Satz von Peter-Weyl

mathematischer Satz

Im mathematischen Teilgebiet der harmonischen Analyse verallgemeinert der Satz von Peter-Weyl, benannt nach Hermann Weyl und seinem Studenten Fritz Peter (1899–1949), die Fourierreihe für Funktionen auf beliebigen kompakten topologischen Gruppen.

Darstellungen auf kompakten Gruppen

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Sei   eine kompakte topologische Gruppe. Für einen komplexen Hilbertraum   heiße ein stetiger Gruppenhomomorphismus   Darstellung der Gruppe, wobei   mit der schwachen Operatortopologie versehen sei. Es lässt sich nun zeigen, dass jedes solche   einen kompakten selbstadjungierten Vertauschungsoperator und damit als Eigenraum dieses Operators einen endlichdimensionalen, nichttrivialen invarianten Teilraum von   besitzt. Daher ist jede irreduzible Darstellung einer kompakten Gruppe endlichdimensional und jede Darstellung lässt sich als direkte Summe von solchen darstellen, besitzt also eine Zerlegung in irreduzible Darstellungen.

Von besonderem Interesse ist die linksreguläre Darstellung  ; diese ist durch   definiert, wobei   und   eine bezüglich des linksinvarianten auf   normierten Haarmaßes quadratintegrierbare Funktion ist. Man kann zeigen, dass für jedes solche   die durch obige Formel gegebene Funktion   wieder quadratintegrierbar ist und dass   zwei fast überall gleiche Funktionen wieder auf fast überall gleiche Funktionen abbildet, insgesamt also tatsächlich einen Operator auf   bestimmt, dessen Unitarität man leicht nachweisen kann. Analog ist die rechtsreguläre Darstellung durch   und die zweiseitige Darstellung durch   definiert.

Für jede Darstellung   und   ist  , genannt Matrixkoeffizient, eine beschränkte stetige Funktion (siehe Fourier-Stieltjes-Algebra).

Fouriertransformation

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Aus allen irreduziblen Darstellungen von   wähle man ein Repräsentantensystem   bezüglich unitärer Äquivalenz. Einer jeden Darstellung   entspricht eine Hilbertraum-Darstellung   der Banach-*-Algebra   mit der Faltung (die sogenannte Gruppenalgebra), sodass für alle   die Gleichung

 

besteht. Da das Haarmaß auf einer kompakten Gruppe endlich ist, ist  . Für eine Funktion   ist die Fouriertransformation nun definiert als  , dabei ist   eine Abbildung von   in die orthogonale Summe

 

der Räume von Matrizen auf  , ausgestattet mit dem Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt (dies ist im kompakten Fall stets möglich, da die Darstellungsräume endlichdimensional sind).

Der Satz von Peter-Weyl besagt nun, dass die Fouriertransformation einer kompakten Gruppe bis auf gewisse konstante Faktoren unitär ist, und konstruiert die Umkehrabbildung. Genauer ist

 

unitär. Die Umkehrabbildung ist gegeben durch

 ,

wobei   die Spur bezeichne und die Summe im Sinne unbedingter Konvergenz zu verstehen ist.

Teilaussagen

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Hier seien einige Teilaussagen angegeben, die mitunter zum Beweis herangezogen werden, und teilweise auch wiederum unmittelbar aus dem Satz von Peter-Weyl in der obigen Form folgen.

Die Räume   sind paarweise orthogonale Teilräume von  , somit sind auch die Unterräume   paarweise orthogonal und der Operator   ist ebenfalls unitär. Ist die Familie   eine Orthonormalbasis von  , so ist die Familie aller dyadischen Produkte   eine Orthonormalbasis von   und somit   Orthonormalbasis von  . Sind dementsprechend Orthonormalbasen   für jedes   gegeben, so bilden die Funktionen   eine Orthonormalbasis von  .

Die Darstellung   sei definiert als äußeres Tensorprodukt mit der kontragredienten Darstellung,  , konkret:

 .

Der Operator   ist nun ein Vertauschungsoperator zwischen   und  , d. h.

 ,

womit   äquivalent zur zweiseitigen Darstellung eingeschränkt auf   ist. Wählt man   fest und normiert, so ist das Bild des Operators

 

invariant unter der linksregulären Darstellung, der (bei Einschränkung des Bildraumes) unitäre Operator

 

ist ein Vertauschungsoperator zwischen   und  ,  . Somit ist jede irreduzible Darstellung einer kompakten Gruppe äquivalent zu einer Teildarstellung der linksregulären Darstellung. Die Multiplizität der Darstellung   in der linksregulären Darstellung, das heißt, wie oft sie in einer Zerlegung dieser in Irreduzible auftritt, ist gerade gleich der Dimension   des Darstellungsraumes. Die Orthogonalprojektion   ist dabei durch eine Faltung gegeben,  . Diese Ergebnisse gelten völlig analog für die rechtsreguläre Darstellung, indem man   statt   und bei der Projektion die umgekehrte Faltung betrachtet.

Beispiel

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Sei   die Kreisgruppe. Da   abelsch ist, ist jede irreduzible Darstellung ein Charakter, also eine Abbildung in die Kreisgruppe selbst. Diese sind gerade durch die Funktionen   für   gegeben. Für   und   gilt

 

und somit einfach  . Dies ist nichts anderes als der bekannte  -te Fourierkoeffizient zu  . Der Satz von Peter-Weyl liefert (da der Darstellungsraum   eindimensional ist, sind keine weiteren Skalierungen vonnöten) die Unitarität dieser Transformation in den Raum   sowie die Umkehrung

 .

Literatur

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  • Gerald Budge Folland: A Course in Abstract Harmonic Analysis. CRC Press, 1995, ISBN 0-8493-8490-7, S. 128 ff.
  • Anton Deitmar, Siegfried Echterhoff: Principles of Harmonic Analysis. Springer, 2009, ISBN 978-0-387-85468-7, S. 141 ff., doi:10.1007/978-0-387-85469-4.
  • Mitsuo Sugiura: Unitary Representations and Harmonic Analysis. 2. Auflage. North-Holland, 1990, ISBN 0-444-88593-5, S. 19 ff.
  • F. Peter, H. Weyl: Über die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe. Mathematische Annalen, Band 97, 1927, S. 737–755. (online)