Reflexiver Raum

Reflexivität ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis und der Algebra. Ein Raum ist reflexiv, wenn die natürliche Einbettung in seinen Bidualraum ein Isomorphismus ist, wie unten erläutert wird. Damit kann ein reflexiver Raum mit dem Dualraum seines Dualraums identifiziert werden.

Reflexive RäumeBearbeiten

In der Funktionalanalysis ist Reflexivität eine Eigenschaft von normierten Vektorräumen.

DefinitionBearbeiten

Es sei   ein normierter Raum (über   oder  ). Man kann zeigen, dass sein (topologischer) Dualraum   ein Banachraum ist. Dessen Dualraum   wird mit   bezeichnet und heißt Bidualraum von  .

Durch die Abbildungsvorschrift

 

wird eine stetige lineare Isometrie   definiert, die kanonische Einbettung. Die definierende Gleichung von   liest sich also in Bilinearformschreibweise so:

 

Als Isometrie ist   injektiv. Falls   zusätzlich surjektiv ist, also insgesamt ein isometrischer Isomorphismus zwischen   und  , so nennt man   einen reflexiven Raum.

BeispieleBearbeiten

  • Jeder endlichdimensionale Banachraum ist reflexiv.
  • Nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz ist jeder Hilbertraum reflexiv.
  • Abgeschlossene Unterräume reflexiver Räume sind reflexiv.
  • Für alle   und alle   sind die Lebesgue-Räume   sowie alle Sobolev-Räume   für alle offenen Teilmengen   reflexiv.
  • Für alle   sind die Folgenräume   mit   reflexiv.
  • Die Banachräume   sind nicht reflexiv.
  • 1951 hat Robert C. James den nach ihm benannten James-Raum konstruiert. Dieser ist nicht reflexiv aber isometrisch isomorph zu seinem Bidualraum, das heißt die kanonische Einbettung des Raumes in seinen Bidual ist nicht surjektiv, aber dennoch gibt es einen anderen isometrischen Isomorphismus des Raumes auf seinen Bidual.

ReflexivitätskriterienBearbeiten

Ein Banachraum ist genau dann reflexiv, wenn

  • (Satz von Kakutani) die Einheitskugel kompakt in der schwachen Topologie ist.
  • (Satz von Eberlein–Šmulian) jede beschränkte Folge eine schwach konvergente Teilfolge besitzt.
  • (Satz von James) jedes stetige lineare Funktional seine Norm auf der Einheitskugel annimmt.
  • (Šmulian, 1939) jede absteigende Folge nicht-leerer, beschränkter, abgeschlossener und konvexer Mengen einen nicht-leeren Durchschnitt hat.

Die letzte Charakterisierung ist bemerkenswert, da sie ausschließlich den Banachraum selbst verwendet, also insbesondere keinen Bezug auf den Bidualraum (siehe Definition) oder den Dualraum (Verwendung der schwachen Topologie oder Satz von James) nimmt.

Eigenschaften reflexiver RäumeBearbeiten

Jeder reflexive normierte Raum ist ein Banachraum, denn er ist nach Definition isomorph zum vollständigen Bidualraum. In reflexiven Banachräumen ist die abgeschlossene Einheitskugel (allgemeiner jede beschränkte und schwach abgeschlossene Teilmenge) schwach kompakt, d. h. kompakt bzgl. der schwachen Topologie (dies folgt direkt aus dem Satz von Banach-Alaoğlu über die schwach*-Kompaktheit der Einheitskugel des Bidualraum eines reflexiven Banachraums).

Diese Eigenschaft charakterisiert die reflexiven Räume: Ein Banachraum ist genau dann reflexiv, wenn seine Einheitskugel schwach kompakt ist.

Insbesondere hat jedes beschränkte Netz in einem reflexiven Raum ein schwach konvergentes Teilnetz. Mit dem Satz von Eberlein–Šmulian folgt, dass jede beschränkte Folge in einem reflexiven Banachraum eine schwach konvergente Teilfolge besitzt. Weiter gelten folgende Permanenzaussagen:

  •   ist genau dann reflexiv, wenn   reflexiv und  vollständig ist.
  • Ist   reflexiv und   ein abgeschlossener Unterraum, so sind   und   reflexiv.

AnwendungenBearbeiten

Zusammen mit den sobolevschen Einbettungssätzen liefert die Existenz von schwach konvergenten Teilfolgen beschränkter Folgen häufig Lösungen von Variationsproblemen und damit partiellen Differentialgleichungen.

Reflexive lokalkonvexe RäumeBearbeiten

Versieht man den Dualraum eines lokalkonvexen Raums X mit der starken Topologie, so erhält man eine injektive, stetige, lineare Abbildung  .   heißt reflexiv, wenn   ein topologischer Isomorphismus ist und halbreflexiv, wenn   surjektiv ist. Im Gegensatz zum Fall normierter Räume ist   im halbreflexiven Fall nicht automatisch ein topologischer Isomorphismus. Es gelten folgende Sätze:

Reflexive ModulnBearbeiten

Ist   ein Modul über einem kommutativen Ring   mit Einselement, so wird der  -Modul   der duale Modul von   genannt; der Modul   heißt Bidualmodul. Es gibt eine kanonische Abbildung

 

die im Allgemeinen weder injektiv noch surjektiv ist. Ist sie ein Isomorphismus, so heißt   reflexiv.

LiteraturBearbeiten

  • R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8
  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory, Springer New York (1998), ISBN 0-387-98431-3, Kapitel 1.3: Characterizations of Reflexivity