Diskrete Topologie

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist ein topologischer Raum diskret, wenn alle Punkte isoliert sind, d. h. wenn in einer hinreichend kleinen Umgebung des Punktes keine weiteren Punkte liegen.

DefinitionBearbeiten

Es sei   eine Menge. Dann ist die diskrete Topologie auf   die Topologie, unter der alle Teilmengen von   offen sind. Ein Raum, der die diskrete Topologie trägt, heißt diskret.

Das heißt,   trägt gerade die Potenzmenge   als Topologie.

Teilmengen   topologischer Räume   heißen diskret, wenn sie mit der Teilraumtopologie diskret sind. Das ist äquivalent dazu, dass es zu jedem Punkt   eine Umgebung   von   gibt, die   als einzigen Punkt von   enthält, d. h.  .

EigenschaftenBearbeiten

  • Ein topologischer Raum   ist genau dann diskret, wenn für jeden Punkt   die Menge   offen ist.
  • In einem diskreten topologischen Raum   ist der Umgebungsfilter eines jeden Punktes   die Menge aller Teilmengen   mit   Er ist ein Ultrafilter.
  • In einem diskreten topologischen Raum   ist der Filter   genau dann konvergent, wenn er der Umgebungsfilter eines Punktes   ist. Dieser Punkt   ist dann der Limespunkt des Filters  
  • Eine Folge   aus einem diskreten topologischen Raum konvergiert dann und nur dann, wenn sie sie ab einem bestimmten Folgenglied konstant wird (m. a. W. stationär ist).
  • Diskrete Räume sind stets hausdorffsch. Sie sind genau dann kompakt, wenn sie nur endlich viele Punkte enthalten.
  • Diskrete Räume sind lokalkompakt.
  • Das kartesische Produkt endlich vieler diskreter topologischer Räume ist wieder diskret.
  • Diskrete Räume sind total unzusammenhängend: Jedweder Teilraum mit mindestens zwei Elementen ist unzusammenhängend, zerfällt also in (mindestens) zwei disjunkte offene Mengen.
  • Diskrete Räume sind 0-dimensional, sowohl bzgl. der kleinen und großen induktiven Dimension als auch bzgl. der Lebesgue'schen Überdeckungsdimension.
  • Jede Abbildung von einem diskreten topologischen Raum   in einen beliebigen topologischen Raum   ist stetig.
  • Eine stetige Abbildung von einem topologischen Raum   in einen diskreten topologischen Raum   ist lokal konstant.

Diskrete MetrikenBearbeiten

Ein diskreter topologischer Raum   lässt sich mit einer diskreten Metrik[1]

 

ausstatten, die die diskrete Topologie induziert.

Die Ausstattung mit dieser Metrik bietet keinen wesentlichen Informationsgewinn. Immerhin werden durch sie Begriffe wie Cauchy-Folge und Vollständigkeit anwendbar.

Nachweis der MetrikaxiomeBearbeiten

Die Erfüllung der positiven Definitheit und der Symmetrie ist unmittelbar aus der Definition ersichtlich.

Für den Nachweis der Dreiecksungleichung

 

sind zwei Fälle zu unterscheiden:

  1. Ist   so ist die linke Seite gleich 0 und die Ungleichung sicher erfüllt.
  2. Ist  , so muss   oder   sein, da   nicht mit zwei verschiedenen Elementen übereinstimmen kann. Das heißt, dass wenigstens eine der beiden Zahlen   oder   gleich 1 sein mus, weshalb
     
gilt.

Überdies ist   eine Ultrametrik, denn   ist nur bei   und damit nur bei der Gleichheit   möglich. In allen anderen Fällen ist   so dass die verschärfte Dreiecksungleichung

 

für alle   gilt.

Metrische EigenschaftenBearbeiten

Bei einer gleichmäßig diskreten Metrik ist eine Folge genau dann eine Cauchy-Folge, wenn sie stationär ist. Jeder mit einer gleichmäßig diskreten Metrik ausgestattete metrische Raum ist vollständig, das heißt: jede Cauchy-Folge konvergiert.

Beispiel einer nicht-gleichmäßig diskreten MetrikBearbeiten

Sei   der mit der Betragsmetrik ausgestattete metrische Raum   Zu jedem Punkt   gibt es die Umgebung

 

aller Punkte, die näher bei   liegen als der Punkt   Sie besteht nur aus dem einen Punkt   Somit sind alle Punkte   isoliert, und die durch   induzierte Topologie ist ebenfalls die diskrete.

Andererseits gibt es zu jedem   ein   und einen Punkt   derart, dass für alle       weshalb die Diskretheit der Metrik keine gleichmäßige ist.

Außerdem ist festzuhalten, dass die Folge   eine Cauchy-Folge ist, die keinen Grenzwert in   hat. Denn   trägt als Teilraum der reellen Zahlen   die Teilraumtopologie, und in   hat   den Grenzwert 0, den es in   nicht gibt.

Kategorientheoretischer HintergrundBearbeiten

Aus kategorientheoretischer Sicht ist die diskrete Topologie auf einer Menge die freie Topologie auf dieser Menge. Dazu betrachte man den Funktor   von der Kategorie aller Mengen (mit allen Mengenabbildungen als Morphismen) in die Kategorie aller topologischen Räume (mit allen stetigen Abbildungen als Morphismen), welcher jeder Menge   den diskreten Topologischen Raum   zuweist und jeder Mengenabbildung dieselbe Abbildung zwischen den zugehörigen diskreten Räumen. Dieser Funktor ist nun linksadjungiert zum Vergissfunktor  . Üblicherweise werden die Bilder von Mengen unter solchen Funktoren jedoch als freie Konstruktionen bezeichnet, beispielsweise freie Gruppen, freie abelsche Gruppen, freie Moduln. In ähnlicher Weise ist die indiskrete Topologie als Funktor rechtsadjungiert zum oben genannten Vergissfunktor. Das heißt die indiskrete Topologie ist der duale Begriff zur diskreten Topologie.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Cigler und Reichel

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten