Richtungsableitung

In der Mathematik ist die Richtungsableitung einer von mehreren Variablen abhängigen Funktion die momentane Änderungsrate dieser Funktion in einer durch einen Vektor vorgegebenen Richtung.

Eine Verallgemeinerung der Richtungsableitung auf unendlichdimensionale Räume ist das Gâteaux-Differential.

DefinitionenBearbeiten

Seien   eine offene Menge,   und   ein Vektor.

Die Richtungsableitung einer Funktion   am Punkt   in Richtung von   ist definiert durch den Limes

 

falls dieser existiert.

Alternative DefinitionBearbeiten

Durch

 

ist ein Stück einer Parametergerade definiert. Das   ist hierbei hinreichend klein gewählt, so dass   an jeder Stelle   gilt.

Nun ist die Verkettung   eine gewöhnliche reelle Funktion und man erhält gemäß

 

eine äquivalente Definition der Richtungsableitung.

Diese Definition bietet den Vorteil der Zurückführung der Richtungsableitung auf eine gewöhnliche Ableitung, womit keine neue Art von Differentialquotient betrachtet werden muss.

Zudem kann man diese Definition dergestalt konzeptuell erweitern, dass   eine beliebige differenzierbare Parameterkurve mit   und Tangentialvektor   sein darf. Allerdings setzt man   hierfür als an der Stelle   total differenzierbar voraus, denn dann ist das totale Differential   vorhanden und es gilt

 

gemäß der Kettenregel, was die Gewissheit verschafft, dass der Wert unabhängig von der gewählten Parameterkurve ist. Die Richtungsableitung ist in diesem Fall auch dann erklärt, wenn der Definitionsbereich von   eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist und der Vektor   aus dem Tangentialraum entstammt, welcher sich der Mannigfaltigkeit am Punkt   anschmiegt. Beispielsweise kann die Spur der Parameterkurve bei einer Mannigfaltigkeit mit äußerer Krümmung unmöglich ein Geradenstück sein, weil sie per se innerhalb der Mannigfaltigkeit verlaufen muss.

Einseitige RichtungsableitungenBearbeiten

Die einseitigen Richtungsableitungen von   in Richtung   sind definiert durch

 
 

Die Richtungsableitung in Richtung   existiert genau dann, wenn die beiden einseitigen Richtungsableitungen   und   übereinstimmen. In diesem Fall gilt

 

Ableitung in normierte RichtungenBearbeiten

Einige Autoren[1] definieren die Richtungsableitung nur in Richtung normierter Vektoren:

 

Für Richtungen   auf der Einheitssphäre   stimmen diese beiden Definition überein. Andernfalls unterscheiden sich die beiden Definitionen durch den Faktor  . Während die obige Definition für alle Richtungen definiert ist, ist die Ableitung in normierte Richtungen nur für   definiert.

Besonders in den Anwendungen kann es sinnvoll sein, mit dem normierten Richtungsvektor   zu rechnen; damit ist gewährleistet, dass die Richtungsableitung nur mehr von der Richtung, aber nicht vom Betrag von   abhängt.

SchreibweisenBearbeiten

Statt   sind auch die Schreibweisen

 ,    ,       und  

üblich, um unter anderem Verwechslungen mit den kovarianten Ableitungen der Differentialgeometrie zu vermeiden.

Ist   total differenzierbar, so kann die Richtungsableitung mit Hilfe der totalen Ableitung dargestellt werden (siehe den Abschnitt Eigenschaften). Schreibweisen dafür sind

 ,    ,    ,       und  .

EigenschaftenBearbeiten

  • Wählt man als Richtungsvektor   die Koordinateneinheitsvektoren  , so erhält man die partiellen Ableitungen von   im jeweiligen Punkt  :
     
  • Die einseitige Richtungsableitung ist als Funktion von   positiv homogen, das heißt für alle positiven   gilt:
     
  • Falls   in   total differenzierbar ist, so ist die Richtungsableitung als Funktion von   sogar linear und kann durch den Gradienten   von   ausgedrückt werden:
     

BeispieleBearbeiten

Eindimensionale BetragsfunktionBearbeiten

 
Absolutbetrag=seine Richtungsableitung in 0

Im eindimensionalen Fall gibt es nur zwei mögliche Richtungen, nämlich nach links bzw. nach rechts. Die Richtungsableitungen entsprechen also den üblichen einseitigen Ableitungen. Die Ableitungen in beide Richtungen dürfen verschiedene Werte annehmen, das bedeutet anschaulich, dass die Funktion einen Knick haben kann. Ein einfaches Beispiel hierfür ist die Betragsfunktion. Sie ist in   zwar nicht differenzierbar, aber die einseitige Richtungsableitung existiert:

  für  

und

  für  

Der Absolutbetrag ist also gleich seiner einseitigen Richtungsableitung in 0 als Funktion von  .

Normalenableitung auf GebietenBearbeiten

Ist     ein glatt berandetes Gebiet mit einem äußeren Normalenvektorfeld   und  , dann ist

 

die Normalenableitung von   auf dem Rand von  . Objekte dieser Art treten beispielsweise bei partiellen Differentialgleichungen mit Neumann-Randbedingungen auf.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Richtungsableitung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Springer Verlag 2008, ISBN 978-3-8348-0225-5, S. 66.