Disjunkte Vereinigung

Im mathematischen Teilgebiet der Mengenlehre gibt es zwei leicht unterschiedliche Verwendungen des Begriffes disjunkte Vereinigung.

DefinitionBearbeiten

Die nachfolgende Unterscheidung entspricht genau dem Unterschied zwischen innerer und äußerer direkter Summe. Die beiden Definitionen stellen die verschiedenen Sachverhalte dar, die jedoch beide als disjunkte Vereinigung bezeichnet werden. Daher muss der Begriff abhängig von seinem Kontext verstanden werden. Die Notationen im Artikel werden in der Literatur nicht nur in dieser Art verwendet, meist letztere für ersteren Umstand.

Vereinigung disjunkter MengenBearbeiten

Eine Menge   ist die disjunkte Vereinigung eines Systems   von Teilmengen  , geschrieben

 

wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

  •   falls  ,   das heißt also, die   sind paarweise disjunkt;
  •  ,   das heißt,   ist die Vereinigung aller Mengen  .

Disjunkte Vereinigung beliebiger MengenBearbeiten

Sind Mengen   für   gegeben, so heißt die Menge

 

die disjunkte Vereinigung der Mengen  . Sie ist in etwa eine Vereinigung, bei der die Mengen vorher künstlich disjunkt gemacht werden.

EigenschaftenBearbeiten

  • Für die Mächtigkeiten gilt:  . In der Kardinalzahlarithmetik ist die Summe gerade durch diese Beziehung definiert.
  • Die disjunkte Vereinigung   ist das kategorielle Koprodukt in der Kategorie der Mengen. Das bedeutet: Abbildungen   entsprechen eineindeutig Systemen von Abbildungen   mit  .
  • Sind die Mengen   disjunkt, so ist die kanonische Abbildung   bijektiv.

BeispieleBearbeiten

Beispiel der Vereinigung disjunkter MengenBearbeiten

Disjunkte Vereinigung von   und  .

  •   Beide Mengen sind disjunkt
  •  
  •   ist die disjunkte Vereinigung der Mengen   und   
  • Die Mengen   und   bilden hierbei eine Partition der Menge  
  • Die disjunkte Vereinigung   im zweiten Sinn liefert die Paarmenge  . Die Projektion   bildet   bijektiv auf   ab.

Beispiel einer disjunkten Vereinigung beliebiger MengenBearbeiten

Disjunkte Vereinigung von   und  .

  •  
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