Friedrichssche Erweiterung

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Die Friedrichssche Erweiterung (nach Kurt Friedrichs) ist eine mathematische Konstruktion, nach der bestimmte dicht-definierte lineare Operatoren in Hilberträumen zu selbstadjungierten Operatoren erweitert werden können.

Halb-beschränkte OperatorenBearbeiten

Wir betrachten einen linearen Operator  , der auf einem dichten Teilraum eines Hilbertraums   definiert ist. Dieser Teilraum heißt der Definitionsbereich von   und wird mit   bezeichnet. Unter bestimmten Umständen, um die es in diesem Artikel geht, kann man den Operator   zu einem auf einem   umfassenden Teilraum erweitern, so dass der erweiterte Operator selbstadjungiert ist.

Ein dicht-definierter Operator   heißt halb-beschränkt, falls es eine reelle Zahl   gibt, so dass   für alle  . Offenbar sind positive Operatoren halb-beschränkt und halb-beschränkte Operatoren sind symmetrisch, denn nach Definition sind alle   reell.

In der Quantenmechanik auftretende Operatoren sind häufig halb-beschränkt, das   steht dann etwa für eine untere Energie-Schranke. Es stellt sich dann in natürlicher Weise die Frage, ob ein solcher Operator eine selbstadjungierte Erweiterung hat, diese ist dann eine quantenmechanische Observable.

Der Begriff des halb-beschränkten Operators wurde zuerst von Aurel Wintner eingeführt. Später hat Kurt Friedrichs die Theorie der halb-beschränkten Operatoren weiterentwickelt.[1]

Energetischer RaumBearbeiten

Sei   ein halb-beschränkter Operator mit   für alle   und   sei eine reelle Zahl mit  . Sei

  für  .

Dann ist   eine positiv definite Form auf   und man kann daher die Norm   auf   definieren.   ist mit dieser Norm in der Regel kein vollständiger Raum; das führt zu folgender Konstruktion.

 .

Beachte, dass sich die erste Grenzwert-Bedingung auf die Hilbertraum-Norm auf   bezieht. Eine Folge   in der Definition von   heißt eine approximierende Folge für  . Offenbar ist  , denn für   kann man als approximierende Folge die konstante Folge   wählen. Man kann nun folgende Aussagen beweisen:

  • Sind   mit approximierenden Folgen   und  , so existiert der Limes   und setzt die auf   definierte Form fort.
  •   ist mit der positiv definiten Form   ein Hilbertraum.
  • Ist auch   eine reelle Zahl mit  , so ist   als Mengen, die durch   bzw.   definierten Normen sind äquivalent.

Der Raum   hängt also nur von   und nicht vom speziellen   ab; er wird daher mit   bezeichnet und heißt der energetische Raum von  .

Friedrichssche ErweiterungBearbeiten

Sei   ein halb-beschränkter Operator. Dann ist   symmetrisch, das heißt, es gilt  , wobei   der adjungierte Operator ist. Definiert man

  für  ,

so ist   ein selbstadjungierter Operator, der   erweitert.   heißt die Friedrichssche Erweiterung von  .

Man beachte, dass im Allgemeinen weder   noch   selbstadjungiert ist. Erst durch obige geschickte Wahl des Definitionsbereichs erhält man einen zwischen   und   gelegenen selbstadjungierten Operator, der die Einschränkung von   auf diesem Teilraum ist. Es ist daher  

QuellenBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Franz Rellich: Seite nicht mehr abrufbar, Suche in Webarchiven: @1@2Vorlage:Toter Link/imu2.zib.de Halbbeschränkte Differentialoperatoren höherer Ordnung (PDF; 702 kB), 1954, abgerufen am 17. Juni 2011