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In der Funktionalanalysis kann zu jedem dicht definierten linearen Operator ein adjungierter Operator (manchmal auch dualer Operator) definiert werden.

Lineare Operatoren können zwischen zwei Vektorräumen mit gemeinsamem Grundkörper definiert werden. Adjungierte Operatoren werden allerdings häufig nur auf Hilberträumen betrachtet, also beispielsweise (endlichdimensionalen) euklidischen Räumen. Auf endlichdimensionalen Räumen entspricht der adjungierte Operator der adjungierten Matrix. In der Matrizenrechnung mit reellen Einträgen entspricht die Bildung des adjungierten Operators dem Transponieren, bei komplexen Einträgen dem (komplex) Konjugieren und Transponieren der Ausgangsmatrix. In der Physik und den Ingenieurwissenschaften wird daher, in Analogie zur Matrixtheorie, der adjungierte Operator in der Regel nicht mit sondern mit bezeichnet.

DefinitionBearbeiten

In diesem Abschnitt wird die Adjungierte eines Operators zwischen Hilberträumen definiert. Der erste Unterabschnitt beschränkt sich auf beschränkte Operatoren. Im zweiten Abschnitt wird das Konzept auf unbeschränkte Operatoren erweitert.

Beschränkte OperatorenBearbeiten

Seien   und   Hilberträume und   ein linearer beschränkter Operator. Der adjungierte Operator   ist durch die Gleichung

 

definiert.

Alternativ kann für jedes   die Abbildung   betrachtet werden. Dies ist ein auf dem ganzen Hilbertraum definiertes, lineares stetiges Funktional. Der Darstellungssatz von Fréchet-Riesz besagt, dass für jedes stetige lineare Funktional ein eindeutig bestimmtes Element   existiert, sodass   für alle   gilt. Also insgesamt existiert für jedes   genau ein Element   mit  . Nun wird   gesetzt. Diese Konstruktion ist äquivalent zu obiger Definition.[1]

Unbeschränkte OperatorenBearbeiten

Seien   und   Hilberträume. Mit   wird der Definitionsbereich des linearen unbeschränkten Operators   bezeichnet. Die Operatoren   und   heißen zueinander formal adjungiert, falls

 

für alle   und   gilt. Unter diesen Voraussetzungen ist   im Allgemeinen nicht eindeutig durch   gegeben. Ist   dicht definiert, so existiert ein zu   maximaler, formal adjungierter Operator  . Diesen nennt man den adjungierten Operator von  .

BeispieleBearbeiten

  • Wählt man als Hilbertraum den endlichdimensionalen unitären Vektorraum  , so kann ein stetiger linearer Operator   auf diesem Hilbertraum durch eine Matrix dargestellt werden. Der dazu adjungierte Operator   wird dann durch die entsprechende adjungierte Matrix dargestellt. Daher ist der adjungierte Operator eine Verallgemeinerung der adjungierten Matrix.
  • In diesem Beispiel wird der Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen   betrachtet. Mit einer entsprechenden Funktion   (beispielsweise  ) ist der Integraloperator
 
stetig auf  . Sein adjungierter Operator   lautet
 
Dabei ist   das komplex Konjugierte von  .

EigenschaftenBearbeiten

Sei   dicht definiert. Dann gilt:

  • Ist   dicht, so ist  , das heißt   und   auf  
  •  . Dabei steht Ker für den Kern des Operators und Ran (für Range) für den Bildraum.
  •   ist genau dann beschränkt, wenn   beschränkt ist. In diesem Fall gilt  
  • Ist   beschränkt, so ist   die eindeutige Fortsetzung von   auf  

Sei   dicht definiert. Der Operator   ist definiert durch   für  . Ist   dicht definiert, so ist  . Ist   beschränkt, so gilt sogar die Gleichheit.

Seien   ein Hilbertraum und  . Dann wird die Hintereinanderausführung beziehungsweise Komposition   von   und   definiert durch   für  . Ist   dicht definiert, so gilt  . Ist   beschränkt, erhält man  .

Symmetrische und selbstadjungierte OperatorenBearbeiten

Ein linearer Operator   heißt

  • symmetrisch oder formal selbstadjungiert, falls   für alle   gilt.
  • wesentlich selbstadjungiert, falls   symmetrisch, dicht definiert und seine Abschließung selbstadjungiert ist.
  • selbstadjungiert, falls   dicht definiert und   gilt.

Außerdem gibt es noch den Begriff des hermiteschen Operators. Dieser wird vor allem in der Physik verwendet, jedoch nicht einheitlich definiert.

Verallgemeinerung auf BanachräumeBearbeiten

Adjungierte Operatoren können auch allgemeiner auf Banachräumen definiert werden. Für einen Banachraum   bezeichnet   den topologischen Dualraum. Im Folgenden wird mittels   für   und   die duale Paarung bezeichnet. Seien   und   Banachräume und sei   ein stetiger, linearer Operator. Der adjungierte Operator

 

wird definiert durch

 

Um diesen adjungierten Operator von den adjungierten Operatoren auf Hilberträumen zu unterscheiden, werden diese oft mit einem   statt mit einem   notiert.

Ist der Operator   jedoch nicht stetig aber dicht definiert, so definiert man den adjungierten Operator

 

durch

 

Der Operator   ist stets abgeschlossen, wobei   möglich ist. Ist   ein reflexiver Banachraum und  , dann ist   genau dann dicht definiert, wenn   abschließbar ist. Insbesondere gilt dann  .

Abweichende KonventionenBearbeiten

Insbesondere im linearen komplexen Fall wird für den dualen Operator statt   auch   (Transposition und Übergang zum Konjugiert-Komplexen) genutzt, um eine Verwechslung mit   für die komplex konjugierte Matrix zu vermeiden. Letztere wird auch mit   beschrieben, was aber von Physikern eher für die Mittelwertbildung reserviert ist.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 236.