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Wohldefiniertheit bezeichnet in der Mathematik und Informatik die Eigenschaft eines Objekts, eindeutig definiert zu sein. Der Begriff findet vor allem dann Anwendung, wenn die Möglichkeit besteht, dass das Objekt ansonsten mehrdeutig ist.

Ein wohldefinierter Ausdruck liefert definitionsgemäß genau einen Wert, bzw. eine Interpretationsmöglichkeit.

In einem erweiternden Sinn wird dieser Begriff mitunter verwendet, um auszusagen, dass ein Objekt widerspruchsfrei, d. h. formal korrekt definiert ist.

Die Fragestellung, ob ein Objekt wohldefiniert ist, ergibt sich häufig in der Mathematik dadurch, dass ein Objekt nicht nur durch eine Definitionsgleichung (explizit), sondern auch durch eine charakteristische Eigenschaft (implizit) definiert werden kann. Insbesondere bei Funktionen oder Verknüpfungen kommt es vor, dass sie nur »implizit definiert« werden können. Dies geschieht dadurch, dass zunächst eine Relation (als Untermenge eines kartesischen Produkts) mit derselben Anzahl von Stellen (explizit) definiert wird. Von dieser Relation wird ausdrücklich behauptet, dass sie von einem spezifischen Typ, bspw. Funktion oder Verknüpfung, ist. Die gesamte »Definition« ist jedoch erst dann vollständig und gültig, wenn ein Beweis für die Behauptung erbracht ist. Man sagt dann: das Objekt oder der Begriff ist (als dieser spezifische Typ) wohldefiniert. Andernfalls spricht man von Mehrdeutigkeit u. Ä., und das mathematische Objekt bleibt undefiniert.

Einfache BeispieleBearbeiten

Analogie

1. Die Definition einer Ziegenart A laute:

"Säugetier mit Hörnern, mit Eigenschaft A".

Diese Ziegenart A ist als Ziegenart nicht wohldefiniert, weil es auch andere Säugetiere mit Hörnern gibt, die möglicherweise Eigenschaft A besitzen.

Wenn wir jedoch nachweisen, dass Eigenschaft A ausschließlich bei Ziegen auftritt, so ist die Ziegenart A wohldefiniert, weil es dann genau eine Art von Säugetieren geben kann, die Eigenschaft A erfüllen und die Definition damit eindeutig ist.

Mathematik

  1. „Für alle   ist   »definiert« als diejenige Zahl  , für die gilt  .“
  2. „Für alle   ist   »definiert« als diejenige Zahl  , für die gilt  .“
  3. „Für alle   ist   »definiert« als diejenige Zahl  , für die gilt  .“

Dabei soll es sich um die »Definition« von Funktionen   handeln mit angegebener Definitions- und Wertemenge.

Zu 1: Zu jeder Zahl   in der Definitionsmenge   existiert eine (Linkstotalität) und nur eine (Rechtseindeutigkeit) Zahl   in der Wertemenge   mit der Eigenschaft  . (Die Quadratfunktion von   nach   ist bijektiv.) Die Funktion   ist also wohldefiniert.   ist die Quadratwurzelfunktion.
Zu 2: Die zweistellige Relation   ist nicht linkstotal. Denn   ist  , damit Element der linken Menge, die die Definitionsmenge darstellen soll. Es gibt aber kein  , der rechten Menge, mit  . Die Existenz ist verletzt. Also ist   (als Funktion) nicht wohldefiniert und keine Funktion.
Zu 3: Die zweistellige Relation   ist nicht rechtseindeutig. Denn es gilt   für zwei verschiedene Elemente   aus der rechten Menge  , die die Wertemenge darstellen soll. Die Eindeutigkeit ist verletzt. Also ist   (als Funktion) nicht wohldefiniert.

Definition ohne VorgriffBearbeiten

Die Anführungszeichen bei »definiert« und »Definition« lassen sich vermeiden, wenn man darauf verzichtet, sofort eine Funktion zu definieren. Stattdessen definiert man in einem ersten Schritt nur eine zweistellige Relation – was immer geht. (So geschehen in den Bemerkungen zu den einfachen Beispielen 2 und 3.)

