Hilfssatz

mathematische oder logische Aussage

Ein Hilfssatz oder Lemma (altgriechisch λῆμμα lēmma ‚Einnahme‘, ‚Annahme‘; Plural: „Lemmata“)[1] ist eine mathematische oder logische Aussage, die im Beweis eines Satzes verwendet wird, der aber selbst nicht der Rang eines Satzes eingeräumt wird. Die Unterscheidung von Sätzen und Lemmata ist fließend und nicht objektiv. Der Begriff „Lemma“ lässt sich auch mit „Stichwort“ oder auch „Hauptgedanke“ übersetzen. Dies signalisiert, dass es sich um einen Schlüsselgedanken handelt, der in vielen Situationen nützlich ist.[2]

BeispieleBearbeiten

Berühmte LemmataBearbeiten

Lemmata tragen häufig die Namen ihres Entdeckers. Beispiele hierfür sind:

Weitere Beispiele finden sich in der Liste mathematischer Sätze.

Beispiel für die Nutzung eines LemmasBearbeiten

Man kann beispielsweise zeigen, dass   irrational ist (als Satz), wenn man voraussetzen kann, dass Quadrate gerader Zahlen wieder gerade sind, Quadrate ungerader Zahlen jedoch stets ungerade Zahlen ergeben (diese Aussage entspräche dem Lemma). Um strukturierter vorzugehen, beweist man die beiden Tatsachen einzeln, wobei die Tatsache des Hilfssatzes (des Lemmas) später auf weitere Fälle oder Beweise angewendet werden kann, wohingegen der „Satz“ eine spezielle Aussage liefert.

Um das vorangegangene Beispiel umzusetzen, ginge man (zum Beispiel in einer Vorlesung) folgendermaßen vor.

Lemma: Quadrate gerader und ungerader ganzer Zahlen sind stets gerade bzw. ungerade.

Beweis: Sei   vorgegeben. Zu zeigen ist, dass   der entsprechenden Behauptung genügt, d. h. wenn   (gerade) bzw.   (ungerade) für ein   ist, dann ist   gerade bzw. ungerade.

Beide Fälle werden separat behandelt. Im ersten Fall ( ) hat man   (gemäß den Potenzrechenregeln)  , also eine gerade Zahl. Im anderen Fall ( ) ergibt sich   (nach Binomischer Formel)  , also eine ungerade Zahl.

Satz:   ist irrational, also gilt  .

Beweis: Die behauptete Aussage wird bewiesen, indem die Annahme, das Gegenteil sei richtig, zum Widerspruch geführt wird (Widerspruchsbeweis).

Es wird angenommen, es gelte  . Dann gibt es zueinander teilerfremde   und   mit  . Quadriert man diese Gleichung und multipliziert beide Seiten mit  , erhält man  . Weil die linke Seite gerade ist, ist auch die rechte gerade. Nach dem vorausgegangenen Lemma ist dann auch   gerade (denn wäre   ungerade, wäre   ungerade) und es gibt ein   mit  . Aus der Gleichung folgt  , woraus man erkennt, dass   und damit auch   (wieder wegen des Lemmas) gerade sind. Dies widerspricht der Annahme, dass   und   teilerfremd gewählt worden sind. Damit ist die Annahme,   sei rational, falsch und der Satz ist bewiesen.

Beim Beweis wurde zweimal das vorausgehende Lemma benutzt.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wilhelm Pape: Handwörterbuch der griechischen Sprache. Braunschweig, 1914, Band 2, S. 39, Stichwort λῆμμα. (bei zeno.org)
  2. Albrecht Beutelspacher: Das ist o.B.d.A. trivial! 2. Auflage. Vieweg Verlag, Wiesbaden 1992, ISBN 3-528-16442-5, S. 13 f.

WeblinksBearbeiten