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Fourierreihe

Reihenentwicklung einer periodischen, abschnittsweise stetigen Funktion in eine Funktionenreihe aus Sinus- und Kosinusfunktionen
Joseph Fourier

Als Fourierreihe, nach Joseph Fourier (1768–1830), bezeichnet man die Reihenentwicklung einer periodischen, abschnittsweise stetigen Funktion in eine Funktionenreihe aus Sinus- und Kosinusfunktionen. Die Basisfunktionen der Fourierreihe bilden ein bekanntes Beispiel für eine Orthonormalbasis. Im Rahmen der Theorie der Hilberträume werden auch Entwicklungen nach einem beliebigen vollständigen Orthonormalsystem als Fourierreihe bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

GeschichteBearbeiten

Bereits im 18. Jahrhundert kannten Mathematiker wie Euler, Lagrange oder die Bernoullis Fourierreihen für einige Funktionen. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts behauptete nun Fourier in seinem Werk Théorie analytique de la chaleur, dass es für alle Funktionen solche Reihenentwicklungen gäbe. Diese Behauptung stieß zunächst bei führenden Mathematikern wie Cauchy und Abel auf Ablehnung.

Dirichlet konnte 1829 beweisen, dass Fouriers Behauptung zumindest für Lipschitz-stetige Funktionen zutrifft. Du Bois-Reymond fand 1876 eine stetige Funktion, deren Fourierreihe divergiert.[1] Im 20. Jahrhundert gelangte man schließlich zur Erkenntnis, dass es auch für stetige oder stückweise stetige Funktionen konvergente Fourierreihen gibt, wenn der Konvergenzbegriff geeignet abgeschwächt wird (Lennart Carleson).

Als eine frühe geometrische Vorform der Approximation durch eine Fourierreihe kann die Epizykeltheorie betrachtet werden.

Mathematische HintergründeBearbeiten

 
Das dick gezeichnete Signal wird durch die Fourier-Analyse in die beiden dünn gezeichneten Signale zerlegt. Die positive und die negative Halbschwingung sehen gleich aus, weil ein Anteil mit dreifacher Frequenz addiert wurde.
 
Hier sind positive und die negative Halbschwingung unterschiedlich, weil ein Anteil mit doppelter Frequenz addiert wurde.

2π-periodische FunktionenBearbeiten

HilbertraumBearbeiten

Ausgangspunkt unserer Betrachtungen bilde die Menge   aller  -periodischen Funktionen von   nach  . Auf dieser Menge können wir eine Addition und eine Skalarmultiplikation punktweise definieren, d. h.   sei durch   und   durch   (mit  ) definiert. Mit diesen Abbildungen wird   zu einem  -Vektorraum.

Auf dem Vektorraum   definieren wir nun eine (partielle) Funktion  :

 

Zu beachten ist, dass   nicht auf ganz   definiert ist, weil das Integral   nicht für beliebige   existiert. Auf dem Unterraum   von  , welcher durch

 

definiert ist, ist jedoch   überall definiert. Wir werden uns daher für die weiteren Betrachtungen auf den Unterraum   beschränken und definieren daher die Funktion

 

Es sei angemerkt, dass   eine positiv semidefinite hermitesche Sesquilinearform ist. Es gilt:

 

Wir definieren   als   und

 

Die Abbildung

 

ist daher eine positiv definite hermitesche Sesquilinearform.   wird mit   somit zu einem Prähilbertraum. Da   vollständig ist, ist   sogar ein Hilbertraum.

Wir werden im Folgenden nicht streng zwischen den Funktionen in   und den Restklassen in   unterscheiden.

OrthonormalsystemBearbeiten

Betrachten wir nun die Menge  . (Diese Menge ist wohldefiniert, weil die Funktion   bzgl.   für alle    -periodisch ist.) Da offensichtlich   gilt, erzeugt   einen Untervektorraum   von  . Da die Vektoren in   linear unabhängig sind, ist   eine Basis von  .   hat daher Dimension  .

Für zwei beliebige Vektoren   gilt:

 

Bezüglich des inneren Produkts   ist   somit eine Orthonormalbasis von  .

Bemerkung: Dass die Funktionen in   zueinander orthonormal sind, ist kein Zufall! Das innere Produkt   wurde absichtlich derart definiert, dass   eine Orthonormalbasis ist.

