UMD-Raum

Ein UMD-Raum (von englisch unconditional martingale difference space) ist in der Funktionalanalysis und der stochastischen Analysis ein Banach-Raum, in dem alle Martingal-Differenzenfolgen eines beliebigen endlichen Martingals unbedingt konvergente Reihen sind. Solche Räume besitzen viele der guten Eigenschaften eines Hilbert-Raumes und Martingal-Differenzfolgen teilen Eigenschaften von orthogonalen Folgen. Man sagt, dass Banach-Räume die UMD-Eigenschaft besitzen, wenn sie UMD-Räume sind.

Der Begriff wurde von den französischen Mathematiker Bernard Maurey und Gilles Pisier eingeführt. Motivation war es, eine genügend große Klasse von Banach-Räumen zu finden, so dass auch klassische Banach-Räume wie die L^p-Räume für $1<p<\infty$ enthalten sind, die Räume sich aber trotzdem wie Hilbert-Räume verhalten, deshalb lassen sich viele der Aussagen für Hilbert-Räume direkt auf UMD-Räume übertragen. Obwohl der UMD-Raum eine probabilistische Definition hat, stellt sich heraus, dass die UMD-Eigenschaft zu einigen analytischen Eigenschaften äquivalent ist, wie zum Beispiel, dass die Hilbert-Transformation auf $L^{p}$ beschränkt ist.

Um den Begriff des UMD-Raumes zu definieren, führt man zuerst den UMD$_{p}$-Raum für ein $p\in (1,\infty )$ ein. Ein tiefes Resultat von Maurey und Pisier sagt dann, dass ein Banach-Raum, der ein UMD$_{p}$-Raum für ein bestimmtes $p$ ist, auch ein UMD$_{q}$-Raum für alle anderen $q\in (1,\infty )$ ist. Deshalb spricht man häufig nur von UMD-Räumen.

Mit Hilfe von UMD-Räumen lässt sich die Itô-Isometrie auf Banach-Räume erweitern und folglich ergibt sich eine Theorie der stochastischen Integration bezüglich einer brownschen Bewegung für Banach-wertige Zufallsvariablen.

UMD-Raum

Sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Filtration $\mathbb {F}$ und $(E,\|\cdot \|_{E})$ ein Banach-Raum. Mit $X\in L^{p}(\Omega ,E)$ meinen wir $\mathbb {E} [\|X\|_{E}^{p}]<\infty$.

Grundbegriffe

• Eine Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ heißt unbedingt konvergent falls für jede Folge $\left(\varepsilon _{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ mit $\varepsilon _{n}\in \{-1,+1\},$ die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}$

konvergiert.

• Sei $(M_{n})_{n\in N}$ ein $E$-wertiges $\mathbb {F}$-adaptiertes Martingal. $(M_{n})_{n\in N}$ ist ein $L^{p}$-Martingal, falls $M_{n}\in L^{p}(\Omega ,E)$ für alle $n$, das bedeutet

$\max \limits _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {E} \left[\|M_{n}\|_{E}^{p}\right]<\infty$.

• Für ein Martingal $(M_{n})_{n\in N}$ ist die Martingal-Differenzfolge $(dM_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ definiert als

$dM_{n}:=M_{n}-{M_{n-1}}$

mit $M_{0}=0$. Ist $(M_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ein $L^{p}$-Martingal, dann nennt man $(dM_{n})_{n\in N}$ eine $L^{p}$-Martingal-Differenzfolge.

