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Ein unitärer Operator ist in der Mathematik ein bijektiver linearer Operator zwischen zwei Hilberträumen, der das Skalarprodukt erhält. Unitäre Operatoren sind damit spezielle orthogonale oder unitäre Abbildungen und stets normerhaltend, abstandserhaltend, beschränkt und, falls beide Hilberträume gleich sind, normal. Der inverse Operator eines unitären Operators ist gleich seinem adjungierten Operator. Die Eigenwerte eines unitären Operators in einem Hilbertraum haben alle den Betrag eins. Unitäre Operatoren zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen gleicher Dimension können nach Wahl je einer Orthonormalbasis durch unitäre Matrizen dargestellt werden. Wichtige Beispiele für unitäre Operatoren zwischen unendlichdimensionalen Funktionenräumen sind die Fouriertransformation und die Zeitentwicklungsoperatoren der Quantenmechanik.

DefinitionBearbeiten

Ein unitärer Operator ist ein bijektiver linearer Operator   zwischen zwei Hilberträumen   und  , sodass

 

für alle Vektoren   gilt. Ein unitärer Operator ist demnach ein Isomorphismus zwischen zwei Hilberträumen, der das Skalarprodukt erhält. Ein unitärer Operator zwischen zwei reellen Hilberträumen wird gelegentlich auch als orthogonaler Operator bezeichnet.

EigenschaftenBearbeiten

Im Folgenden werden die Zusätze   bei den Skalarprodukten weggelassen, da durch das Argument klar wird, um welchen Raum es sich jeweils handelt.

GrundeigenschaftenBearbeiten

Jeder unitäre Operator stellt eine unitäre Abbildung (im reellen Fall orthogonale Abbildung) dar. Die Linearität folgt daher bereits aus der Erhaltung des Skalarprodukts und muss demnach nicht separat gefordert werden. Ein unitärer Operator erhält weiterhin die Skalarproduktnorm eines Vektors, das heißt, es gilt

 ,

und damit auch den Abstand zweier Vektoren. Die Abbildung   stellt somit eine Isometrie dar und die beiden Räume   und   sind daher isometrisch isomorph. Die Eigenwerte eines unitären Operators   haben alle den Betrag eins. Allgemeiner liegt das Spektrum eines unitären Operators im Rand des Einheitskreises.

OperatornormBearbeiten

Für die Operatornorm eines unitären Operators   gilt aufgrund der Normerhaltung

 .

Ein unitärer Operator ist demnach immer beschränkt und damit stetig.

InverseBearbeiten

Der inverse Operator   eines unitären Operators   ist gleich seinem adjungierten Operator  , also

 ,

denn es gilt

 .

Stimmen umgekehrt Inverse und Adjungierte eines linearen Operators überein, dann ist dieser unitär, denn es gilt

 .

NormalitätBearbeiten

Aufgrund der Übereinstimmung von Inverser und Adjungierter ist ein unitärer Operator im Fall   stets normal, das heißt

 .

Für unitäre Operatoren auf komplexen Hilberträumen und selbstadjungierte unitäre Operatoren auf reellen Hilberträumen gilt damit der Spektralsatz.

BasistransformationBearbeiten

Ist   ein unitärer Operator und ist   eine Hilbertbasis (ein vollständiges Orthonormalsystem) von  , dann ist   eine Hilbertbasis von  , denn es gilt

 .

Sind umgekehrt   und   Hilbertbasen von   und   und ist   linear, so folgt daraus die Unitarität von  , denn man erhält

 

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer, 2008, ISBN 3-540-34186-2.
  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, 2005, ISBN 3-540-21381-3.

WeblinksBearbeiten