Fourierreihe von 2π-periodischen FunktionenBearbeiten

Jede Funktion   können wir nun formal als Reihe darstellen:

 

Diese formale Reihe nennen wir Fourierreihe von  . Unter Ausnutzung der Sesquilinearität von   und der Orthonormalität von   folgt

 

und damit

 

Wir können daher die Werte von   ausrechnen. Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass die Reihe

 

nicht notwendigerweise gegen   konvergiert. Daher ist es notwendig, das Konvergenzverhalten für verschiedene Klassen von Funktionen zu untersuchen.

Es gilt jedoch, dass genau dann nur endlich viele   ungleich 0 sind, wenn   gilt. Dies folgt unmittelbar daraus, dass   von   erzeugt wird. Als Konsequenz konvergiert die Fourierreihe für   auf jeden Fall.

Fourier-Transformierte und Fourier-Koeffizienten von 2π-periodischen FunktionenBearbeiten

Die Funktion

 

welche die Koeffizienten der Fourierreihe einer  -periodischen Funktion   liefert, nennen wir die Fourier-Transformierte von  . Die   nennen wir Fourier-Koeffizienten. Die Funktionen   bilden einen  -Vektorraum bzgl. punktweiser Addition und Multiplikation.

Fourier-Transformation und inverse Fourier-Transformation von 2π-periodischen FunktionenBearbeiten

Die Abbildung

 

welche die Funktionen   in ihre Fourier-Transformierten   überführt, nennen wir die Fourier-Transformation (von  -periodischen Funktionen). Die Fourier-Transformation ist eine lineare Abbildung zwischen zwei  -Vektorräumen, d. h. es gilt

 

Da die Fourierreihen von Funktionen   bzgl. der  -Norm fast überall gegen   konvergieren, folgt, dass   gilt. Andernfalls wäre die Fourierreihe nämlich nicht konvergent. Für die Abbildung   bedeutet das, dass sie nicht surjektiv ist.

Weiters können wir eine lineare Abbildung

 

definieren. Die Abbildung   nennen wir inverse Fourier-Transformation (von  -periodischen Funktionen). Es gilt  .

DarstellungsformenBearbeiten

Die oben beschriebene Darstellung der Fourierreihe als Summe von komplexen Exponentialfunktionen ist zwar in gewissem Sinne die mathematisch kompakteste Darstellung, hat jedoch den Nachteil, dass im Allgemeinen auch für reellwertige Funktionen komplexwertige Fourier-Koeffizienten   auftreten. Man kann die Fourierreihe aber auch anders darstellen.

Darstellung in Sinus-Kosinus-FormBearbeiten

Fourierreihen lassen sich auch in der Form

 

darstellen. Für die Fourier-Koeffizienten gilt dann

 
 

Man kann die Fourier-Koeffizienten durch

 
 

auch direkt ausrechnen. Wenn   reellwertig ist, erhält man somit reellwertige Fourier-Koeffizienten.

Darstellung in Amplituden-Phasen-FormBearbeiten

Für reellwertige Funktionen   ist des Weiteren eine Darstellung der Fourierreihe in der Form

 

mit   möglich. Wegen

 

folgt

 

mit

 

Es folgt daher

 

Der Winkel   ergibt sich zu

 

(Hinweis: In der Literatur findet man den Winkel   oftmals in Form des Arkustangens angegeben. Da die Tangensfunktion nur  -periodisch ist, muss man bei einer solchen Darstellung Fallunterscheidungen vornehmen. Wenn man den Winkel jedoch über den Arkuskosinus oder Arkussinus berechnet, hat man den Vorteil, dass man keine Fallunterscheidungen vornehmen muss, weil die Sinus- und Kosinusfunktion  -periodisch sind!)

VerallgemeinerungenBearbeiten

Funktionen mit Periode TBearbeiten

Aufgrund der  -Periodizität der komplexen Exponentialfunktion wurde oben die Fourierreihe für  -periodische Funktionen definiert, um eine einfache Darstellung zu erhalten. Da man eine  -periodische Funktion   durch   in eine  -periodische Funktion   überführen kann, stellt das keine Einschränkung dar.

Zusammenhang mit der Fourier-Transformation für nicht-periodische FunktionenBearbeiten

Mit Fourierreihen lassen sich nur periodische Funktionen und ihr Spektrum beschreiben. Um auch nichtperiodische Funktionen spektral beschreiben zu können, führt man einen Grenzübergang der Periode   durch. Dadurch wird die Frequenzauflösung beliebig fein, was in einem Verschwinden des komplexen Amplitudenspektrums resultiert. Aus diesem Grund führt man das komplexe Amplitudendichtespektrum   ein, ausgehend von der komplexen Fourierreihe zunächst für die diskreten Argumente  :

 

Durch Bildung des Grenzwertes   (wobei gleichzeitig  ) folgt damit unmittelbar die Fourier-Transformation:

