Satz von Hellinger-Toeplitz

mathematischer Satz

Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Er ist nach den Mathematikern Ernst Hellinger und Otto Toeplitz benannt.

FormulierungBearbeiten

Es seien   ein Hilbertraum und   ein symmetrischer linearer Operator, das heißt, ein Operator, der für alle   die Gleichung

 

erfüllt. Dann ist   stetig.

BeweisBearbeiten

Nach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen ist es hinreichend, Folgendes zu zeigen: Ist   eine Nullfolge und   konvergent, dann ist  .
Verwendet man die Stetigkeit des Skalarprodukts auf   und setzt  , dann folgt

 

also  .

FolgerungenBearbeiten

  • Da der Operator   linear und stetig ist, ist er auch beschränkt.
  • Jeder symmetrische, überall auf   definierte Operator ist selbstadjungiert.
  • Unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren können höchstens auf einer dichten Teilmenge eines Hilbertraums definiert sein.

VerallgemeinerungBearbeiten

Man kann die Bedingung im Satz von Hellinger-Toeplitz abschwächen:

Es seien   und   Hilberträume und   ein linearer Operator, der ein Adjungiertes besitzt, das heißt: Es gibt einen Operator  , der für alle   und   die Gleichung

 

erfüllt. Dann sind   und   stetig.

Der Beweis geht analog.

LiteraturBearbeiten

  • Dirk Werner: Funktionalanalysis (Springer, 5. Auflage 2005)