In einem zweiten Schritt weist man nach, dass die so definierte zweistellige Relation die Eigenschaften Linkstotalität und Rechtseindeutigkeit hat, also eine Funktion ist.[1] Dieser zweite Schritt entspricht genau dem üblichen Überprüfen der Wohldefiniertheit.

Dieselben mathematischen Objekte können also auch ohne den Begriff »wohldefiniert« gebildet werden, womit dieser Begriff sich als in der Mathematik entbehrlich herausstellt.

Gleichwohl ist die Vorwegnahme der Funktionseigenschaft in der »Definition« gängige Praxis, vor allem, weil damit das Objekt der Definition sofort als Funktion bekannt gemacht wird. Und da der Zweck einer »Definition« nicht ihr Misslingen ist, kommt in mathematischen Texten eine Nicht-Wohldefiniertheit nicht vor.

RepräsentantenunabhängigkeitBearbeiten

In der Literatur findet sich häufig die Definition von Wohldefiniertheit als Repräsentantenunabhängigkeit.[2] Vereinzelt wird ausdrücklich darauf hingewiesen, dass es keine darüber hinausgehende Bedeutung gibt.[3]

Typischerweise ist die Frage nach der Wohldefiniertheit einer Funktion dann zu stellen, wenn die die Funktion definierende Gleichung nicht (nur) auf die Argumente selbst, sondern (auch) auf Elemente der Argumente Bezug nimmt. Dies ist gelegentlich unvermeidlich, wenn die Argumente Äquivalenzklassen sind. Ein Element einer Äquivalenzklasse wird Repräsentant genannt, und auf einen solchen wird Bezug genommen.

Dies soll an einem Beispiel erläutert werden. Jede rationale Zahl lässt sich als Bruch aus zwei ganzen Zahlen, dem Zähler und dem Nenner, schreiben. »Definieren« wir also   als »Funktion«, die jeder rationalen Zahl ihren Zähler zuordnet.

Nun gilt  , also hätte zu gelten  , ein Widerspruch! Die »Definition« von   kann also nicht in Ordnung sein. Die »Definition« von   ist nicht wohldefiniert. Sehen wir uns dazu die »Definition« von   genauer an: Der Bruch   steht für die Äquivalenzklasse   aller Paare  , für die   gilt. Die Definition von   müsste also genauer lauten: Für alle rationalen Zahlen   ist   »definiert« als derjenige Wert   für den es ein   gibt mit  . Die Äquivalenzklasse   ist Argument von   Bezug genommen wird auf den Repräsentanten   Nun stellt sich heraus, dass es mehrere solcher   gibt – für   sind dies zum Beispiel   oder     ist nicht wohldefiniert und die »Definition« ist keine.

Hat ein Element   also mehrere Darstellungen (im Beispiel:  ,  ,  , …), dann muss eine Funktion   diesem Element einen Wert   zuordnen, der von der Darstellung von   unabhängig ist. Die »Definition«   zum Beispiel erfüllt diese Bedingung.

Für die folgenden zwei mathematischen Konzepte muss die Repräsentantenunabhängigkeit nachgewiesen werden:

Induzierte AbbildungenBearbeiten

Definition der induzierten AbbildungBearbeiten

Gegeben seien zwei Mengen   und   sowie Äquivalenzrelationen   auf   und   auf  . Mit   sei die Äquivalenzklasse   des Elements   bezüglich   bezeichnet und entsprechend mit   die Äquivalenzklasse des Elements   bezüglich  . Die Menge der Äquivalenzklassen   heißt Faktormenge von   (nach der Äquivalenzrelation  ).

Hat man nun eine Funktion (oder Abbildung)   gegeben, so lässt sich stets eine (zweistellige) Relation   auf dem Paar

     
der Faktormengen gemäß der Vorschrift
 
           

definieren. Diese Definition ist als Definition einer Relation gültig und vollwertig. Ihr Zweck ist aber (meist) die Definition einer Abbildung. So wird   auch schon die von   induzierte Abbildung genannt, obwohl die Verwendung des Begriffs Abbildung genaugenommen einen Vorgriff auf die noch unbewiesene Wohldefiniertheit darstellt.

