Uniformer Raum

Verallgemeinerung metrischer Räume in der Topologie

Uniforme Räume sind im Teilgebiet Topologie der Mathematik Verallgemeinerungen metrischer Räume. Jeder metrische Raum kann auf natürliche Weise als uniformer Raum betrachtet werden, und jeder uniforme Raum kann auf natürliche Weise als topologischer Raum betrachtet werden.

Ein uniformer Raum ist eine Menge mit einer sogenannten uniformen Struktur, die eine Topologie auf der Menge definiert, zusätzlich aber erlaubt, Umgebungen an verschiedenen Punkten miteinander zu vergleichen und die aus der Theorie der metrischen Räume bekannten Begriffe wie Vollständigkeit, gleichmäßige Stetigkeit und gleichmäßige Konvergenz zu verallgemeinern und zu abstrahieren.

Das Konzept der uniformen Räume gestattet die Formalisierung der Idee, dass „ein Punkt gleich nah bei einem anderen Punkt ist, wie ein dritter Punkt bei einem vierten Punkt “, während in topologischen Räumen nur Aussagen der Form „ ist gleich nah bei wie bei ist“ gemacht werden können. Anders als bei metrischen Räumen wird dieser Vergleich hier nicht durch ein Abstandsmaß vermittelt, sondern durch eine direkte Beziehung zwischen den Umgebungsfiltern von und .

Neben metrischen Räumen induzieren auch topologische Gruppen uniforme Strukturen auf der unterliegenden Menge.

Ein topologischer Raum, zu dessen Topologie es eine uniforme Struktur gibt, die jene induziert, heißt uniformisierbarer Raum. Dieser Begriff ist äquivalent zu dem des vollständig regulären Raumes.

GeschichteBearbeiten

Bevor André Weil im Jahr 1937 die erste explizite Definition einer uniformen Struktur gab, wurden uniforme Konzepte überwiegend im Zusammenhang mit metrischen Räumen diskutiert. Nicolas Bourbaki präsentierten in ihrem Buch Topologie Générale eine Definition einer uniformen Struktur, die auf Nachbarschaften aufbaut, und John W. Tukey lieferte eine Definition, die auf uniformen Überdeckungen basiert. André Weil charakterisierte uniforme Räume mit Hilfe einer Familie von Pseudometriken.

DefinitionBearbeiten

Definition mit NachbarschaftenBearbeiten

Ein uniformer Raum   ist eine Menge   zusammen mit einer nichtleeren Familie   von Teilmengen des kartesischen Produkts  , welche die folgenden Axiome erfüllt:

  1. Alle Mengen, die zu   gehören, enthalten die Diagonale  .
  2. Falls   ist und   eine weitere Teilmenge in  , welche   enthält, so ist auch  .
  3. Falls   und   in   sind, so liegt auch   in  .
  4. Für jedes   existiert ein   mit der Eigenschaft  .
  5. Für jedes   ist auch  .

  heißt uniforme Struktur. Die Elemente von   werden Nachbarschaften genannt. Die Axiome 2, 3 und 5 lassen sich zusammenfassen als: Eine uniforme Struktur ist ein Mengenfilter über  , sodass die symmetrischen Elemente eine Filterbasis der Struktur sind.

Man schreibt  . Eine typische Nachbarschaft wird graphisch oft als ein Schlauch um die Diagonale   in   gezeichnet.   ist eine typische Umgebung von  .   ist dann eine typische Umgebung von  . Man betrachtet dann die beiden Umgebungen als gleich groß.

Definition mit gleichmäßigen ÜberdeckungenBearbeiten

Ein uniformer Raum   ist eine Menge   zusammen mit einer Familie   von Überdeckungen von  , die bezüglich der Stern-Verfeinerung einen Filter bilden. Dabei ist die Überdeckung   eine Stern-Verfeinerung der Überdeckung   (geschrieben  ), falls für jedes   ein   existiert, so dass für jedes   mit   auch   gilt. Dies reduziert sich auf folgende Axiome:

  1.   ist in  .
  2. Ist   und  , so gilt auch  
  3. Sind   und   in  , so existiert ein   in   mit   und  .

