Konjugierte Matrix

Die konjugierte Matrix, kurz Konjugierte, ist in der Mathematik diejenige Matrix, die durch komplexe Konjugation aller Elemente einer gegebenen komplexen Matrix entsteht. Die Umwandlung einer Matrix in ihre konjugierte Matrix wird Konjugation der Matrix genannt. Die Konjugationsabbildung, die einer Matrix ihre Konjugierte zuordnet, ist stets bijektiv, linear und selbstinvers. Viele Kenngrößen konjugierter Matrizen, wie Spur, Determinante und Eigenwerte, sind gerade die komplex Konjugierten der jeweiligen Kenngrößen der Ausgangsmatrizen.

Die konjugierte Matrix wird beispielsweise bei der Definition der adjungierten Matrix verwendet, die durch Konjugation und Transposition einer gegebenen Matrix entsteht. Zudem wird die konjugierte Matrix auch in der Definition der konjugierten Ähnlichkeit von Matrizen eingesetzt.

DefinitionBearbeiten

Ist   eine komplexe Matrix,

 

dann ist die zugehörige konjugierte Matrix   definiert als

 .

Die konjugierte Matrix   ergibt sich also dadurch, dass alle Einträge der Ausgangsmatrix   komplex konjugiert werden. Gelegentlich wird die konjugierte Matrix auch durch   notiert, wobei dann allerdings Verwechslungsgefahr mit der adjungierten Matrix besteht, die ebenso bezeichnet wird.

BeispieleBearbeiten

Die Konjugierte der Matrix

 

ist die Matrix

 .

Für eine komplexe Matrix mit ausschließlich reellen Einträgen ist die Konjugierte gleich der Ausgangsmatrix.

EigenschaftenBearbeiten

RechenregelnBearbeiten

Die folgenden Rechenregeln für konjugierte Matrizen folgen direkt aus den Rechenregeln der komplexen Konjugation. Es gelten

 
 
 
 

für alle Matrizen  ,   und alle Skalare  .

TransponierteBearbeiten

Die Konjugierte der transponierten Matrix ist gleich der Transponierten der konjugierten Matrix, das heißt

 .

Diese Matrix wird adjungierte Matrix von   genannt und meist mit   oder   bezeichnet.

InverseBearbeiten

Die Konjugierte einer regulären Matrix   ist stets ebenfalls regulär. Für die Konjugierte der Inversen einer regulären Matrix gilt dabei

 .

Die Konjugierte der inversen Matrix ist demnach gleich der Inversen der konjugierten Matrix.

Exponential und LogarithmusBearbeiten

Für das Matrixexponential der Konjugierten einer quadratischen Matrix   gilt

 .

Entsprechend gilt für den Matrixlogarithmus der Konjugierten einer regulären komplexen Matrix

 .

KonjugationsabbildungBearbeiten

Die Abbildung

 ,

die einer Matrix ihre Konjugierte zuordnet, wird Konjugationsabbildung genannt. Aufgrund der vorstehenden Gesetzmäßigkeiten besitzt die Konjugationsabbildung die folgenden Eigenschaften.

  • Die Konjugationsabbildung ist stets bijektiv, linear und selbstinvers.
  • Im Matrizenraum   stellt die Konjugationsabbildung einen Automorphismus dar.
  • In der allgemeinen linearen Gruppe   und im Matrizenring   stellt die Konjugationsabbildung (für  ) ebenfalls einen Automorphismus dar.

KenngrößenBearbeiten

Für den Rang der Konjugierten einer Matrix   gilt

 .

Für die Spur der Konjugierten einer quadratischen Matrix   gilt jedoch

 .

Ebenso gilt für die Determinante der Konjugierten einer quadratischen Matrix

 .

Für das charakteristische Polynom von   ergibt sich daraus

 .

Die Eigenwerte von   sind demnach gerade die komplex Konjugierten der Eigenwerte von  . Auch die zugehörigen Eigenvektoren können komplex konjugiert gewählt werden.

NormenBearbeiten

Für die Frobeniusnorm und die Spektralnorm der Konjugierten einer Matrix   gilt

    und    .

Auch für die Zeilensummen- und die Spaltensummennorm der Konjugierten gilt

    und    .

Diese Matrixnormen bleiben demnach unter Konjugation erhalten.

VerwendungBearbeiten

Spezielle MatrizenBearbeiten

Die konjugierte Matrix wird in der linearen Algebra unter anderem bei folgenden Definitionen verwendet:

  • Die adjungierte Matrix ist diejenige Matrix, die durch Konjugation und Transposition einer gegebenen komplexen Matrix entsteht, also  .
  • Eine hermitesche Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, deren Transponierte gleich ihrer Konjugierten ist, das heißt  .
  • Eine schiefhermitesche Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, deren Transponierte gleich dem Negativen ihrer Konjugierten ist, das heißt  .
  • Eine komplexe Matrix ist genau dann reell, wenn sie gleich ihrer konjugierten Matrix ist, das heißt, wenn   gilt.

Produkt mit der KonjugiertenBearbeiten

Für eine komplexe Zahl   ist die Zahl   als Betragsquadrat stets reell und nichtnegativ. Für eine komplexe quadratische Matrix   muss jedoch die Matrix   nicht notwendigerweise reell sein. Die Determinante von   ist allerdings stets reell und nichtnegativ, denn es gilt mit dem Determinantenproduktsatz

 .

Die Eigenwerte der Matrix   müssen ebenfalls nicht alle reell sein, jedoch treten die nicht-reellen Eigenwerte paarweise komplex konjugiert auf. Die Matrix   tritt beispielsweise bei der Analyse komplexer symmetrischer Matrizen auf.[1]

Konjugierte ÄhnlichkeitBearbeiten

Zwei quadratische Matrizen   heißen konjugiert ähnlich (englisch consimilar), wenn eine reguläre Matrix   existiert, sodass

 

gilt. Die konjugierte Ähnlichkeit stellt ebenso wie die normale Ähnlichkeit eine Äquivalenzrelation auf der Menge der quadratischen Matrizen dar. Zwei reguläre Matrizen   sind dabei genau dann zueinander konjugiert ähnlich, wenn die Matrix   ähnlich zu der Matrix   ist.[2]

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2012, S. 261 ff.
  2. Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2012, S. 300 ff.

WeblinksBearbeiten