Wohldefiniertheit einer induzierten AbbildungBearbeiten

Zunächst ist   nämlich nur eine zweistellige Relation  , die genau dann die (restlichen) Forderungen an die (ebenfalls zweistellige Relation der) Funktion oder Abbildung erfüllt, wenn es zu jedem Argumentwert   nur einen (einzigen) Funktionswert   gibt. Hierfür muss gelten:

 .

Genau dann, wenn diese (Repräsentantenunabhängigkeit genannte) Forderung erfüllt ist, wird die induzierte „Abbildung“   wohldefiniert genannt und ist nicht nur eine Relation, sondern wirklich eine Abbildung.

Beispiele für induzierte AbbildungenBearbeiten

  • Sei   und  . Als Äquivalenzrelation   wählen wir die „Äquivalenz modulo 3“, d. h., es gelte
 
Die Äquivalenzrelation   sei die gewöhnliche Gleichheit, also  , falls  . (Eine Äquivalenzklasse besteht somit aus genau einem Element.)
Als Funktion wählen wir
 
Die induzierte »Abbildung« ist dann
 
Es gilt nun  , obwohl  . In diesem Fall ist also die »induzierte Abbildung«   nicht wohldefiniert und keine Abbildung.
  • Sei  . Die Äquivalenzrelation   sei erklärt durch
 
und   sei wieder die gewöhnliche Gleichheit. Der reelle Kosinus induziert nun die Abbildung
 .
Diese Abbildung ist wohldefiniert, wie man folgendermaßen zeigt: Seien   mit der Eigenschaft  . Gemäß der Definition von   existiert nun ein   mit  , und deshalb folgt  , wobei wir die Tatsache verwendet haben, dass der Kosinus eine Periode von   besitzt.

Induzierte VerknüpfungBearbeiten

Definition der induzierten VerknüpfungBearbeiten

Sei   eine nichtleere Menge mit einer Äquivalenzrelation   und einer inneren Verknüpfung   . Mithilfe   kann man auf der zugehörigen Faktorstruktur die dreistellige Relation

 

definieren. Im Vorgriff auf die noch zu beweisende Wohldefiniertheit wird   die durch   auf der Faktorstruktur induzierte Verknüpfung genannt.

Wohldefiniertheit für induzierte VerknüpfungenBearbeiten

Damit diese Relation wirklich eine Verknüpfung ist, darf das Ergebnis nicht von der Wahl des Repräsentanten in einer Klasse abhängen. Das heißt, es muss für alle   mit der Eigenschaft   gelten:

 

Ist dies der Fall, ist die induzierte Verknüpfung   eine (wirkliche) Verknüpfung (der man die Eigenschaft der Wohldefiniertheit zuspricht).

Beispiele für induzierte VerknüpfungenBearbeiten

  • Die Verknüpfung  , gegeben durch  , ist nicht wohldefiniert: Es gilt [5] = [2] und [3] = [6], aber
 .
  • Betrachte die symmetrische Gruppe   und darin die Untergruppe  . Die auf der Faktormenge   induzierte Verknüpfung ist nicht wohldefiniert. Es ist   und selbstverständlich   aber
 
  • Die Addition und die Multiplikation in einem Restklassenring     sind wohldefiniert. Die Restklassen-Addition ist gerade die von der Addition in   und dem Normalteiler   induzierte Verknüpfung.
  • Ist   ein Normalteiler der Gruppe  , dann ist die auf   induzierte Verknüpfung wohldefiniert, und   heißt Faktorgruppe von   nach  . Die Eigenschaft, Normalteiler zu sein, ist sogar äquivalent dazu, dass die induzierte Verknüpfung auf der Faktormenge   wohldefiniert ist. Denn seien   und   beliebig. Für die Wohldefiniertheit der induzierten Gruppenverknüpfung auf den Linksnebenklassen muss gelten:
 
also  . Dies entspricht aber der Definition 2 des Normalteilers. Dasselbe Ergebnis erhält man bei den Rechtsnebenklassen.

