Auswahlaxiom

Axiom der Mengenlehre

Das Auswahlaxiom ist ein Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Es wurde erstmals von Ernst Zermelo 1904 formuliert. Anschaulich besagt es, dass man aus jeder nichtleeren Menge einer beliebigen Ansammlung ein Element „auswählen“ kann.

Aus jeder Vase lässt sich eine Murmel auswählen – auch bei unendlich vielen Vasen

Für endliche Mengen kann man das auch ohne dieses Axiom folgern, daher ist das Auswahlaxiom nur für unendliche Mengen interessant.

Auswahlfunktion Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Sei   eine Menge nichtleerer Mengen. Dann heißt

 

eine Auswahlfunktion für  , falls jedem Element   ein Element   zugeordnet wird. F wählt also aus jeder Menge   in   genau ein Element aus.

Beispiele Bearbeiten

  • Sei  . Die auf   durch
 
definierte Funktion   ist eine Auswahlfunktion für  .
  • Für eine endliche Menge   von nichtleeren Mengen ist es trivial, eine Auswahlfunktion anzugeben: Man wählt aus jeder Menge irgendein bestimmtes Element aus, was problemlos möglich ist: Dazu braucht man das Auswahlaxiom nicht. Ein formaler Beweis würde Induktion über die Größe der endlichen Menge verwenden.
  • Für die Potenzmenge der natürlichen Zahlen ist eine Auswahlfunktion   gegeben durch das Minimum der Menge, also  . Die Existenz eines Minimums ist aufgrund der Wohlordnung der natürlichen Zahlen gegeben.
  • Für die Menge beschränkter reeller Intervalle ist eine Auswahlfunktion gegeben, indem man auf den Mittelpunkt abbildet.

Auswahlaxiom und äquivalente Formulierungen Bearbeiten

Motivation Bearbeiten

Im Allgemeinen ist es nicht möglich, zu jeder Menge eine Auswahlfunktion anzugeben. Für welche Fälle das Auswahlaxiom relevant ist, sei an den folgenden Beispielen verdeutlicht:

  • Man kann schon für eine allgemeine abzählbare Menge von zweielementigen Mengen in ZF (nicht ZFC, d. h. ohne das Auswahlaxiom) die Existenz einer Auswahlfunktion nicht beweisen.
  • Dasselbe gilt etwa für die Existenz einer Auswahlfunktion für die Menge aller nichtleeren Teilmengen der reellen Zahlen.

Aussage Bearbeiten

Das Auswahlaxiom lautet dann: Für jede Menge nichtleerer Mengen gibt es eine Auswahlfunktion. Äquivalente Formulierungen sind:

  • Die Potenzmenge einer beliebigen Menge ohne die leere Menge hat eine Auswahlfunktion (Zermelo 1904).
  • Sei   eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen. Dann gibt es eine Menge  , die mit jedem   genau ein gemeinsames Element hat (Zermelo 1907, ZF).
  • Sei   eine beliebige Indexmenge und   eine Familie von nichtleeren Mengen  , dann existiert eine Funktion   mit Definitionsbereich  , die jedem   ein Element von   zuordnet:  .
  • Sind   und   Mengen und   eine Relation zwischen   und  , so folgt aus  , dass  .

Zum Auswahlaxiom äquivalente Sätze Bearbeiten

Setzt man die ZF-Axiome voraus, dann gibt es eine Vielzahl an wichtigen Sätzen, die zum Auswahlaxiom äquivalent sind. Die wichtigsten darunter sind das Lemma von Zorn und der Wohlordnungssatz. Zermelo führte das Auswahlaxiom ein, um den Beweis des Wohlordnungssatzes zu formalisieren. Die Namen Lemma und Satz rühren daher, dass diese Formulierungen nicht so unmittelbar einsichtig erscheinen wie das Auswahlaxiom selbst.

  • Mengenlehre
    • Wohlordnungssatz: Jede Menge kann wohlgeordnet werden.
    • Wenn   eine unendliche Menge ist, dann haben   und   die gleiche Kardinalität.
    • Trichotomie: Zwei Mengen haben entweder gleiche Kardinalität oder eine der beiden Mengen hat eine kleinere Kardinalität als die andere. Die Äquivalenz wurde von Friedrich Hartogs 1915 bewiesen.[1]
    • Das kartesische Produkt einer Familie von nichtleeren Mengen ist nichtleer.
    • Satz von König: Vereinfacht formuliert ist die Summe einer Folge von Kardinalzahlen echt kleiner als das Produkt einer Folge von größeren Kardinalzahlen.
    • Jede surjektive Funktion hat ein Rechtsinverses.
    • Lemma von Teichmüller-Tukey: Eine nichtleere Menge von endlichem Charakter hat bezüglich der Mengeninklusion ein maximales Element.
  • Ordnungstheorie
    • Lemma von Zorn: Jede nichtleere halbgeordnete Menge, in der jede Kette (d. h. jede total geordnete Teilmenge) eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element.
    • Hausdorffs Maximalkettensatz: In einer geordneten Menge kann jede Kette zu einer maximalen Kette erweitert werden.
    • Hausdorffs Maximalkettensatz (abgeschwächt): In einer geordneten Menge existiert mindestens eine maximale Kette.

Kontroversen und Diskussion in der Philosophie Bearbeiten

Kurt Gödel zeigte 1938, dass das Auswahlaxiom im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre keinen Widerspruch ergibt, wenn man die Widerspruchsfreiheit aller übrigen Axiome annimmt.[3] Zudem zeigte Paul Cohen 1963 (und folgend 1964 und 1966), dass auch die Negation des Auswahlaxioms nicht zu einem Widerspruch führt.[4] Beide Annahmen sind also vom formalistischen Standpunkt aus akzeptabel.

Das Auswahlaxiom gehörte zu den kontroversesten Axiomen der Mengenlehre. Es postuliert die Existenz einer Auswahlfunktion, ohne ein Verfahren anzugeben, wie man eine solche konstruieren könnte. Man spricht in diesem Fall von einer schwachen Existenzaussage. Daher wird das Axiom von Konstruktivisten immer wieder als unintuitiv kritisiert. Aus der Maßtheorie alleine seien folgende häufig kontrainuitiv empfundenen Ergebnisse genannt:[5]

  • Der Satz von Vitali besagt, dass nicht jede Teilmenge der reellen Zahlen Lebesgue-messbar ist. Im Beweis wird das Auswahlaxiom verwendet. Robert M. Solovay konnte 1979 sogar innerhalb von ZF und unter Voraussetzung der Existenz einer unerreichbaren Kardinalzahl ein Modell angeben, wo jede Teilmenge der reellen Zahlen messbar ist. Damit ist auch der Beweis erbracht, dass das Auswahlaxiom für den Satz von Vitali notwendig ist.[6]
  • Auf den vorherigen Punkt aufbauend, ließen sich weitere paradox anmutende Ergebnisse der Maßtheorie konstruieren, wie etwa das Banach-Tarski-Paradoxon.

Einige Physiker wie John Baez sind daher der Meinung, dass ZFC das Kontinuum nur unzureichend modelliere. Es gebe „in jeder größeren physikalischen Theorie schwierige, mathematische Probleme, wenn man die Raumzeit als Kontinuum modelliert.“[7] Dies führt zur Fragestellung, ob sich Sätze, für deren Beweis üblicherweise das Auswahlaxiom verwendet wird, wie der Satz von Hahn-Banach, so abschwächen lassen, dass sie ohne Auswahlaxiom bewiesen werden können, aber dennoch alle wichtigen Anwendungen der Physik abdecken.

Trotzdem wird das Auswahlaxiom von der großen Mehrheit akzeptiert, vor allem wegen der vielen zum Auswahlaxiom äquivalenten Aussagen. In vielen Zweigen der Mathematik, darunter auch neueren wie der Nichtstandardanalysis, führt es zu besonders ästhetischen Ergebnissen. Da aber auch unintuitive oder unerwünschte Aussagen folgerbar sind, unterstellt Horst Herrlich dem Auswahlaxiom eine „janusköpfige Natur“.[8]

Abwandlungen Bearbeiten

Schwächere Aussagen Bearbeiten

Gelegentlich werden auch Abschwächungen des Auswahlaxioms diskutiert. Beispielsweise:

  • das abzählbare Auswahlaxiom (CC, für countable choice, auch bezeichnet mit ACω oder ACN), das besagt, dass eine Auswahlfunktion existiert, wenn die Mengenfamilie abzählbar ist,
  • das Axiom der abhängigen Auswahl (DC, für dependent choice), das – den Funktionsbegriff verallgemeinernd – eine Aussage über eine Relation trifft.
  • unique choice/non-choice: Sind   und   Mengen und   eine Relation zwischen   und  , so folgt aus  , dass  . In populären Formalisierungen der Mathematik ist dies eine Trivialität (Funktionen sind einfach Relationen mit der im Antezedens genannten Eigenschaft), in allgemeineren Kontexten handelt es sich jedoch um eine nichttriviale Aussage.

Stärkere Aussagen Bearbeiten

Das Auswahlaxiom folgt, wie Wacław Sierpiński 1947 bewies, aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese.[1] Auch das von Gödel formulierte Konstruierbarkeitsaxiom ist stärker als das Auswahlaxiom.

Innerhalb von Klassentheorien, wie etwa der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre, lässt sich das Auswahlaxiom auch auf Klassen ausdehnen.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. a b Leonard Gillman: Two Classical Surprises Concerning the Axiom of Choice and the Continuum Hypothesis. In: American Mathematical Monthly. Band 109, Juni–Juli 2002, S. 544–553, hier S. 544 (maa.org [PDF; 119 kB]).
  2. Andreas Blass: Existence of bases implies the axiom of choice. In: Contemporary Mathematics. Band 31: Axiomatic set theory. 1984, ISBN 0-8218-5026-1, S. 31–33, doi:10.1090/conm/031/763890 (umich.edu [PDF; 182 kB]).
  3. Kurt Gödel: The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis. In: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. Band 24, 1938, ISSN 0027-8424, S. 556–557, doi:10.1073/pnas.24.12.556 (pnas.org [PDF; 257 kB]).
  4. Paul Joseph Cohen: The independence of the continuum hypothesis. In: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. Band 50, Nr. 6, Dezember 1963, S. 1143–1148, doi:10.1073/pnas.50.6.1143, PMID 16578557, PMC 221287 (freier Volltext), bibcode:1963PNAS...50.1143C (englisch).
    Paul Joseph Cohen: The independence of the continuum hypothesis, II. In: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. Band 51, Nr. 1, Januar 1964, S. 105–110, doi:10.1073/pnas.51.1.105, PMID 16591132, PMC 300611 (freier Volltext), bibcode:1964PNAS...51..105C (englisch).
    Paul Cohen: Set Theory and the Continuum Hypothesis. W. A. Benjamin, New York 1966, OCLC 291078 (englisch, Scan der Neuauflage, Courier Corporation, 2008 in der Google-Buchsuche ).
  5. Eine längere Übersicht an „Pro und Kontra“ findet man u. a. in Horst Herrlich: Axiom of Choice. Springer Lecture Notes in Mathematics, 1876. Springer Verlag, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30989-6, Kap.: Disasters without Choice, S. 43–141, doi:10.1007/11601562.
  6. Robert M. Solovay: A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. In: Annals of Mathematics. Series 2, Band 92. 1970, S. 1–56, doi:10.2307/1970696, JSTOR:1970696.
  7. We have seen that in every major theory of physics, challenging mathematical questions arise from the assumption that spacetime is a continuum. Zitiert in John Baez: Struggles with the Continuum. 2020, doi:10.48550/arXiv.1609.01421, arxiv:1609.01421 [math-ph], Kap. 6: Conclusions, S. 35.
  8. Janus-faced nature, zitiert in Horst Herrlich: Axiom of Choice. Springer Lecture Notes in Mathematics, 1876. Springer Verlag, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30989-6, S. 137, doi:10.1007/11601562.