 

Allgemeine innere ProdukteBearbeiten

Wir haben die Fourierreihe für das innere Produkt

 

definiert. Man kann jedoch auch andere innere Produkte betrachten, was zur Folge hat, dass andere Vektoren zueinander orthogonal sind. Da die Fourier-Koeffizienten bezüglich eines Orthonormalsystems ermittelt werden, erhält man dadurch andere Koeffizienten. Da viele Eigenschaften der Fourier-Transformation auf der Ausnutzung der Orthogonalität der trigonometrischen Funktionen beruhen, ändern sich auch die Eigenschaften der Fourier-Transformation, wenn man andere innere Produkte verwendet.

Sei   ein Hilbertraum mit einer Orthonormalbasis  . Dann kann man jedes Element   des Hilbertraums durch

 

darstellen. Diese Reihendarstellung wird auch (verallgemeinerte) Fourier-Reihe genannt.

Fourierreihen und SymmetrieBearbeiten

Verallgemeinerungen der Fourier-Reihe, die sich zwar auch als Darstellungen in Orthonormalbasen beschreiben lassen, aber zusätzlich ähnlich der Fourier-Reihe bestimmte Eigenschaften in Bezug zu Symmetrien aufweisen, untersucht die harmonische Analyse. Die Pontrjagin-Dualität verallgemeinert dabei die Fourier-Reihe auf Funktionen auf beliebigen abelschen lokalkompakten topologischen Gruppen, der Satz von Peter-Weyl auf kompakten topologischen Gruppen.

BeispieleBearbeiten

DreieckpulsBearbeiten

 
Verschiedene Näherungen eines Dreieckpulses

Die Dreieckfunktion lässt sich je nach gewünschter Phasenlage mit Sinus- und Kosinustermen approximieren. Mit dem Scheitelwert   lauten die Fourierreihen:

 
 

RechteckpulsBearbeiten

 
Verschiedene Näherungen eines Rechteckpulses

Die Rechteckschwingung ist definiert durch

 

Die Fourierreihe dazu lautet

 

Anhand dieser Funktion erkennt man, dass man eine Rechteckschwingung durch unendlich viele Harmonische darstellen kann. Sie enthält jeweils die ungeraden harmonischen Oberschwingungen, wobei die Amplitude mit steigender Frequenz abnimmt. Aufgrund dessen wird ein Rechtecksignal auch häufig zum Testen elektronischer Schaltungen genommen, da so das Frequenzverhalten dieser Schaltung erkannt wird.

Allgemein enthalten alle periodischen Schwingungen mit der Periodendauer   der Grundschwingung und beliebigem Verlauf innerhalb der Periode nur ungeradzahlige Oberschwingungen, wenn gilt:

 
 
Fourier-Synthese eines Rechtecksignals

Im rechten Bild ist die Fourier-Synthese einer Rechteckschwingung dargestellt. Die Diagramme der ersten Spalte zeigen diejenige Schwingung, die in der jeweiligen Zeile hinzugefügt wird. Die Diagramme in der zweiten Spalte zeigen alle bisher berücksichtigten Schwingungen, die dann in den Diagrammen der dritten Spalte addiert werden, um dem zu erzeugenden Signal möglichst nahezukommen. Die Schwingung aus der ersten Zeile nennt sich Fundamentalschwingung, alle weiteren, die hinzugefügt werden, sind Oberschwingungen (Harmonische). Je mehr solcher Vielfache der Grundfrequenz berücksichtigt werden, umso näher kommt man einem idealen Rechtecksignal. An den unstetigen Stellen des Rechtecksignals bildet sich durch die Fourier-Synthese bedingt ein so genannter Überschwinger, der auch bei größerer Approximation nicht verschwindet. Diese Erscheinung wird Gibbssches Phänomen genannt, sie weist eine konstante und von der Bandbreite unabhängige Überschwingung von etwa 9 % des vollen Sprungs auf. Die vierte Spalte zeigt das Amplitudenspektrum normiert auf die Grundschwingung.

Sägezahnpuls (steigend)Bearbeiten

 
Verschiedene Näherungen eines Sägezahnpulses

Ebenso lassen sich punktsymmetrische Funktionen aus Sinustermen approximieren. Hier erreicht man eine Phasenverschiebung durch alternierende Vorzeichen:

 

SinuspulsBearbeiten

 
Verschiedene Näherungen eines Sinuspulses
 

Konvergenzaussagen zur FourierreiheBearbeiten

Man kann zwar bedenkenlos zu einer periodischen Funktion eine Fourierreihe aufstellen, jedoch muss diese Reihe nicht konvergieren. Ist dies der Fall, so erhält man durch diese Transformation auch keine weiteren Informationen. Konvergiert die Reihe, so muss man sich im Klaren sein, in welchem Sinn die Konvergenz vorliegt. Meistens untersucht man Fourierreihen auf punktweise Konvergenz, gleichmäßige Konvergenz oder auf Konvergenz bezüglich der  -Norm.