Wohldefiniertheit in der mathematischen NotationBearbeiten

Für reelle Zahlen gilt die Schreibweise   für das Produkt   als wohldefiniert, da die Multiplikation das Assoziativgesetz erfüllt. Im Einklang mit der restlichen mathematischen Notation ist sie eindeutig, weil das Produkt   für drei reelle Zahlen   immer einen eindeutigen Wert liefert.

Dies gilt auch für die in der Multiplikation nicht kommutativen Quaternionen.

Die Subtraktion ist nicht assoziativ. Dennoch gilt   mithilfe der Darstellung   als wohldefiniert.

Für reelle Zahlen   und   ist die Schreibweise   für den Quotienten   wohldefiniert. Für die in der Multiplikation nicht kommutativen Quaternionen gilt diese Notation als nicht wohldefiniert.

ProgrammiersprachenBearbeiten

Bei Notationen mit Operatoren in Mathematik und Informatik lässt sich jedoch durch zusätzliche Regeln für Operatorrangfolge- und Assoziativität auch ohne Klammerung meistens Eindeutigkeit erzielen.

In der Programmiersprache C ist beispielsweise der Subtraktionsoperator - linksassoziativ, d. h. er wird von links nach rechts ausgewertet: a-b-c = (a-b)-c. Der Zuweisungsoperator = ist jedoch rechtsassoziativ, d. h. a=b=c = a=(b=c).

In der Programmiersprache APL gibt es nur eine Rangfolgeregel: Zuerst werden die Klammern, dann der Rest von rechts nach links abgearbeitet.

Vollständigkeit und WiderspruchsfreiheitBearbeiten

In einem weiteren Sinn wird Wohldefiniertheit auch auf andere Bereiche ausgedehnt. Sie bezeichnet dann eine sinnvolle und widerspruchsfreie Definition. Synonym für „nicht wohldefiniert“ in diesem Sinn werden auch „nicht definiert“ oder „nicht vollständig definiert“ gebraucht.

Definitionsbereich einer FunktionBearbeiten

Im Definitionsbereich der Abbildung   darf die Null nicht im Definitionsbereich enthalten sein, da sie für   den Wert   liefert. Durch Null zu teilen ist in den reellen Zahlen allerdings nicht erklärt, d. h. es gibt keine reelle Zahl „ “. (In einem erweiterten Sinne könnte man zwar   setzen. Das tut dem Beispiel aber nichts, da   keine reelle Zahl ist! Zudem müsste man   und   miteinander identifizieren, da   für   gegen   divergiert.)

Ebenso ist es in den reellen Zahlen nicht erklärt, die Quadratwurzel aus negativen Zahlen zu ziehen. Anders gesagt ist die „Funktion“   nicht wohldefiniert, die Funktion   hingegen schon.

Wertebereich einer FunktionBearbeiten

Schreibt man die Formel   als „Funktion“  , so wird dem Wert   zwar der Wert   zugeordnet. Das ist in diesem Fall aber nicht zulässig, da   keine natürliche Zahl ist und somit nicht im Wertebereich liegt.

Verknüpfungen bei GruppenBearbeiten

Innere Verknüpfungen einer algebraischen Struktur   (z. B. einer Gruppe) sind ebenfalls Funktionen (meist mit zwei Argumenten). Für sie gelten also dieselben Bedingungen: Die Verknüpfung von Elementen der Struktur   muss ein eindeutig bestimmtes Element von   ergeben. Hier wird oft fälschlicherweise der Ausdruck Abgeschlossenheit benutzt, welcher sich aber auf die Definition von Unterstrukturen bezieht.

Wohldefiniertheit von MengenBearbeiten

Eine Menge ist wohldefiniert, wenn das Definiens für jedes beliebige Objekt eindeutig festlegt, dass es entweder Element der Menge ist oder nicht Element der Menge ist. Insbesondere werden so gewisse Formen imprädikativer Definitionen ausgeschlossen.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Analog definiert man eine Funktion   mit   Argumenten zunächst als  -stellige Relation   und bezieht Linkstotalität und Rechtseindeutigkeit auf das Paar  .
  2. Serge Lang: Algebra. 3. Auflage. 1993, S. X (Prerequisites).
  3. Albrecht Beutelspacher: Das ist o.B.d.A trivial! Braunschweig 1997, S. 9.