Duale Paarung

Die duale Paarung ist in der Mathematik eine Abbildung, die einem Vektor und einem linearen Funktional eine Zahl zuweist. Sie stellt eine Verallgemeinerung des Skalarproduktes dar.

Das Ziel ist es, mathematische Begriffe, die von einem Skalarprodukt herrühren (wie etwa die Frage, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander sind), in Räumen zu verwenden, in denen man kein Skalarprodukt definieren (und daher auch keine Winkel messen) kann. Der Nachteil, der sich dabei ergibt, liegt darin, dass die beiden Vektoren, deren Skalarprodukt man berechnet (um beispielsweise ihren Winkel zu erhalten), aus unterschiedlichen Vektorräumen stammen.

In der Physik tauchen Ansätze der dualen Paarung beispielsweise im Bra-Ket-Formalismus auf.

DefinitionBearbeiten

Es seien   ein  -Vektorraum und   der zugehörige Dualraum. Die Abbildung

 

wird duale Paarung genannt.

Wenn der betrachtete Vektorraum eine topologische Struktur besitzt, so meint man mit   in der Regel den topologischen Dualraum, das heißt den Raum der stetigen linearen Funktionale.

EigenschaftenBearbeiten

Die duale Paarung auf normierten RäumenBearbeiten

Ist   ein normierter Raum, so gilt

 
 ,

wobei die zweite Aussage ein Korollar aus dem Satz von Hahn-Banach für normierte Räume ist. In diesem Fall ist die duale Paarung eine nicht entartete bilineare Abbildung.

In normierten Räumen gilt eine Ungleichung, die eine Verallgemeinerung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung darstellt. Sind   und   die Operatornorm von  , dann ist

 

und daher

 

Die duale Paarung auf HilberträumenBearbeiten

Ist   ein Hilbertraum, so ist wegen des Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz  . Ist   zudem ein reeller Vektorraum, dann ist die duale Paarung in diesem Fall identisch mit dem Skalarprodukt des Hilbertraums. Für komplexe Hilberträume ist zu beachten, dass die duale Paarung bilinear ist, im Gegensatz zum Skalarprodukt, das lediglich sesquilinear ist.

Um Verwechslung mit einem (womöglich sesquilinearen) Skalarprodukt zu vermeiden, wird in der Literatur manchmal die Schreibweise   für die duale Paarung reserviert, und für das Skalarprodukt dafür   verwendet. Man erhält dann die Beziehung

 

Die Notation der dualen Paarung ist verträglich mit gewissen Rechenregeln, die man für adjungierte Operatoren auf Hilberträumen kennt. Ist   ein Hilbertraum,   ein linearer Operator und   der adjungierte Operator, so ist

 

für alle   im Definitionsbereich von   und alle   im Definitionsbereich von  . Ist nun   kein Hilbertraum mehr, so erhält man (da in diesem Fall kein Analogon zum Riesz-Isomorphismus existiert) als Adjungierte zu   einen Operator auf den Dualräumen   und es gilt

 

für alle   im Definitionsbereich von   und alle   im Definitionsbereich von  .

Gelfand-TripelBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Ein Nebeneinander von dualer Paarung und Skalarprodukten erhält man beispielsweise in folgender Situation. Betrachte einen Hilbertraum   und einen Teilraum  , wobei   mit einer Topologie versehen ist, die feiner als die induzierte Teilraumtopologie ist, sodass die Inklusionsabbildung   stetig ist.

Wieder kann man aufgrund des Riesz-Isomorphismus   mit seinem topologischen Dualraum identifizieren. Zur Inklusionsabbildung gibt es auch eine duale Abbildung

 

Oft fordert man, dass   ein dichter Teilraum von   ist, da dann die Abbildung   injektiv ist und zu einer Einbettung wird. Man schreibt daher die Inklusionskette

 ,

was man als Gelfand-Tripel bezeichnet, benannt nach I. M. Gelfand. Auch hier kann man eine duale Paarung für   betrachten, die jedoch nur dann mit dem Skalarprodukt auf   in der Beziehung

 

stehen kann, wenn   ein Element von   ist.

BeispielBearbeiten

Ein wichtiges Gelfand-Tripel aus der White-Noise-Analysis ist das Tripel

 

wobei   der Raum der schnell fallenden Funktionen (Schwartz-Raum) ist und   sein topologischer Dualraum, der Raum der temperierten Distributionen.   ist der Hilbertraum der quadratisch integrierbaren Funktionen bezüglich des Lebesguemaßes. Der Schwartz-Raum ist ein dichter Teilraum und er ist ein vollständiger metrischer Raum, jedoch lässt sich auf ihm kein Skalarprodukt definieren, das seine Topologie erzeugt.

Man kann nun jedes Element   in   als temperierte Distribution auffassen, indem man die Abbildung

 

definiert (die Endlichkeit des Integrals ist eine Konsequenz der Cauchy-Schwarz-Ungleichung). Man sieht rasch, dass mit dieser Definition Skalarprodukt und duale Paarung für alle Elemente   übereinstimmen, wenn   durch eine quadratisch integrierbare Funktion   induziert werden kann. Für andere temperierte Distributionen (so genannte singuläre Distributionen) ist das nicht möglich, zum Beispiel für die Deltadistribution, da der Ausdruck

 

rein formal ist und kein Lebesgueintegral darstellt.

Der AnnihilatorraumBearbeiten

Mit Hilfe der Dualen Paarung lässt sich für beliebige Vektorräume   eine Verallgemeinerung des orthogonalen Komplements einer Menge   definieren, der so genannte Annihilatorraum

 

Die duale Paarung in der PhysikBearbeiten

In der Physik wird die duale Paarung gewöhnlich anders definiert, so dass die Reihenfolge von Vektorraum und Dualraum vertauscht ist. Man erhält

 

Ein Grund, der für diese Definition spricht, mag die Ähnlichkeit zum euklidischen Skalarprodukt sein. Dort kann man nämlich Vektoren als Spaltenvektoren auffassen und die zugehörigen Funktionale als Zeilenvektoren. Dann gilt mit den Rechenregeln der Matrizenmultiplikation

 

Bra-Ket-SchreibweiseBearbeiten

Im Bra-Ket-Formalismus, der in der Quantenmechanik häufig benutzt wird, werden Vektoren als Ket-Vektoren in der Form   und Elemente des Dualraums als Bra-Vektoren in der Form   geschrieben. Vergleicht man diese Notation mit der obigen Bemerkung über das euklidische Skalarprodukt, so erkennt man, dass hier dieselbe Idee zugrunde liegt, nämlich dass man ein Skalarprodukt formal als Produkt aus einem Funktional und einem Vektor schreiben kann.

Allerdings sei angemerkt, dass hier keine duale Paarung zugrunde liegt, da die Vektorräume in der Quantenmechanik häufig komplexe Räume sind und das Skalarprodukt daher sesquilinear ist. Dennoch ist diese der dualen Paarung verwandte Notation nützlich, da sie ein intuitives Rechnen mit Vektoren, Funktionalen und Skalarprodukten ermöglicht.

LiteraturBearbeiten

  • Nobuaki Obata: White Noise Calculus and Fock Space („Lecture notes in mathematics; 1577“). Springer Verlag, Berlin 1994, ISBN 3-540-57985-0.

Siehe auchBearbeiten