verhalten für sehr große und sehr kleine x-WerteBearbeiten

Alle ganzrationalen Funktionen divergieren für  . Das genaue Verhalten hängt davon ab, ob der Grad n gerade oder ungerade ist, und welches Vorzeichen der Leitkoeffizient   hat; der Graph verhält sich dabei genauso wie der Graph einer Potenzfunktion mit dem Term  . Angegeben ist im Folgenden außerdem die daraus folgende Wertemenge   für den Fall, dass die Definitionsmenge   ist.

n gerade n ungerade
  Der Graph verläuft von links oben nach rechts oben, also:
  für  
  ist nach unten beschränkt (durch das absolute Minimum der Funktion)
Der Graph verläuft von links unten nach rechts oben, also:
  für   und   für  
 
  Der Graph verläuft von links unten nach rechts unten, also:
  für  
  ist nach oben beschränkt (durch das absolute Maximum der Funktion)
Der Graph verläuft von links oben nach rechts unten, also:
  für   und   für  
 

Verhalten für x-Werte nahe nullBearbeiten

Alle ganzrationalen Funktionen sind für   endlich. Genauer gilt: der Graph schneidet die  -Achse bei  , die Steigung an dieser Stelle ist durch   gegeben. Die Tangente im Schnittpunkt mit der  -Achse hat also immer die Gleichung  

BeispielBearbeiten

Der Graph der Funktion   verläuft für   wie der Graph der Funktion  , also von links oben nach rechts unten (Grad   ungerade, Leitkoeffizient  ). Für die Funktionswerte gilt also:   für   und   für  . Für   verläuft er dagegen wie der Graph von  , er schneidet die  -Achse also bei   und hat dort die Steigung  .

NullstellenBearbeiten

LinearfaktorzerlegungBearbeiten

Ist der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion als Produkt von linearen Faktoren (von denen manche auch mehrfach auftreten können) und evtl. einer ganzrationalen Funktion g ohne Nullstellen gegeben, also

 

so sind   die Nullstellen. Die natürlichen Zahlen   heißen die Vielfachheiten der Nullstellen.

Beispiel: Die Funktion

 

hat die dreifache Nullstelle  , die einfache Nullstelle   und die doppelte/zweifache Nullstelle  ; die Faktoren   und   können dagegen für kein   zu null werden, liefern also keine weiteren Nullstellen.

Die Linearfaktorzerlegung einer ganzrationalen Funktion kann man beispielsweise mit Hilfe der Polynomdivision bestimmen. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt, dass sich so jede ganzrationale Funktion über den komplexen Zahlen in ein Produkt aus Linearfaktoren zerlegen lässt. Hat die Funktion nur reelle Koeffizienten, so folgt, dass mit jeder komplexen Nullstelle auch die jeweils konjugiert komplexe Zahl eine Nullstelle ist. Damit ergibt sich: jede ganzrationale Funktion über den reellen Zahlen kann (bis auf die Reihenfolge) eindeutig als ein Produkt aus linearen und quadratischen Termen dargestellt werden.

Die Vielfachheit von Nullstellen hängt auch direkt mit den Ableitungen der Funktion zusammen:   ist genau dann eine  -fache Nullstelle von  , wenn gilt   und  .

Verlauf des Graphen bei den NullstellenBearbeiten

  • Bei jeder Nullstelle von ungerader Vielfachheit schneidet der Graph die  -Achse. Die Funktionswerte wechseln dort also ihr Vorzeichen. Bei einfachen Nullstellen wird die  -Achse in einem Winkel größer als 0° geschnitten. Bei jeder Nullstelle ungerader Vielfachheit größer gleich drei ist die Steigung an der Nullstelle 0; der Funktionsgraph hat einen Terrassenpunkt.
  • Bei jeder Nullstelle von gerader Vielfachheit berührt der Graph die  -Achse. Die Funktionswerte wechseln dort also ihr Vorzeichen nicht. Bei jeder solchen Nullstelle hat der Funktionsgraph einen Extrempunkt.

graphische Veranschaulichung:

einfache Nullstelle drei-, fünf-, 2k+1-fache Nullstelle doppelte, vier-, 2k-fache Nullstelle
     

Berücksichtigt man außerdem noch das Verhalten für  , so ergibt sich für das obige Beispiel   folgender Graph:

Methoden zur Berechnung der NullstellenBearbeiten

Um Nullstellen zu bestimmen, muss die algebraische Gleichung   gelöst werden. Dafür gibt es (unter anderem) folgende Methoden:

  • Lineare Gleichungen können direkt durch Äquivalenzumformungen gelöst werden. Die Nullstellen sind dann immer einfach.
  • Für quadratische Gleichungen gibt es verschiedene Lösungsmethoden; siehe im entsprechenden Artikel. Dabei gilt: gibt es zwei verschiedene Lösungen, so sind beide einfach; gibt es nur eine Lösung, so ist diese doppelt.
  • Oft kann der Funktionsterm durch Ausklammern von Potenzen von   oder durch Anwenden der binomischen Formeln direkt faktorisiert werden. Die Vielfachheiten können dann direkt in der Linearfaktorzerlegung abgelesen werden.
  • Wenn nur   und   ungleich null sind, also bei Funktionen mit Termen der Form  , ergeben sich die Nullstellen einfach mit Hilfe der  -ten Wurzel. Diese Nullstellen sind dann immer einfach.
  • Bei manchen Gleichungen, insbesondere biquadratischen, hilft die Substitutions-Methode. Dabei gilt: Hat man nach der Substitution eine (positive!) einfache bzw. doppelte Lösung der entsprechenden quadratischen Gleichung, so ergeben sich daraus jeweils zwei einfache bzw. doppelte Nullstellen der Funktion selbst.
  • Kann man eine Nullstelle durch Probieren herausfinden, so kann man den zugehörigen Linearfaktor mit Hilfe einer Polynomdivision herausdividieren und erhält eine algebraische Gleichung niedrigeren Grades. Die Vielfachheiten der Nullstellen ergeben sich hier einfach, indem man abzählt, wie häufig eine Nullstelle jeweils in der Rechnung herauskommt. Für das Finden einer Nullstelle durch Probieren sind dabei folgende Sätze hilfreich:
    • Sind alle Koeffizienten ganzzahlig, so sind alle ganzzahligen Nullstellen Teiler des Absolutglieds   (beachte: zusätzlich kann es auch noch nicht-ganzzahlige Nullstellen geben). Sind die Koeffizienten alle rationale Zahlen, so kann man durch Multiplizieren mit dem Hauptnenner immer erreichen, dass alle Koeffizienten ganzzahlig werden.
    • Haben alle Koeffizienten dasselbe Vorzeichen, so können die Nullstellen nicht positiv sein.
  • Bei ganzrationalen Funktionen dritten Grades kann man die Cardanischen Formeln verwenden; bei ganzrationalen Funktionen vierten Grades gibt es ähnliche Formeln für quartische Gleichungen.
  • Man kann Nullstellen auch näherungsweise, beispielsweise mit dem Newton-Verfahren, bestimmen.

AnzahlBearbeiten

Mit Hilfe der Polynomdivision kann man zeigen, dass eine ganzrationale Funktion vom Grad   höchstens   Nullstellen haben kann (Vielfachheiten mitgezählt).

Betrachtet man zusätzlich auch noch das Verhalten des Graphen für  , das Verhalten an den Nullstellen (Vorzeichenwechsel) und die Stetigkeit, so folgt außerdem: ist der Grad gerade bzw. ungerade, so ist die gesamte Anzahl der Nullstellen (Vielfachheiten mitgezählt) gerade bzw. ungerade. Insbesondere folgt: Jede ganzrationale Funktion von ungeradem Grad hat mindestens eine Nullstelle.

Außerdem gibt es noch andere, weiterführende Regeln für die Anzahl der Nullstellen wie beispielsweise die Vorzeichenregel von Descartes und die sturmsche Kette.

Differenzier- und IntegrierbarkeitBearbeiten

AbleitungsfunktionBearbeiten

Ganzrationale Funktionen sind über ganz   stetig differenzierbar. Funktionen, die über ganz   beziehungsweise über ganz   differenzierbar sind, heißen ganze Funktionen. Die Ableitungsfunktion kann mit Hilfe der Faktor-, Summen- und Potenzregel bestimmt werden. Damit erhält man für die Funktion mit der Vorschrift

 

die Ableitungsfunktion

 .

Integrierbarkeit und StammfunktionBearbeiten

Auf einem kompaktem Intervall ist jede ganzrationale Funktion integrierbar. Außerdem hat jede ganzrationale Funktion eine Stammfunktion. Diese kann mit den üblichen Integral-Regeln explizit angeben werden. Es gilt:

 

wobei   eine beliebige Konstante ist.

BeispieleBearbeiten

Für die Funktion mit dem Term

 

ergibt sich die Ableitungsfunktion mit dem Term

 

Für die Stammfunktionen erhält man in diesem Fall

 

ExtremstellenBearbeiten

(siehe auch im Artikel Kurvendiskussion den Abschnitt über Extrempunkte)

Zur Bestimmung der Extremstellen müssen zunächst die Stellen mit waagrechter Tangente, also die Nullstellen der ersten Ableitung, berechnet werden. Die erste Ableitung ist wieder eine ganzrationale Funktion, allerdings vom Grad  ; es können also dieselben Methoden wie bei der Nullstellenberechnung benutzt werden.

