Trennungssatz

mathematischer Satz

Der Trennungssatz (auch Satz von Eidelheit, benannt nach Meier Eidelheit) ist ein mathematischer Satz über die Möglichkeiten zur Trennung konvexer Mengen in normierten Vektorräumen (oder allgemeiner lokalkonvexen Räumen) durch lineare Funktionale. Dabei handelt es sich um geometrische Folgerungen aus dem Satz von Hahn-Banach. Wie dieser beruht daher der Trennungssatz auf einem nicht-konstruktiven Argument, wie dem Lemma von Zorn beziehungsweise dem Auswahlaxiom.

Erste FormulierungBearbeiten

Die einfachste Version des Trennungssatzes lautet wie folgt:

Sei   ein normierter Vektorraum (oder lokalkonvexer Raum) über   oder  . Seien weiter   eine abgeschlossene konvexe Menge und  . Dann existiert ein lineares stetiges Funktional   mit

 .

Hier bezeichnet   den Realteil und   den topologischen Dualraum von  . Man sagt dann: Das Funktional   trennt den Punkt   von der Menge  .

Weitere FormulierungenBearbeiten

In obiger Formulierung kann der Punkt   durch eine kompakte konvexe Menge ersetzt werden. Man erhält dann den folgenden Satz:

Sei   ein normierter Vektorraum (oder lokalkonvexer Raum) über   oder  . Seien weiter   eine nicht-leere, abgeschlossene, konvexe Menge und   eine nicht-leere, kompakte, konvexe Menge. Dann existiert ein lineares stetiges Funktional   mit

 .

Schließlich kommt man zu einer schwächeren Trennungseigenschaft, wenn man in obiger Version auf die Abgeschlossenheit und Kompaktheit verzichtet:

Sei   ein normierter Vektorraum (oder lokalkonvexer Raum) über   oder  . Seien weiter   nicht-leere, disjunkte, konvexe Mengen,   sei offen. Dann existiert ein lineares stetiges Funktional   mit

 .

HyperebenenBearbeiten

 
Im Anschauungsraum   werden disjunkte konvexe Mengen durch Ebenen getrennt.

Mengen der Form  , wobei   und  , sind abgeschlossene Hyperebenen. Sie zerlegen den Raum   in einen oberen Halbraum   und einen unteren Halbraum  . Zu einer kompakten konvexen Menge und einer dazu disjunkten abgeschlossenen konvexen Menge kann man nach obigem Trennungssatz eine Hyperebene finden, so dass die beiden Mengen in unterschiedlichen Halbräumen liegen, und zwar jeweils im Inneren dieser Halbräume. Man sagt, die Hyperebene trenne die beiden konvexen Mengen. Das ist im 2-dimensionalen und 3-dimensionalen Fall besonders anschaulich, da die Hyperebenen in diesen Fällen Geraden bzw. Ebenen sind.

 
Die disjunkten, konvexen Mengen   und   lassen sich nicht durch offene Halbräume trennen.

Hat man zwei disjunkte konvexe Mengen in  , von denen eine offen ist, so gibt es zu diesen nach der zuletzt genannten Version des Trennungssatzes ebenfalls eine Hyperebene, so dass die beiden Mengen in unterschiedlichen Halbräumen liegen. Im Allgemeinen kann man aber nicht mehr erreichen, dass beide im Inneren der Halbräume liegen. Dazu betrachte man in   die untere Halbebene   und die offene Menge oberhalb des Graphen der Exponentialfunktion  . Wie durch nebenstehende Zeichnung verdeutlicht, ist   mit   die einzige trennende Hyperebene, und   liegt nicht im Inneren des zugehörigen Halbraums.

AnwendungenBearbeiten

Dieser Satz hat auch außerhalb der Funktionalanalysis viele wichtige Anwendungen und stellt für viele Beweise ein nicht-konstruktives Existenzargument dar, unter anderem:

LiteraturBearbeiten

  • Richard Kadison, John Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras (Graduate studies in mathematics; 15/16). American Mathematical Society, Providence, RI 1997 (EA 1983)
  1. 1997, ISBN 0-8218-0819-2.
  2. 1997, ISBN 0-8218-0820-6.