Die Elemente aus   werden gleichmäßige Überdeckungen genannt.   selbst heißt Überdeckungsstruktur.

Für einen Punkt   und eine gleichmäßige Überdeckung  , bilden die Vereinigung der Elemente von  , die   enthalten eine typische Umgebung von   der Größe  . Dieses Maß kann anschaulich gleichmäßig auf dem ganzen Raum angewandt werden.

Sei ein uniformer Raum definiert durch Nachbarschaften gegeben. Dann heißt eine Überdeckung   gleichmäßig, falls eine Nachbarschaft   existiert, so dass für jedes   ein   mit   existiert. Die so definierten gleichmäßigen Überdeckungen bilden einen uniformen Raum gemäß der zweiten Definition. Sei umgekehrt ein uniformer Raum durch gleichmäßige Überdeckungen gegeben. Dann bilden die Obermengen von  , wobei   die uniformen Überdeckungen durchläuft, die Nachbarschaften eines uniformen Raumes gemäß der ersten Definition. Diese beiden Transformationen sind zueinander invers.

Definition durch PseudometrikenBearbeiten

Uniforme Räume können weiter auch mit Hilfe von Systemen von Pseudometriken definiert werden. Dieser Ansatz, der im Artikel Pseudometrik genau beschrieben wird, erweist sich insbesondere in der Funktionalanalysis als nützlich.

Fundamentalsystem einer uniformen StrukturBearbeiten

Sei   ein Nachbarschaftssystem. Ein Teilsystem   von   heißt Fundamentalsystem von  , wenn jede Nachbarschaft aus   eine Nachbarschaft aus   enthält (das heißt, dass   eine Filterbasis von   ist).

Ein Fundamentalsystem spielt für die uniforme Struktur dieselbe Rolle, die eine Basis für die Topologie in allgemeinen topologischen Räumen spielt. Dies lässt sich so präzisieren: Bezeichne

 

die Menge der  -Nachbarschaften eines Punktes  , und sei

 .

Dann ist   eine Umgebungsbasis von   und die Vereinigung   aller Umgebungsbasen eine Basis der Topologie.

Ein Kriterium für FundamentalsystemeBearbeiten

Wie eine Basis zur Definition einer eindeutigen topologischen Struktur verwendet werden kann, so kann man mit einem Fundamentalsystem eine eindeutige uniforme Struktur definieren:

Sei   ein System von Teilmengen von   mit folgenden Eigenschaften:

  1. Jedes Element von   enthält die identische Relation.
  2. Jeder endliche Durchschnitt von Mengen aus   enthält eine Menge aus  .
  3. Für jedes Element   aus   existiert   aus   mit  .
  4. Für jedes Element   aus   existiert   aus   mit  .

Dann ist der von   erzeugte Filter   eine uniforme Struktur auf   mit   als Fundamentalsystem. (Mit   bzw.   ist die Umkehrung bzw. Verkettung im Relationensinn gemeint.)

Diese vier Eigenschaften beschreiben die Elemente von   als Klasse von binären Relationen auf  . Die erste Eigenschaft fordert die Reflexivität jeder dieser Relationen. Die zweite Eigenschaften beschreibt das Verhältnis dieser Relationen untereinander, sie lässt sich auch so formulieren:

  • Jede endliche Menge von Relationen aus   hat eine gemeinsame Verschärfung in  .

Die dritte und vierte Eigenschaft schwächen folgende Attribute von Einzelrelationen ab:

  • Sind alle Relationen aus   symmetrisch, dann ist 3. erfüllt.
  • Sind alle Relationen aus   transitiv, dann ist 4. erfüllt.