Eine Fourierreihenentwicklung einer periodischen Funktion   mit Periode   ist in den folgenden, schrittweise allgemeiner werdenden Fällen möglich:

  1. wenn   stetig und abschnittsweise stetig differenzierbar ist; die Fourierreihe konvergiert dabei punktweise und gleichmäßig.
  2. wenn   eine beschränkte totale Variation über einer Periode hat, konvergiert die Fourierreihe der Funktion   für alle   gegen das Mittel aus links- und rechtsseitigem Grenzwert,  , die Konvergenz ist dort punktweise. Insbesondere konvergiert die Fourierreihe von   also überall dort gegen  , wo   stetig ist. Die Konvergenz ist zudem gleichmäßig auf jedem abgeschlossenen Intervall  , auf dem   stetig ist.[2]
  3. wenn  , auf eine Periode   eingeschränkt, dem Funktionenraum   angehört; mit Konvergenz im Sinne der L²-Norm.

Im Folgenden werden einige wichtige Sätze über die Konvergenz von Fourierreihen aufgezählt.

Satz von DirichletBearbeiten

Peter Gustav Lejeune Dirichlet bewies, dass die Fourierreihe einer differenzierbaren,   periodischen Funktion punktweise gegen die Ausgangsfunktion konvergiert.[3] Unter der Voraussetzung, dass   sogar stetig differenzierbar ist, kann die Aussage noch verbessert werden.

Sei   eine stetig differenzierbare,  -periodische Funktion, dann konvergiert die Fourierreihe von   gleichmäßig gegen  .

Satz von CarlesonBearbeiten

Der Satz von Carleson ist ein tiefliegendes Resultat zur Konvergenz einer Fourierreihe.

Sei   eine quadratintegrierbare Funktion, dann konvergiert die Fourierreihe bezüglich   fast überall.

Diese Aussage ist sogar für alle  -Räume mit   richtig und heißt in dieser allgemeinen Form Satz von Carleson–Hunt. Dass die Aussage für   falsch ist, konnte Kolmogorov 1923 durch ein Gegenbeispiel zeigen. Nikolai Nikolajewitsch Lusin vermutete schon 1915 die Richtigkeit des Satzes von Carleson, konnte sie jedoch nicht beweisen. Der Beweis gelang erst Lennart Carleson im Jahr 1964.[4]

Satz von FejérBearbeiten

Leopold Fejér bewies, dass das arithmetische Mittel der Partialsummen der Fourierreihe einer stetigen,  -periodischen Funktion gleichmäßig gegen die Funktion konvergieren.

Sei   eine stetige,  -periodische Funktion und   die Fourierreihe von  . Mit   wird die n-te Partialsumme dieser Reihe beschrieben. Dann besagt der Satz von Fejér, dass die Partialsummen   gleichmäßig gegen   konvergieren. Es gilt also

 ,

wobei die Konvergenz gleichmäßig ist.

Gibbssches PhänomenBearbeiten

 
Gibbssches Phänomen bei einer Rechteckkurve

In der Umgebung von Sprungstellen entstehen dort in der Fourierreihe typische Über- und Unterschwinger von etwa 9 % der Sprunghöhe. Dieser Effekt hat weitreichende Auswirkungen in der Signalverarbeitung.

Mathematische Ursache dafür ist, dass für nicht stetige Funktionen   und

 

zwar Konvergenz im Sinne der  -Norm vorliegt, jedoch die Folge   im Allgemeinen nicht einmal fast überall konvergiert.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Paul Du Bois-Reymond: Untersuchungen über die Convergenz und Divergenz der Fourierschen Darstellungsformeln, Abhandlungen der Mathematisch-Physicalischen Classe der K. Bayerische Akademie der Wissenschaften, 1876, Volume 13, Seite 1–103
  2. A. Zygmund: Trigonometric Series.Cambridge University Press, Kap. II, §8.
  3. St. Goebbels, St. Ritter: Mathematik verstehen und anwenden - von den Grundlagen bis zu Fourier-Reihen und Laplace-Transformation. Spektrum, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-8274-2761-8, S. 696, 704 – 706
  4. S. A. Telyakovskii: Carleson theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (online).