Definition

Sei $(\varepsilon _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge mit $\varepsilon _{n}\in \{-1,1\}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

Ein Banach-Raum $E$ ist ein UMD_p-Raum, falls für ein $p\in (1,\infty )$ eine Konstante $\beta$ existiert, so dass für alle $E$-wertigen $L^{p}$-Martingale-Differenzfolgen $(dM_{n})_{n=1}^{N}$ mit $N\in \mathbb {N}$ und alle $(\varepsilon _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ die folgende Ungleichung gilt

$\mathbb {E} \left[{\bigg \|}\sum \limits _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}dM_{n}{\bigg \|}_{E}^{p}\right]\leq \beta ^{p}\mathbb {E} \left[{\bigg \|}\sum \limits _{n=1}^{N}dM_{n}{\bigg \|}_{E}^{p}\right].$

Erläuterungen

• Die in der Gleichung benützte Norm ist die Norm von $E$. Analog lässt sich die Gleichung auch mittels der $L^{p}$-Norm $\|X\|_{L^{p}(\Omega ,E)}=\mathbb {E} [\|X\|_{E}^{p}]^{1/p}$ schreiben.
• Die $(dM_{n})$ bilden eine unbedingt konvergente Basis in $L^{p}$.
• Ersetzt man $dM_{n}$ mit $\varepsilon _{n}dM_{n}$ erhält man die Umgekehrte-Gleichung

$\mathbb {E} \left[{\bigg \|}\sum \limits _{n=1}^{N}dM_{n}{\bigg \|}_{E}^{p}\right]\leq \beta ^{p}\mathbb {E} \left[{\bigg \|}\sum \limits _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}dM_{n}{\bigg \|}_{E}^{p}\right].$

• Der Wahrscheinlichkeitsraum lässt sich durch einen beliebigen σ-endlichen Raum ersetzen.

p-Unabhängigkeit

Falls $X$ ein UMD$_{p}$-Raum für ein $p\in (1,\infty )$ ist, dann ist $X$ auch ein UMD$_{q}$-Raum für alle $q\in (1,\infty )$.

Eigenschaften

• Alle UMD-Räume sind reflexiv. Sie sind sogar super-reflexiv.
• Alle UMD-Räume sind K-konvex.

Beziehung zu singulären Integraloperatoren

Eine rein analytische Charakterisierung der UMD-Räume über die Hilbert-Transformation stammt von Burkholder () und Bourgain (). Sei $E$ eine beliebiger UMD-Raum und $\mathbb {T}$ der Torus. Dann bewiesen sie, dass die UMD$_{p}$-Räume gerade diejenigen Räume sind, auf denen

• die Hilbert-Transformation auf $L^{p}(\mathbb {R} ,E)$ beschränkt ist,
• die Riesz-Projektion auf $L^{p}(\mathbb {T} ,E)$ beschränkt ist,

und somit sind sie auch für alle $p\in (1,\infty )$ beschränkt.

Existenz einer symmetrischen, bikonvexen Funktion

Folgendes ist äquivalent:

1. $X$ ist ein UMD-Raum
2. Es existiert eine symmetrische, bikonvexe Funktion $\zeta$ auf $X\times X$, so dass $\zeta (0,0)>0$ und $\zeta (x,y)\leqq \|x+y\|_{E}$ falls $\|x\|_{E}\leq 1\leq \|y\|_{E}$

Beispiele

Folgende Räume sind u. a. UMD-Räume:

• alle endlich-dimensionalen Räume
• alle Hilbert-Räume
• die $L^{p}$-Räume für $1<p<\infty$
• die Sobolew-Räume für $1<p<\infty$
• die Schatten-Klassen für $1<p<\infty$
• reflexive Besov-Räume
• reflexive Birnbaum-Orlicz-Räume

Räume ohne UMD-Eigenschaft

• Alle nicht-reflexiven Räume ($L^{1}(S)$, $C(S)$ usw. für ein σ-endlicher Raum $(S,\Sigma ,\mu )$)

Literatur

• Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Analysis in Banach Spaces : Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory. Hrsg.: Springer International Publishing. Cham 2016, ISBN 978-3-319-48520-1, S. 267–372, doi:10.1007/978-3-319-48520-1_4. 
• Gilles Pisier: Martingales in Banach Spaces. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2016, S. 151–217, doi:10.1017/CBO9781316480588.