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Der Hamiltonoperator (auch Hamiltonian) ist in der Quantenmechanik ein Operator, der (mögliche) Energiemesswerte und die Zeitentwicklung angibt. Er ist daher der Energieoperator. Er liefert beispielsweise die Energieniveaus des Elektrons im Wasserstoffatom. Er ist nach William Rowan Hamilton benannt. Auf ihn geht die hamiltonsche Formulierung der klassischen Mechanik zurück, in der die Hamilton-Funktion die Zeitentwicklung und die Energie bestimmt.

Inhaltsverzeichnis

Zeitentwicklung und EnergieBearbeiten

In der Quantenmechanik wird jeder Zustand des betrachteten physikalischen Systems durch einen zugehörigen Vektor   im Hilbertraum angegeben. Seine Zeitentwicklung wird nach der Schrödingergleichung durch den Hamiltonoperator   bestimmt:

 

mit

Man erhält den Hamiltonoperator in vielen Fällen aus der Hamiltonfunktion   des entsprechenden klassischen Systems (mit der generalisierten Koordinate x und dem kanonischen Impuls p) durch kanonische Quantisierung. Dazu wird der algebraische Ausdruck für die Hamilton-Funktion als Funktion von Operatoren gelesen (Ortsoperator   und Impulsoperator  ), die den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen.

Dies ist allerdings nicht eindeutig, da die Funktion   den Wert   hat, die Operatorfunktion   aber den Wert   Zudem ist   reell, aber   ist hermitesch. Außerdem gibt es quantenmechanische Größen wie den Spin, die in der klassischen Physik nicht auftreten. Wie sie sich auf die Zeitentwicklung auswirken, folgt nicht aus Analogien mit der klassischen Physik, sondern muss aus den physikalischen Befunden erschlossen werden.

Die Eigenwertgleichung

 

bestimmt die Eigenvektoren   des Hamiltonoperators; sie sind bei zeitunabhängigem Hamiltonoperator stationär, d. h. in jeder beobachtbaren Eigenschaft zeitunabhängig. Die Eigenwerte   sind die zugehörigen Energien.

Da der Hamiltonoperator hermitesch (genauer wesentlich selbstadjungiert) ist, besagt der Spektralsatz, dass die Energien reell sind und dass die Eigenvektoren eine Orthonormalbasis des Hilbertraums bilden. Je nach System kann das Energiespektrum diskret oder kontinuierlich sein. Manche Systeme, z. B. das Wasserstoffatom oder ein Teilchen im Potentialtopf, haben ein nach unten beschränktes, diskretes Spektrum und darüber ein Kontinuum möglicher Energien.

Der Hamiltonoperator erzeugt die unitäre Zeitentwicklung. Falls für alle Zeiten   und   zwischen   und   der Hamiltonoperator   mit   kommutiert, so bewirkt

 

die unitäre Abbildung jedes anfänglichen Zustandes   auf den zugehörigen Zustand   zur Zeit  

Falls der Hamiltonoperator nicht von der Zeit abhängt ( ), vereinfacht sich dies zu

 

Operatoren, die mit   vertauschen, sind bei zeitunabhängigem Hamiltonoperator Erhaltungsgrößen des Systems, insbesondere die Energie.

Für die Energie gilt auch eine Energie-Zeit-Unschärferelation, nur muss man in der Quantenmechanik bei deren Ableitung anders vorgehen als zum Beispiel bei der Ort-Impuls-Unschärferelation.

BeispieleBearbeiten

Quantenmechanisches Teilchen im PotentialBearbeiten

Aus der Hamiltonfunktion

 

für ein nichtrelativistisches, klassisches Teilchen der Masse  , das sich im Potential   bewegt, kann ein Hamiltonoperator abgelesen werden. Dazu werden die Ausdrücke für den Impuls und das Potential durch die entsprechenden Operatoren ersetzt:

 

In der Ortsdarstellung wirkt der Impulsoperator   als Ableitung   und der Operator   als Multiplikation mit der Funktion   Die Anwendung dieses Hamiltonoperators eines Punktteilchens der Masse   im Potential   auf die Ortswellenfunktion   des Teilchens wirkt sich demnach aus durch

 

Hierbei ist   der Laplace-Operator.

Die Schrödingergleichung lautet somit

 

Diese Schrödingergleichung einer Punktmasse im Potential ist die Grundlage zur Erklärung des Tunneleffekts. Sie liefert bei Einsetzen des Coulombpotentials (als Potential für die Wechselwirkung zwischen einem Elektron und einem Proton) die Spektrallinien des Wasserstoff-Atoms. Durch Einsetzen entsprechender Potentiale können auch die Spektrallinien anderer leichter Atome berechnet werden.

Eindimensionaler harmonischer OszillatorBearbeiten

Analog erhält man für den quantenmechanischen harmonischen Oszillator, der sich nur längs einer Linie bewegen kann, den Hamiltonoperator

 

Die Energien lassen sich algebraisch bestimmen. Man erhält

 

Es handelt sich dabei um dieselben Energien wie die eines Grundzustandes mit Energie  , dem  -fach ein Quant der Energie   hinzugefügt wurde.

Spin im MagnetfeldBearbeiten

Zum Spin   eines Elektrons, das an ein Atom gebunden ist und sich in einem ungepaarten Zustand (allein in der Elektronenwolke) im Magnetfeld   befindet, gehört der Hamiltonoperator

 

Dabei ist

Da der Spin in Richtung des Magnetfeldes nur die Eigenwerte   oder   annehmen kann (Spinpolarisation), sind die möglichen Energien  . Im inhomogenen Magnetfeld des Stern-Gerlach-Versuchs spaltet daher ein Teilchenstrahl aus Silberatomen in zwei Teilstrahlen auf.

Geladenes, spinloses Teilchen im elektromagnetischen FeldBearbeiten

Den Hamiltonoperator eines Teilchen mit Ladung   in einem äußeren elektromagnetischen Feld erhält man durch minimale Substitution

 

Hier bezeichnet

  •   das Vektorpotential
  •   das Skalarpotential.

Beim Ausmultiplizieren der Klammer ist zu beachten, dass   und   wegen der Ortsabhängigkeit von   im Allgemeinen nicht kommutieren. Dies ist nur in der Coulomb-Eichung der Fall.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Peter Rennert, Angelika Chassé und Wolfram Hergert: Einführung in die Quantenphysik. Experimentelle und theoretische Grundlagen mit Aufgaben, Lösungen und Mathematica-Notebooks. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-00769-0.