Satz von König (Mengenlehre)

Der Satz von König ist ein Satz aus der Mengenlehre, der von dem ungarischen Mathematiker Julius König 1905 entdeckt wurde. Der Satz ist eine strikte Ungleichung zwischen zwei Kardinalzahlen.

AussageBearbeiten

Für eine Familie   von Kardinalzahlen ist die Summe dieser Kardinalzahlen die Mächtigkeit der disjunkten Vereinigung von Mengen der Mächtigkeit  ,

 

und das Produkt die Mächtigkeit des kartesischen Produkts,

 

Hierbei sind die   paarweise disjunkte Mengen mit  , zum Beispiel  . Die Wohldefiniertheit beider Operationen folgt aus dem Auswahlaxiom.

Der Satz von König besagt nun:

Für zwei Kardinalzahlfolgen   und   mit   für alle   gilt:

 .

BeweisBearbeiten

Seien  ,   zwei Familien von paarweise disjunkten Mengen mit  . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man annehmen, dass  . Es ist zu zeigen: Es gibt eine injektive, aber keine bijektive Abbildung

 

Für jedes   sei   ein Element aus  . Sei  . Dann gibt es ein eindeutiges   mit  . Sei   die Funktion mit

 .

Dann ist   injektiv.

Sei nun eine beliebige solche Abbildung   gegeben. Für   definiere   als ein Element aus  . Dann ist   an der Stelle   verschieden von allen Bildern von   aus  . Da dies für alle   gilt, ist   nicht surjektiv und damit nicht bijektiv.

FolgerungenBearbeiten

Aus dem Satz von König lassen sich weitere Ungleichungen unmittelbar herleiten (  und   seien Kardinalzahlen):

  • Bezeichnet   die Konfinalität von  , so gilt für   unendlich  .
  • für   und   unendlich  .

LiteraturBearbeiten

  • Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
  • König, Julius: Zum Kontinuumsproblem, Mathematische Annalen 60 (1905), 177–180.