Allgemeine RegelnBearbeiten

  • Hat die Funktion selbst eine Nullstelle gerader Vielfachheit, so hat ihr Graph dort einen Extrempunkt (siehe oben bei Nullstellen).
  • Wechselt die erste Ableitung an einer Stelle ihr Vorzeichen von - nach +, so ist dort eine Minimalstelle; wechselt es von + nach -, so ist dort eine Maximalstelle; wechselt das Vorzeichen nicht, so ist dort keine Extremstelle (aber ein Terrassenpunkt).
  • Ist die zweite Ableitung bei einer Nullstelle der ersten Ableitung positiv bzw. negativ, so wechselt die erste Ableitung dort ihr Vorzeichen von - nach + (Minimalstelle) bzw. von + nach - (Maximalstelle). Ist die zweite Ableitung gleich null, so kann an dieser Stelle dennoch eine Extremstelle sein, es kann dort aber auch ein Terrassenpunkt sein. Zur Unterscheidung sind dann andere Mittel als die zweite Ableitung nötig.
  • Hat eine Nullstelle der ersten Ableitung ungerade Vielfachheit, so hat die Funktion selbst dort eine Extremstelle; hat sie dagegen gerade Vielfachheit, so hat die Funktion an dieser Stelle einen Terrassenpunkt.

AnzahlBearbeiten

Aus dem Satz über die Anzahl der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion folgt, dass eine ganzrationale Funktion vom Grad   höchstens   Extremstellen haben kann.

Betrachtet man zusätzlich auch noch das Verhalten des Graphen für   und das Verhalten an den Nullstellen (Vorzeichenwechsel), so folgt außerdem: ist der Grad gerade bzw. ungerade, so ist die gesamte Anzahl der Extremstellen ungerade bzw. gerade.

Insbesondere folgt: Jede ganzrationale Funktion von geradem Grad hat ein absolutes Minimum oder Maximum (je nachdem, ob der Leitkoeffizient   positiv oder negativ ist).

WendestellenBearbeiten

(siehe auch im Artikel Kurvendiskussion den Abschnitt über Wendepunkte)

Zur Bestimmung der Wendestellen müssen zunächst die Nullstellen der zweiten Ableitung, die sogenannten Flachstellen, berechnet werden. Die zweite Ableitung ist wieder eine ganzrationale Funktion, allerdings vom Grad  ; es können also dieselben Methoden wie bei der Nullstellenberechnung benutzt werden.

Allgemeine RegelnBearbeiten

  • Hat die Funktion selbst eine Nullstelle ungerader Vielfachheit größer gleich drei, so hat ihr Graph dort einen Terrassenpunkt, also auch einen Wendepunkt (siehe oben bei Nullstellen).
  • Wechselt die zweite Ableitung an einer Stelle ihr Vorzeichen, so ist dort eine Wendestelle.
  • Ist die dritte Ableitung bei einer Nullstelle der zweiten Ableitung ungleich Null, so wechselt die zweite Ableitung dort ihr Vorzeichen (Wendestelle). Ist die dritte Ableitung gleich null, so kann an dieser Stelle trotzdem eine Wendestelle sein, muss aber nicht. Zur Unterscheidung sind dann andere Mittel als die dritte Ableitung nötig.
  • Hat eine Nullstelle der zweiten Ableitung gerade Vielfachheit, so hat die Funktion selbst dort keine Wendestelle; hat die Nullstelle der ersten Ableitung dagegen ungerade Vielfachheit, so hat die Funktion selbst dort eine Wendestelle. Ist zusätzlich auch die erste Ableitung an dieser Stelle gleich null, so hat der Graph der Funktion dort einen Terrassenpunkt.
  • Insbesondere bei Funktionen dritten Grades gilt:
    • Hoch- und Tiefpunkt (wenn vorhanden) liegen immer symmetrisch zum Wendepunkt (dies folgt, da die Graphen von Funktionen dritten Grades immer symmetrisch zu ihrem Wendepunkt sind, siehe oben).
    • Hat die Funktion selbst drei (nicht notwendigerweise verschiedene) reelle Nullstellen, so ergibt sich die Wendestelle als ihr Mittelwert, gewichtet mit den Vielfachheiten. (Gibt es dagegen nur eine reelle Nullstelle, so müssen bei der Mittelwertbildung auch die komplexen Nullstellen mit berücksichtigt werden.)

AnzahlBearbeiten

Aus dem Satz über die Anzahl der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion folgt, dass eine ganzrationale Funktion vom Grad   höchstens   Wendestellen haben kann.

Betrachtet man zusätzlich auch noch das Verhalten des Graphen für   und das Verhalten an den Nullstellen (Vorzeichenwechsel), so folgt außerdem: ist der Grad gerade bzw. ungerade, so ist die gesamte Anzahl der Wendestellen gerade bzw. ungerade.

Insbesondere folgt: Jede ganzrationale Funktion von ungeradem Grad größer gleich drei hat mindestens eine Wendestelle.

Aufstellen von FunktionstermenBearbeiten

Oft ist ein Problem folgender Art zu lösen: Gegeben sind einige Punkte und evtl. zusätzliche Bedingungen (wie beispielsweise Steigungen in diesen Punkten), und es ist eine ganzrationale Funktion gesucht, deren Graph durch diese Punkte verläuft und ggf. die zusätzlichen Bedingungen erfüllt. Um diese ganzrationale Funktion zu finden, stellt man zunächst den Funktionsterm in der allgemeinst möglichen Form auf (der Grad ist entweder direkt gegeben oder muss aus den anderen gegebenen Angaben ermittelt werden), bildet evtl. notwendige Ableitungen der Funktion in dieser allgemeinen Form und setzt dann die gegebenen Bedingungen ein. Dies führt auf ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten der Funktion; diese bezeichnet man statt  ,   usw. hier meist mit   usw. Durch Lösen dieses Gleichungssystems erhält man dann den Term der gesuchten Funktion.

Beispiel: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion möglichst niedrigen Grades, deren Graph symmetrisch zur  -Achse ist und im Wendepunkt   die Steigung 2 hat.

  • Da der Graph symmetrisch zur  -Achse sein soll, muss der Grad gerade sein, und der Funktionsterm kann nur gerade Exponenten enthalten.
  • Da es einen Wendepunkt geben soll, kann der Grad nicht 2 sein (eine Funktion zweiten Grades hat keinen Wendepunkt); der niedrigst mögliche Grad ist also 4.
  • Der Funktionsterm in allgemeinster Form ist also:
 
  • Da hier von einem Wendepunkt die Rede ist, benötigt man zwei Ableitungen:
 
 
  • Der Graph verläuft durch den Punkt  , also gilt ( - und  -Koordinate in   einsetzen)
 
  • Der Graph hat dort die Steigung 2, also gilt ( -Koordinate und Steigung in   einsetzen)
 
  • Der Punkt   ist ein Wendepunkt, also gilt (  muss bei Wendestelle gleich 0 sein)
 
  • Insgesamt ergibt sich also das lineare Gleichungssystem
 
 
 
  • Lösen dieses Gleichungssystems ergibt  . Der Term der gesuchten Funktion ist also:
 

AnwendungsbeispieleBearbeiten

  • Viele in Natur und Technik vorkommende Kurven kann man durch ganzrationale Funktionen relativ gut beschreiben, beispielsweise Geländeformationen, Sprungschanzen oder die Durchbiegung von Balken.
  • In geometrischen Anwendungen tauchen häufig ganzrationale Funktionen auf. Beispiele:
    • Schneidet man an den Ecken einer rechteckigen Pappe (Länge  , Breite  ) jeweils Quadrate der Seitenlänge   aus und faltet die Pappe dann zu einer oben offenen Schachtel, so ist das Volumen der Schachtel  .
    • Stapelt man Kugeln (z. B. Orangen im Supermarkt) zu einer dreiseitigen Pyramide auf, wobei entlang einer Grundkante   Kugeln liegen, so enthält die Pyramide insgesamt   Kugeln.
  • Steuertarife werden häufig durch ganzrationale Funktionen beschrieben (PDF).
  • In wirtschaftlichen Anwendungen ist die Erlösfunktion häufig eine ganzrationale Funktion dritten Grades.
  • Da ganzrationale Funktionen besonders einfach sind, werden oft kompliziertere Funktionen durch ganzrationale angenähert (vgl. Taylorreihe und Approximationssatz von Weierstraß). Dieses Vorgehen wird insbesondere in der Anaylsis und der Numerik eingesetzt. Alternativ gibt es auch Situationen, in denen eine endliche Anzahl von Funktionswerten vorgegeben sind und eine Funktion gesucht wird, die durch diese Punkte verläuft. Dazu kann die Polynominterpolation eingesetzt werden. Außerdem kann man eine endliche Menge von Funktionswerten auch stückweise durch ganzrationale Funktionen interpolieren. Dieses Vorgehen heißt Splineinterpolation. Möchte man eine ganzrationale Funktion an einem Punkt numerisch effizient (für Computer optimiert) auswerten, so kann das Horner-Schema eingesetzt werden.

LiteraturBearbeiten

  • H. Schneider, G. Stein: Mathematik 11 und Mathematik 12: Analysis für nichttechnische Ausbildungsrichtungen der Fachoberschule.
  • R. Schöwe, J. Knapp, R. Borgmann: Analysis: Kaufmännisch-wirtschaftliche Richtung für Fachoberschule.

WeblinksBearbeiten

  Commons: Polynomial functions – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Ganzrationale Funktion. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.