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Konvergenzgeschwindigkeit

Metrik für Konvergenz von Folgen

Unter Konvergenzgeschwindigkeit (auch Konvergenzordnung) versteht man die Geschwindigkeit, mit der sich die Glieder einer konvergenten Folge dem Grenzwert nähern. In der numerischen Mathematik ist die Konvergenzgeschwindigkeit ein wichtiges Qualitätsmerkmal iterativer Verfahren, neben dem Rechenaufwand pro Iteration und der numerischen Stabilität.

KonvergenzordnungBearbeiten

Sei   eine Folge mit dem Grenzwert  . Zur Vermeidung nebensächlicher Fallunter­scheidungen seien Glieder mit   und andere Wiederholungen weggelassen.

Lineare Konvergenz liegt vor, falls

  .

Manche Autoren bezeichnen   als die Konvergenzrate (engl. rate of convergence, franz. taux de convergence). Je kleiner  , desto schneller konvergiert die Folge, will sagen: desto weniger Glieder werden – zumindest asymptotisch – benötigt.

Unterlineare oder sublineare Konvergenz liegt vor bei  . Konvergiert die Folge unterlinear und gilt zusätzlich

 ,

dann spricht man von logarithmischer Konvergenz.

Superlineare Konvergenz liegt vor bei  , d. h., wenn es eine gegen Null konvergente Zahlenfolge   gibt mit:

 

Eine Folge, die superlinear konvergiert, konvergiert schneller als linear.

Konvergenz der Ordnung q (oder Q-Konvergenzordnung (≥) q) mit   liegt vor, wenn   konvergiert und ein   existiert, sodass

 

In der Literatur finden sich auch Formulierungen wie „konvergiert mit der Q-Ordnung (wenigstens)   (englisch converges with Q-order at least q) für denselben Sachverhalt.[1] Das Q kommt von Quotient, weil die Q-Ordnung über den Quotienten zweier aufeinanderfolgender Terme definiert ist. Konvergiert die Folge   mit einer Q-Ordnung  , dann konvergiert sie auch mit der Q-Ordnung   für jedes   mit  .

Man sagt, die Folge   hat die exakte Q-Ordnung q, wenn es positive   mit

 

gibt. Die exakte Q-Ordnung   ist eindeutig, wenn sie existiert:

 

Für   spricht man von quadratischer Konvergenz. Konvergenz der Ordnung   impliziert superlineare Konvergenz (also Konvergenzrate  ) und superlineare Konvergenz impliziert lineare Konvergenz.

Konvergenz der Ordnung   bedeutet, dass in jedem Iterationsschritt die Anzahl der genauen Dezimalstellen (oder die Anzahl der Stellen in einem beliebigen Stellenwertsystem) in etwa ver- -facht wird, also beispielsweise bei quadratischer Konvergenz verdoppelt.

Konvergenzbeschleunigung beschränkt sich meist auf Potenzreihen, die linear konvergieren. Dabei wird i. d. R. nur die Konvergenzrate   (und nicht die Q-Ordnung  ) verbessert, was trotzdem eine wesentliche Verringerung des Gesamtaufwands (bei ggf. größerem Aufwand pro Iteration) bedeuten kann. Verfahren der Ordnungen >1 gibt es nicht zu jeder Problemklasse. Bei Iterationsverfahren müssen auch Stabilitätseigenschaften beobachtet werden.

BeispieleBearbeiten

 
konvergiert logarithmisch.
 
konvergiert unterlinear.
 
konvergiert linear mit der Konvergenzrate  .
 
hat Q-Konvergenzordnung   für alle  .
  • Die Nullfolge   mit
 , also  ,
konvergiert quadratisch.
  • Das Newton-Verfahren konvergiert bei einer einfachen Nullstelle quadratisch. Vereinfachte Varianten des Newton-Verfahrens konvergieren langsamer, teilweise superlinear, teilweise mit erster Ordnung. Im Vergleich zum Newton-Verfahren ist ein Iterationsschritt aber möglicherweise deutlich günstiger.
  • Fixpunktverfahren, deren Konvergenz mit dem Fixpunktsatz von Banach nachgewiesen ist (beispielsweise Splitting-Verfahren), haben mindestens lineare Konvergenzgeschwindigkeit.
  • Das Sekantenverfahren hat eine gebrochene Konvergenzordnung   (goldener Schnitt), es konvergiert insbesondere superlinear.

Vergleichende KonvergenzgeschwindigkeitBearbeiten

Um die Konvergenzgeschwindigkeit zu beschreiben, mit der eine Folge   gegen den Grenzwert   konvergiert, vergleicht man die Konvergenzgeschwindigkeit der Nullfolge   mit anderen Nullfolgen, deren Konvergenzgeschwindigkeit man kennt, wie z. B.  ,   für  ,   für   oder  .

Definition

Man sagt, eine Nullfolge   konvergiert mindestens so schnell wie eine Nullfolge  , wenn gilt  .

Eine Folge   heißt schnell fallend, wenn sie schneller als jede polynomische Folge   mit natürlichem   fällt, also   für jedes   (ein Beispiel ist etwa die Folge  .)

Von besonderem Interesse ist daher die Beschreibung der Konvergenzordnung numerischer Verfahren in normierten Räumen, wo also die Folgenglieder die Gestalt   haben.

Im Sinne dieser Definition nennt man ein Iterationsverfahren linear konvergent, wenn es so schnell wie die Folge   für ein   konvergiert. Man nennt es quadratisch konvergent, wenn es so schnell wie die Folge   konvergiert. Ebenso lassen sich auch höhere Konvergenzordnungen (kubisch, superlinear) definieren.

Beliebig langsame KonvergenzBearbeiten

Viele wichtige numerische Verfahren sind beliebig langsam konvergent. Sei beispielsweise   ein Banachraum,   eine Folge von  -dimensionalen Teilräumen und   ein Verfahren, das zu jeder Lösung einer Gleichung   eine angenäherte Lösung   in   liefert. Das Verfahren   heißt dann beliebig langsam konvergent, wenn es zu jeder positiven Nullfolge   ein   gibt, sodass die Nullfolge   mit   und den zugehörigen angenäherten Lösungen   langsamer als die Folge   konvergiert.

Setzt man z. B. bei der numerischen Integration nur die Stetigkeit der zu integrierenden Funktion voraus, nicht aber eine gewisse Differenzierbarkeitsordnung, so ist das Verfahren der numerischen Integration beliebig langsam konvergent, d. h., zu jeder beliebig langsam gegen 0 konvergierenden monotonen Folge positiver Zahlen gibt es eine stetige Funktion  , sodass die Folge der Quadraturwerte langsamer gegen das Integral konvergiert als die gegebene Nullfolge. Andere Beispiele findet man bei der Interpolation oder der Lösung inkorrekt gestellter Probleme.

Umgekehrte ResultateBearbeiten

In etlichen Disziplinen der Analysis lassen sich aus der Konvergenzgeschwindigkeit Erkenntnisse über die Struktur des zu untersuchenden Problems gewinnen. Als Beispiel seien die Bernstein­sätze aus der Approximationstheorie erwähnt: Ist eine stetige Funktion durch Polynome vom Grad   mit der Konvergenzgeschwindigkeit   für ein   approximierbar, so ist sie  -fach differenzierbar.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Martin Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens. Teubner, Stuttgart 2002.
  • Arnold Schönhage: Approximationstheorie. de Gruyter, Berlin 1971.
  • Eberhard Schock: Arbitrarily Slow Convergence, Uniform Convergence and Superconvergence of Galerkin-like Methods. IMA J. Numer. Analysis 5 (1985), 153–160.
  • Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 5. Auflage. Teubner, Stuttgart 2004.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. F. A. Potra: On Q-order and R-order of convergence. In: J. Optim. Th. Appl.. 63, Nr. 3, 1989, S. 415–431. doi:10.1007/BF00939805.