AnwendungsbeispielBearbeiten

Sei   eine Menge,   ein uniformer Raum und   die Menge der Abbildungen von   nach  . Setzt man für jede Nachbarschaft  

 ,

dann bildet die Menge der so definierten Nachbarschaften auf   ein Fundamentalsystem einer uniformen Struktur auf  . Mit dieser Konstruktion lässt sich die uniforme Struktur des Bildraums auf die volle Abbildungsmenge   und damit auch auf jede Teilmenge von   (als Unterraum) übertragen.

AnschauungBearbeiten

In metrischen Räumen werden Begriffe wie Stetigkeit und Gleichmäßigkeit gewöhnlich mit Hilfe von   und   definiert, welche die Nähe numerisch beschreiben. In topologischen Räumen wird diese Anschauung mit Hilfe von Umgebungen   eines Punktes   ausgedrückt. Dabei ersetzt der Ausdruck   die Bezeichnung  . Die  - -Definition der Stetigkeit überträgt sich dann direkt auf topologische Räume.

In uniformen Räumen ist   der Ersatz für  . Weiter kann auch die  - -Definition der gleichmäßigen Stetigkeit direkt in die entsprechende Definition in uniformen Räumen übersetzt werden.

Die uniforme Struktur erlaubt es, Nähe nicht nur, wie in allgemeinen topologischen Räumen, für jeden Punkt   einzeln zu betrachten, sondern man hat einen gleichmäßigen Begriff von Nähe zur Verfügung, der sich auf den ganzen Raum anwenden lässt.

Die Axiome für Nachbarschaften garantieren ein nichtnumerisches Maß für die Nähe. Das vierte Axiom beinhaltet sowohl die Dreiecksungleichung als auch die Möglichkeit, Mengen zu halbieren.

Die Anschauung für eine gleichmäßige Überdeckungsstruktur ist, dass verschiedene Elemente einer Überdeckung als gleich groß betrachtet werden. Die Bedeutung der Sternverfeinerung ist, dass falls   gilt, dann Mengen der Größe   halb so groß sind wie Mengen der Größe  .

Gleichmäßig stetige FunktionenBearbeiten

Eine gleichmäßig stetige Funktion ist dadurch definiert, dass Urbilder von Nachbarschaften wiederum Nachbarschaften sind, oder äquivalent, dass Urbilder von gleichmäßigen Überdeckungsstrukturen wieder gleichmäßige Überdeckungsstrukturen sind.

So wie die stetigen Funktionen zwischen topologischen Räumen die topologischen Eigenschaften erhalten, erhalten gleichmäßig stetige Funktionen die uniformen Strukturen. Ein Isomorphismus zwischen uniformen Strukturen, also eine in beiden Richtungen gleichmäßig stetige Bijektion, heißt uniformer Isomorphismus.

Topologie uniformer RäumeBearbeiten

Jede uniforme Struktur auf einer Menge   induziert auch eine Topologie auf  . Dabei ist eine Teilmenge   von   genau dann offen, wenn für jedes   in   eine Nachbarschaft   existiert, so dass   eine Teilmenge von   ist. Es ist möglich, dass verschiedene uniformen Strukturen dieselbe Topologie auf   erzeugen. Die resultierende Topologie ist eine symmetrische Topologie, d. h. der Raum ist ein R0-Raum.

Weiter ist jeder uniforme Raum ein vollständig regulärer Raum, und auf jedem vollständig regulären Raum kann eine uniforme Struktur definiert werden, welche die gegebene Topologie erzeugt.

Ein uniformer Raum   ist genau dann ein Kolmogoroff-Raum, wenn der Durchschnitt aller Nachbarschaften die Diagonale ist. In diesem Fall ist   sogar ein Tychonoff-Raum und somit insbesondere ein Hausdorff-Raum.

VollständigkeitBearbeiten

In Analogie zu vollständigen metrischen Räumen kann man auch Vollständigkeit in uniformen Räumen untersuchen. Anstelle von Cauchy-Folgen arbeitet man mit Cauchynetzen oder Cauchyfiltern.

