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In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik versteht man unter einer Einbettung eine Abbildung, die es ermöglicht, ein Objekt als Teil eines anderen aufzufassen.

Häufig ist damit lediglich eine injektive Abbildung oder ein Monomorphismus gemeint. Beispielsweise spricht man von der kanonischen Einbettung der reellen Zahlen in die komplexen Zahlen.

Darüber hinaus gibt es in einigen Gebieten speziellere Einbettungsbegriffe.

Inhaltsverzeichnis

TopologieBearbeiten

In der Topologie bezeichnet man eine Abbildung   zwischen zwei topologischen Räumen   und   als Einbettung von   in  , wenn   ein Homöomorphismus von   auf den Unterraum   seines Bildes ist (in der Teilraumtopologie).

Es sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  • die Abbildung   ist eine Einbettung.
  •   ist injektiv, stetig und als Abbildung nach   offen, d. h., für jede offene Menge   von   ist das Bild   wieder offen in  .
  •   ist injektiv und stetig, und für alle topologischen Räume   und alle stetigen Abbildungen  , welche über   faktorisieren (d. h., es gibt eine Abbildung   mit   ), ist die induzierte Abbildung   stetig.
  •   ist ein extremer Monomorphismus, d. h.   ist injektiv für jede Faktorisierung in einen Epimorphismus (d. h. eine surjektive stetige Abbildung)   und eine stetige Abbildung  ,  , ist   nicht nur ein Bimorphismus (d. h. bijektiv) wie für beliebiges injektives  , sondern sogar ein Homöomorphismus.
  •   ist ein regulärer Monomorphismus.[1]

Im Allgemeinen ist eine Einbettung   nicht offen, d. h., für   offen muss   nicht offen in   sein, wie das Beispiel der üblichen Einbettung   zeigt. Eine Einbettung   ist genau dann offen, wenn das Bild   in   offen ist.

DifferentialtopologieBearbeiten

Unter einer glatten Einbettung versteht man eine topologische Einbettung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit   in eine differenzierbare Mannigfaltigkeit  , die zudem noch eine Immersion ist.

DifferentialgeometrieBearbeiten

Unter einer isometrischen Einbettung einer Riemannschen Mannigfaltigkeit   in eine Riemannsche Mannigfaltigkeit   versteht man eine glatte Einbettung   von   in  , so dass für alle Tangentialvektoren   in   die Gleichung   gilt.

Eine isometrische Einbettung erhält die Längen von Kurven, sie muss aber nicht unbedingt die Abstände zwischen Punkten erhalten. Als Beispiel betrachte man den   mit der euklidischen Metrik und die Einheitssphäre   mit der induzierten Metrik. Nach Definition der induzierten Metrik ist die Inklusion   eine isometrische Einbettung. Sie ist aber nicht abstände-erhaltend: zum Beispiel ist der Abstand zwischen Nord- und Südpol (d. h. die Länge einer kürzesten Verbindungskurve) auf der   gleich  , während ihr Abstand im   gleich   ist.

KörpertheorieBearbeiten

In der Körpertheorie ist jeder nichttriviale Ringhomomorphismus   bereits eine Körpereinbettung, also ein Monomorphismus.

Ein Zahlkörper   kann verschiedene Einbettungen   haben. Eine Einbettung heißt reelle Einbettung, wenn ihr Bild in   liegt, und komplexe Einbettung sonst. Zum Beispiel hat   eine reelle und zwei komplexe Einbettungen. (Die komplexen Einbettungen bilden   auf die anderen Nullstellen von   ab.) Zu jeder komplexen Einbettung liefert das komplex-konjugierte eine andere komplexe Einbettung, weshalb die Anzahl der komplexen Einbettungen stets gerade ist. Es gilt  , wobei   die Anzahl der reellen und   die Anzahl der komplexen Einbettungen bezeichnet.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. extremal monomorphism, Eintrag im nLab. (englisch)

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Wiktionary: Einbettung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen