Satz von Hahn-Banach

mathematischer Satz

Der Satz von Hahn-Banach (nach Hans Hahn und Stefan Banach) aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist einer der Ausgangspunkte der Funktionalanalysis. Er sichert die Existenz von ausreichend vielen stetigen, linearen Funktionalen auf normierten Vektorräumen oder allgemeiner auf lokalkonvexen Räumen. Die Untersuchung eines Raums mithilfe der darauf definierten stetigen, linearen Funktionale führt zu einer weitreichenden Dualitätstheorie, die auf allgemeinen topologischen Vektorräumen in dieser Form nicht möglich ist, da eine zum Satz von Hahn-Banach analoge Aussage dort nicht gilt.

Darüber hinaus ist der Satz von Hahn-Banach die Grundlage für viele nicht-konstruktive Existenzbeweise wie z. B. im Trennungssatz oder im Satz von Krein-Milman.

Der Satz wurde im Wesentlichen schon 1912[1][2] von Eduard Helly bewiesen. Hahn erwähnt Helly in seiner Arbeit von 1927 nicht, wohl aber Banach in seiner Arbeit von 1929, wenn auch nicht in Zusammenhang mit dem Satz selbst.[3] Beide verwenden aber die Ungleichung von Helly. Die Benennung nach Hahn und Banach tauchte zuerst in einer Arbeit von Frederic Bohnenblust und A. Sobcyzk, die den Satz auf komplexe Räume übertrugen.[4] Ein anderer Beweis des Satzes von Hahn-Banach, der nicht die Ungleichung von Helly verwendet, wurde 1941 von Jean Dieudonné gegeben.[5]

Die geometrische Form des Satzes von Hahn-Banach findet sich in der Literatur auch unter dem Namen Satz von Minkowski-Ascoli-Mazur oder Satz von Ascoli-Mazur.[6]

Endlichdimensionaler Fall

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Stellt man Vektoren eines endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraums   bzgl. einer fest gewählten Basis in der Form eines Zeilenvektors   dar, so kann man die jeweiligen  -ten Einträge dieser Zeilenvektoren als Funktionen

 

auffassen (dabei ist   der Grundkörper   bzw.  ). Ein wesentlicher Teil der Bedeutung einer solchen aus der linearen Algebra bekannten Koordinatendarstellung liegt nun darin, dass zwei Vektoren genau dann gleich sind, wenn alle ihre Koordinaten übereinstimmen:

 

Die Koordinatenfunktionen trennen daher die Punkte, d. h., sind   verschiedene Vektoren, dann gibt es einen Index  , so dass   ist. Die   sind stetige lineare Funktionale auf dem Koordinatenraum.

In unendlichdimensionalen Räumen gibt es i. d. R. keine den Koordinatenfunktionen   vergleichbare Konstruktion, wenn man dabei auf Stetigkeit der Koordinaten besteht. Der Satz von Hahn-Banach impliziert aber, dass die Menge aller stetigen linearen Funktionale auf einem normierten Raum (oder allgemeiner auf einem lokalkonvexen Raum) die Punkte trennt.

Formulierung

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Es sei   ein Vektorraum über  .

Es seien nun

  •   ein linearer Unterraum;
  •   eine sublineare Abbildung;
  •   ein lineares Funktional, für das   für alle   gilt.

Dann gibt es ein lineares Funktional  , so dass

  •   und
  •  

für alle   gilt.

Wir beweisen den Satz für  , der allgemeine Fall folgt dann als Korollar. Wir werden die Menge aller Fortsetzungen   von   auf Teilräumen   mit  , für die   für alle   gilt, betrachten. Dann zeigen wir mit dem Lemma von Zorn, dass die Menge aller solchen Fortsetzungen maximale Elemente besitzt und dass ein solches maximales Element eine gesuchte Fortsetzung   ist. Betrachte also die Menge aller geeigneten Fortsetzungen:

 

Wir definieren folgende Halbordnung auf   :

 

Sei   eine Kette, wir müssen zeigen, dass sie eine obere Schranke besitzt. Sei dafür   und   definiert über   für jedes  . Dann ist   denn   ist, da   total geordnet ist, ein Untervektorraum. Es ist klar, dass   eine obere Schranke ist. Nach dem Lemma von Zorn besitzt   also ein maximales Element  .

Es bleibt zu zeigen, dass  . Wir nehmen an, das sei nicht so, und führen das zu einem Widerspruch. Wähle   und definiere   und  . Wir zeigen nun die Existenz eines  , so dass  , dies steht dann im Widerspruch zur Maximalität von  . Wir suchen also ein  , so dass :

 

Wegen der positiven Homogenität von   ist dies äquivalent zu:

 

Ein solches   existiert also genau dann, wenn:

 

Dies folgt aber direkt aus:

 .

Damit ist ein   der gewünschten Art gefunden, was im Widerspruch zur Maximalität von   und damit zur getroffenen Annahme steht. Also ist   und das maximale Element eine gesuchte Fortsetzung.

Korollare

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Häufig ist eine der folgenden Aussagen, die leicht aus obigem Satz hergeleitet werden können, gemeint, wenn der Satz von Hahn-Banach zitiert wird:

  • Ist   ein normierter Raum, so gibt es für jedes   ein lineares Funktional   mit Norm  , für das   gilt. Sind   verschiedene Vektoren, so erhält man die oben erwähnte Eigenschaft der Punktetrennung, indem man dies auf   anwendet.
  • Ist allgemeiner   ein normierter Raum,   ein Unterraum, und liegt   nicht im Abschluss von  , so gibt es ein lineares Funktional   mit Norm  , das auf   verschwindet und für das   gilt.
  • Ist   ein normierter Raum,   ein Teilraum und   ein stetiges lineares Funktional auf  , so kann   zu einem stetigen linearen Funktional derselben Norm auf ganz   fortgesetzt werden. Anders ausgedrückt: Die Einschränkung von Funktionalen ist eine surjektive Abbildung   der Dualräume.
  • Ist   ein normierter Raum, so ist ein Unterraum   genau dann dicht in  , falls aus   und   stets   folgt.[7]
  • Weitere Folgerungen geometrischer Art finden sich im Artikel Trennungssatz.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Helly, Über lineare Funktionaloperatoren, Sitzungsberichte Akad. Wiss. Wien, Band 121, 1912, S. 265–297
  2. Harry Hochstadt: Eduard Helly, father of the Hahn-Banach theorem, The Mathematical Intelligencer, Band 2, 1980, Nr. 3, S. 123–125. Nach Hochstadt ist Helly's Beweis vollständig modern in der Form und identisch mit dem Standardbeweis.
  3. Helly benutzte den Satz von Hahn-Banach als Lemma für einen Beweis eines Satzes von Riesz, auf den sich Banach in der Referenz zu Helly bezog.
  4. Bohnenblust, Sobcyzk, Extensions of functionals on complete linear spaces, Bull. AMS, Band 44, 1938, S. 91–93. Sie verweisen darauf das ihr Beweis identisch mit dem von Francis J. Murray von 1936 ist (Murray, Linear transformations in  , p >1, Trans. AMS, Band 39, 1936, S. 83–100), der sich wiederum auf Banach bezieht aber nicht von Satz von Hahn-Banach spricht.
  5. Dieudonné, Sur le Théoréme de Hahn-Banach, La Rev. Sci. 79, 1941, S. 642–643.
  6. Semen Kutateladze: Fundamentals of Functional Analysis. Band 12, 1996, ISBN 978-90-481-4661-1, S. 40, doi:10.1007/978-94-015-8755-6 (researchgate.net).
  7. Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer, 2000, Korollar III.1.9