Ein Cauchyfilter   auf einem uniformen Raum ist ein Filter  , so dass für jede Nachbarschaft   ein   mit   existiert. Ein uniformer Raum heißt vollständig, falls jeder Cauchyfilter konvergiert.

Wie bei metrischen Räumen hat jeder uniforme Raum eine Vervollständigung, das heißt, es existiert ein separierter uniformer Raum   und eine gleichmäßig stetige Abbildung  , so dass zu jeder gleichmäßig stetigen Abbildung   in einen vollständigen, separierten, uniformen Raum   eine eindeutig bestimmte gleichmäßig stetige Abbildung   mit   existiert. Ähnlich wie bei metrischen Räumen kann diese Vervollständigung über Äquivalenzklassen von Cauchyfiltern definiert werden. Dabei gilt  , falls   ein Cauchyfilter ist. Für eine Nachbarschaft   ist   eine Umgebung.

Stattdessen können auch minimale Filter bzw. runde Filter verwendet werden. Ein Filter   heißt rund, falls   impliziert, dass eine Nachbarschaft   und ein   existieren, so dass  . Jede  -Äquivalenzklasse enthält genau einen minimalen bzw. runden Filter, somit kann die Vervollständigung auf der Menge der minimalen/runden Cauchyfiltern definiert werden.

BeispieleBearbeiten

Jeder metrische Raum   besitzt eine uniforme Struktur, deren Topologie mit der von der Metrik erzeugten Topologie übereinstimmt. Dazu definiere man für jedes   die Nachbarschaft

 

und die uniforme Struktur

 

Diese Konstruktion macht die Verallgemeinerung der metrischen auf die uniformen Räume besonders augenfällig.

Beispiele aus der Theorie metrischer Räume zeigen, dass verschiedene uniforme Strukturen dieselbe Topologie erzeugen können. Sei zum Beispiel   die gewöhnliche Metrik auf   und  . Beide Metriken erzeugen die Standardtopologie auf  , die zugehörigen uniformen Strukturen sind dagegen verschieden. So ist   eine Nachbarschaft in der von   erzeugten uniformen Struktur, aber nicht für diejenige von  . Dies drückt sich dadurch aus, dass die „Identität“

 

zwar stetig aber nicht gleichmäßig stetig ist.[1]

Jede topologische Gruppe   (und damit speziell jeder topologische Vektorraum) wird zu einem uniformen Raum, wenn wir die Teilmengen   von   als Nachbarschaften definieren, die eine Menge der Form   für eine Umgebung   des neutralen Elementes von   enthalten. Die so definierte uniforme Struktur heißt rechte uniforme Struktur auf  , da für jedes   in   die Rechtsmultiplikation   gleichmäßig stetig ist. Man kann auch analog eine linke uniforme Struktur auf   definieren. Die beiden uniformen Strukturen können verschieden sein, erzeugen aber dieselbe Topologie auf  . Wenn die Topologie einer topologischen Gruppe von einer linksinvarianten Metrik erzeugt wird, dann stimmt die linksuniforme Struktur der topologischen Gruppe mit uniformen Struktur als metrischer Raum überein. Beispielsweise stimmt die uniforme Struktur von   als topologische Gruppe mit der uniformen Struktur von   als metrischer Raum (mit der Standard-Metrik) überein.

Jeder kompakte Hausdorff-Raum trägt eine eindeutige uniforme Struktur, die die gegebene Topologie induziert. Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass stetige Funktionen auf kompakten Räumen gleichmäßig stetig sind und somit jeder Homöomorphismus auch uniformer Isomorphismus ist.

AnmerkungenBearbeiten

  1. Gleichmäßige Stetigkeit von   würde bedeuten, dass
      .
    Es gilt aber:
      .
    Man nehme nur   und   .

LiteraturBearbeiten

  • Ioan M. James: Introduction to Uniform Spaces (= London Mathematical Society Lecture Note Series. Bd. 144). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1990, ISBN 0-521-38620-9.
  • Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.