Symmetrischer Operator

Ein symmetrischer oder auch formal selbstadjungierter Operator ist ein Objekt aus der Mathematik. Ein solcher linearer Operator wird insbesondere in der Funktionalanalysis im Kontext unbeschränkter Operatoren betrachtet. Denn ein beschränkter symmetrischer Operator ist ein selbstadjungierter Operator.

In vielen Anwendungen werden Operatoren berücksichtigt, die unbeschränkt sind. Beispiele hierfür sind die Impuls- und Hamilton-Operatoren in der Quantenmechanik sowie viele lineare Differentialoperatoren. Bei unbeschränkten Differentialoperatoren, die für beschränkte Domänen definiert sind, ist es von der Wahl der Randbedingungen abhängig, ob ein symmetrischer Differentialoperator auch wesentlich selbstadjungiert oder sogar selbstadjungiert ist.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Hilbertraum. Ein linearer Operator   heißt symmetrisch, falls

 

für alle   gilt. Mit   wird der Definitionsbereich von   bezeichnet.[1][2]

In der Definition wurde nicht gefordert, dass ein symmetrischer Operator dicht definiert sein muss. Jedoch gibt es erst einen zu   adjungierten Operator, wenn   dicht definiert ist. Daher ist die Definition des symmetrischen Operators in der Literatur in diesem Punkt nicht einheitlich.[3]

EigenschaftenBearbeiten

  • Ein linearer Operator   ist genau dann symmetrisch, wenn   gilt.[1][2]
  • Für beschränkte lineare Operatoren fallen die Begriffe selbstadjungiert und symmetrisch zusammen. Daher sind symmetrische, nicht selbstadjungierte Operatoren immer unbeschränkt. Außerdem besagt der Satz von Hellinger-Toeplitz, dass jeder symmetrische Operator, der auf dem kompletten Hilbertraum definiert ist, stetig und damit selbstadjungiert ist.
  • Halbbeschränkte Operatoren sind auch symmetrisch. Erfüllt ein halbbeschränkter Operator   eine der Ungleichungen
  oder  
dann ist er sogar selbstadjungiert.[4]
  • Im Gegensatz zu den selbstadjungierten Operatoren können symmetrische Operatoren auch nicht reelle Eigenwerte haben.[5]

BeispielBearbeiten

Sei   der Funktionenraum der absolut stetigen Funktionen   auf  , die auf dem Rand verschwinden – also für die   gilt. Da der Raum der absolut stetigen Funktionen über einem Kompaktum isomorph zum entsprechenden Sobolev-Raum   ist, kann der zuvor definierte Raum   als Sobolev-Raum   mit Nullrandbedingung verstanden werden. Betrachte nun den Differentialoperator

 

in den Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen  . Dieser ist symmetrisch bezüglich des komplexen  -Skalarproduktes. Dies kann mittels partieller Integration gezeigt werden. Jedoch ist   nicht selbstadjungiert, da der zu   adjungierte Operator per Definition den maximalen Definitionsbereich hat, daher gilt für den adjungierten Operator

 .

Hier erfüllen die Funktionen im Definitionsbereich von   nicht mehr die Nullrandbedingung. Eine andere Wahl der Randbedingung von   kann diesen zu einem selbstadjungierten Operatoren machen.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 342.
  2. a b Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991. ISBN 0070542368, S. 349.
  3. Kosaku Yosida: Functional Analysis. 6. ed. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1980, ISBN 3-540-10210-8, S. 197.
  4. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 350.
  5. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 353.