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Im mathematischen Teilgebiet der Topologie versteht man unter der Teilraumtopologie (auch induzierten Topologie, relativen Topologie, Spurtopologie oder Unterraumtopologie) die natürliche Struktur, die eine Teilmenge eines topologischen Raumes „erbt“. Die Teilraumtopologie ist eine spezielle Initialtopologie.

Formale DefinitionBearbeiten

Es sei   die Grundmenge eines topologischen Raums   und   eine Teilmenge. Dann ist die Teilraumtopologie auf   die Topologie

 

Die offenen Teilmengen von   sind also genau die Schnitte der offenen Teilmengen von   mit  .

EigenschaftenBearbeiten

  • Die Teilraumtopologie auf einer Teilmenge   eines topologischen Raumes   ist die schwächste Topologie, für die die Inklusionsabbildung
 
stetig ist.
  • Ist   eine offene Teilmenge eines topologischen Raumes  , so ist eine Teilmenge   genau dann offen in der Teilraumtopologie von  , wenn   als Teilmenge von   offen ist.
  • Ist   eine abgeschlossene Teilmenge eines topologischen Raumes  , so ist eine Teilmenge   genau dann abgeschlossen in der Teilraumtopologie von  , wenn   als Teilmenge von   abgeschlossen ist.
  • Eine stetige Abbildung topologischer Räume ist genau dann ein Monomorphismus im Sinne der Kategorientheorie, wenn sie als Abbildung auf das mit der Teilraumtopologie versehene mengentheoretische Bild ein Homöomorphismus ist. Insbesondere sind Monomorphismen injektiv.

BeispieleBearbeiten

  • Man stelle sich ein Blatt Papier ohne Rand als zweidimensionales Objekt vor. Im   ist dies keine offene Menge. Betrachtet man aber die Topologie bezüglich der Ebene, in der sich das Blatt befindet, so liegt eine offene Menge vor.
  • Die Teilraumtopologie auf   ist die diskrete Topologie, d. h. alle Teilmengen von   sind offen als Teilmengen des topologischen Raumes  . Beispielsweise ist die Menge   eine offene Teilmenge von  , weil sie Schnitt der offenen Teilmenge   von   mit   ist.

LiteraturBearbeiten