Satz von Vitali (Maßtheorie)

Der Satz von Vitali (nach Giuseppe Vitali) ist ein mathematischer Lehrsatz aus der Maßtheorie. Er besagt, dass es eine Teilmenge der reellen Zahlen gibt, die nicht Lebesgue-messbar ist. Man bezeichnet jede der durch den Beweis des Satzes von Vitali entstandenen Mengen auch als Vitali-Menge. Deren Existenz wird dabei unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms bewiesen, insbesondere werden sie nicht explizit angegeben. Die Vitali-Mengen gelten als Standardbeispiele für nicht Lebesgue-messbare Mengen.

Die Bedeutung nicht-messbarer MengenBearbeiten

Bestimmten Mengen kann eine Länge bzw. ein Maß zugeordnet werden. Dem Intervall   wird die Länge   zugeordnet und allgemein einem Intervall  ,  , die Länge  . Wenn wir solche Intervalle als Metallstangen auffassen, haben sie ebenso eine wohldefinierte Masse. Wenn die  -Stange   wiegt, wiegt die  -Stange  . Die Menge   ist aus zwei Intervallen der Länge eins zusammengesetzt, und ihre Gesamtlänge ist demnach  , oder, wenn man es wieder auf Massen bezieht, zwei Stangen mit der Masse   ergeben die Gesamtmasse  .

Dabei stellt sich natürlicherweise die Frage: Wenn   eine beliebige Teilmenge der reellen Achse ist, hat sie dann eine Masse bzw. Länge? Zum Beispiel können wir uns fragen, was das Maß der rationalen Zahlen ist. Diese liegen dicht in der reellen Achse, und damit ist es zunächst nicht klar, welches Maß man hier vernünftigerweise zuordnen will.

In dieser Situation stellt sich letztlich heraus, dass die sinnvolle Zuordnung das Maß   ist – in Übereinstimmung mit dem, was das Lebesgue-Maß liefert, das dem Intervall   die Länge   zuordnet. Jede Menge mit wohldefiniertem Maß wird messbar genannt. Bei der Konstruktion des Lebesgue-Maßes (zum Beispiel über das äußere Maß) ist es zunächst nicht klar, ob nicht-messbare Mengen existieren.

Konstruktion und BeweisBearbeiten

Wenn   und   reelle Zahlen und   eine rationale Zahl ist, dann schreiben wir   und sagen, dass   und   äquivalent sind – man kann zeigen, dass   eine Äquivalenzrelation ist. Zu jedem   gibt es eine Teilmenge  , die Äquivalenzklasse von  . Die Menge der Äquivalenzklassen bildet eine Partition von  . Das Auswahlaxiom erlaubt es uns, eine Menge   auszuwählen, die einen Repräsentanten jeder Äquivalenzklasse enthält (für jede Äquivalenzklasse   enthält die Menge   nur ein einziges Element). Wir nennen   dann eine Vitali-Menge.

Die Vitali-Mengen sind nicht messbar. Um das zu zeigen, nehmen wir an,   wäre messbar. Aus dieser Annahme schließen wir im Folgenden, dass die unendliche Summe   immer derselben Zahl   zwischen   und   liegt – das ist offensichtlich falsch und durch den Widerspruch ist die Annahme widerlegt.

Sei nun zunächst   eine Abzählung der rationalen Zahlen in   (die rationalen Zahlen sind abzählbar). Die Mengen  ,   sind nach Konstruktion von   paarweise disjunkt, außerdem ist

 

(Um die erste Inklusion einzusehen, betrachte man eine reelle Zahl   aus   und einen Repräsentanten   der Äquivalenzklasse  , dann existiert eine rationale Zahl   aus  , sodass   für ein   gilt, also ist  .)

Aus der Definition Lebesgue-messbarer Mengen folgt, dass alle diese Mengen die folgenden beiden Eigenschaften haben:

1. Das Lebesgue-Maß ist σ-additiv, das heißt für abzählbar viele paarweise disjunkte   gilt

 

2. Das Lebesgue-Maß ist translationsinvariant, das heißt für reelle Zahlen   gilt

 .

Nun betrachtet man das Maß   der oben angegebenen Vereinigung. Da   σ-additiv ist, ist es auch monoton, das heißt   für  . Daraus folgt:

 

Wegen σ-Additivität folgt, da die   disjunkt sind:

 

Wegen Translationsinvarianz gilt für jedes  . Zusammen mit Obigem erhält man:

 

Das ist aber ein Widerspruch, weil   nicht möglich ist und   impliziert, dass   gilt.

Daher ist   nicht messbar.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Horst Herrlich: Axiom of Choice (= Lecture Notes in Mathematics. Bd. 1876). Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-30989-6, S. 120.