Darstellungssatz von Fréchet-Riesz

mathematischer Satz

Der Darstellungssatz von Fréchet-Riesz, manchmal auch Satz von Fréchet-Riesz oder Rieszscher Darstellungssatz beziehungsweise Darstellungssatz von Riesz (nach Frigyes Riesz) ist in der Mathematik eine Aussage der Funktionalanalysis, die den Dualraum bestimmter Banachräume charakterisiert. Da Riesz an mehreren solchen Sätzen beteiligt war, werden verschiedene Sätze als Rieszscher Darstellungssatz bezeichnet.

MotivationBearbeiten

In der Funktionalanalysis gewinnt man Informationen über die Struktur von Banachräumen aus dem Studium linearer, stetiger Funktionale. So erlaubt beispielsweise der Trennungssatz, mit ihrer Hilfe konvexe Mengen unter bestimmten Voraussetzungen voneinander zu trennen. Es ergibt sich damit als natürliche Aufgabe, den Raum aller solcher stetigen Funktionale – den Dualraum – näher zu studieren.

Dualräume von normierten Vektorräumen – und damit auch von Banachräumen – sind stets selbst Banachräume[1]. Das konstante Funktional   ist offenbar immer stetig und der Satz von Hahn-Banach sichert die Existenz „vieler“ weiterer stetiger Funktionale. Dieser Existenzsatz ist jedoch rein abstrakt und basiert auf nicht-konstruktiven Methoden wie dem Lemma von Zorn. Es liegt nun nahe, nach isometrischen Isomorphismen zwischen einem bekannten Raum und dem zu untersuchenden Dualraum zu suchen, um letzteren greifbar zu beschreiben.

In endlichdimensionalen Vektorräumen ist es leicht, Dualräume zu charakterisieren: Man betrachte als Beispiel ein Funktional   aus dem Dualraum von  , den man als   bezeichnet. Nach Ergebnissen der linearen Algebra lässt es sich darstellen durch die Multiplikation mit einem Zeilenvektor von links:

 

und folglich mithilfe des Standardskalarprodukts auch als

 

Die Abbildung

 

ist bijektiv und isometrisch. Mithilfe von   können wir also den Dualraum des   mit dem   selbst identifizieren.

Der Satz von Fréchet-Riesz verallgemeinert diese Erkenntnis auf allgemeine Hilberträume, während der Darstellungssatz von Riesz-Markow den Dualraum von  , dem Raum der stetigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorff-Raum  , charakterisiert. Eine weitere bekannte, mit dem Namen Riesz verbundene Dualitätsbeziehung ist die Identifizierung der Dualräume von  -Räumen mit den Räumen  , wobei  , siehe Dualität von  -Räumen.

AussageBearbeiten

Sei   ein Hilbertraum. Dann existiert zu jedem stetigen Funktional   genau ein  , sodass gilt:

 

Umgekehrt ist für gegebenes   die Abbildung

 

ein stetiges Funktional mit Operatornorm  .

BeweisBearbeiten

Existenz: Sei   ein stetiges, lineares Funktional.

Ist  , so wählt man  .

Ist  , dann ist sein Kern   ein abgeschlossener Unterraum von  . Mit dem Projektionssatz folgt, dass  . Da außerdem   folgt  .

Wähle   mit  . Dann ist  . Für   folgt nun aufgrund der Linearität von  , dass  . Insbesondere stellt   einen Isomorphismus zwischen   und   dar. Nach dem Homomorphiesatz ist   auch ein Isomorphismus zwischen   und  . Aus diesem Grund folgt  . Nun ist jedes   von der Form   mit   und  . Daher ist  . Setzt man nun  , dann gilt   und daher  . Wir folgern, dass   gilt.

Für die Eindeutigkeit sei angenommen, es gebe einen weiteren Vektor   mit  . Dann gilt für jedes  , dass  . Setzt man  , so folgt   also insbesondere, dass  .

Dualität von Lp-RäumenBearbeiten

Der Satz von Fréchet-Riesz kann, da jeder Hilbertraum zu einem  -Raum isomorph ist, als Satz über  -Räume angesehen werden. Er lässt sich auf  -Räume verallgemeinern. Dieser in Kurzform   lautende Satz wird oft als Satz von Riesz, seltener als Rieszscher Darstellungssatz, zitiert.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6. korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 58 ff. (Korollar II.2.2/4/5).