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Menge (Mathematik)

mathematische Menge
(Weitergeleitet von Schnittmenge)
Eine Menge von Polygonen

Eine Menge ist ein Verbund, eine Zusammenfassung von einzelnen Elementen. Die Menge ist eines der wichtigsten und grundlegenden Konzepte der Mathematik, mit ihrer Betrachtung beschäftigt sich die Mengenlehre.

Bei der Beschreibung einer Menge geht es ausschließlich um die Frage, welche Elemente in ihr enthalten sind. Es wird nicht danach gefragt, ob ein Element mehrmals enthalten ist oder ob es eine Reihenfolge unter den Elementen gibt. Eine Menge muss kein Element enthalten – es gibt genau eine Menge ohne Elemente, die „leere Menge“. In der Mathematik sind die Elemente einer Menge häufig Zahlen, Punkte eines Raumes oder ihrerseits Mengen. Das Konzept ist jedoch auf beliebige Objekte anwendbar: z. B. in der Statistik auf Stichproben, in der Medizin auf Patientenakten, am Marktstand auf eine Tüte mit Früchten.

Ist die Reihenfolge der Elemente von Bedeutung, dann spricht man von einer endlichen oder unendlichen Folge, wenn sich die Folgenglieder mit den natürlichen Zahlen aufzählen lassen (das erste, das zweite usw.). Endliche Folgen heißen auch Tupel. In einem Tupel oder einer Folge können Elemente auch mehrfach vorkommen. Ein Gebilde, das wie eine Menge Elemente enthält, wobei es zusätzlich auf die Anzahl der Exemplare jedes Elements ankommt, jedoch nicht auf die Reihenfolge, heißt Multimenge.

Begriff und Notation von MengenBearbeiten

 
Menge als gedankliche Zusammenfassung von Objekten

Der Begriff Menge geht auf Bernard Bolzano und Georg Cantor zurück. In Bolzanos Manuskripten aus den Jahren zwischen 1830 und 1848 heißt es: „Inbegriffe nun, bey welchen auf die Art, wie ihre Theile mit einander verbunden sind, gar nicht geachtet werden soll, an denen somit Alles, was wir an ihnen unterscheiden, bestimmt ist, sobald nur ihre Theile [selbst] bestimmt sind, verdienen es eben um dieser Beschaffenheit willen, mit einem eigenen Nahmen bezeichnet zu werden. In Ermangelung eines andern tauglichen Wortes erlaube ich mir das Wort Menge zu diesem Zwecke zu brauchen;“.[1] Cantor beschrieb eine Menge „naiv“ als eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.[2] Die Objekte der Menge heißen Elemente der Menge. Weder der Begriff „Menge“ noch der Begriff „Element“ werden im mathematischen Sinn definiert; sie werden auch nicht als oder in Axiomen definiert. Die moderne Mengenlehre und damit ein Großteil der Mathematik basiert auf den Zermelo-Fraenkel-Axiomen (oder: ZFA), Neumann-Bernays-Gödel-Axiomen oder anderen Axiomensystemen. Wir haben ein natürliches, intuitiv richtiges Verständnis für Mengen; allerdings führt der Begriff „die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten“ zu einem Widerspruch, der Russell’schen Antinomie; ebenso wie „die Menge aller Mengen“.

Eine Veranschaulichung des Mengenbegriffs, die Richard Dedekind zugeschrieben wird, ist das Bild eines Sackes, der gewisse (als Einzelne abgrenzbare) Dinge enthält. Nützlich ist diese Vorstellung zum Beispiel für die leere Menge: ein leerer Sack. Die leere Menge ist also nicht „nichts“, sondern der Inhalt eines Behältnisses, das keine der für es als Inhalt vorgesehenen Dinge enthält. Das „Behältnis“ selbst verweist nur auf die bestimmte zusammenzufassende Sorte und Art von Elementen. Diese Vorstellung hat aber ihre Grenzen. Ein Behältnis bleibt nämlich dasselbe, auch wenn man seinen Inhalt ändert. Dies ist bei Mengen anders: Diese ändern ihre Identität, wenn man neue Elemente hinzufügt oder bestehende entfernt. Insofern ist es besser, wenn man sich die Menge als „Inhalt eines Behältnisses“ vorstellt.

Endliche Mengen können (insbesondere wenn sie relativ wenig Elemente haben) durch Aufzählen ihrer Elemente (aufzählende Mengenschreibweise) angegeben werden, etwa  , wobei es wie gesagt nicht auf eine Reihenfolge ankommt oder darauf, ob ein Element mehr als einmal genannt wird. Das heißt, es gilt beispielsweise  .[3]

Oft ist es praktisch oder prinzipiell (bei unendlichen Mengen) unmöglich, die Elemente einer Menge aufzuzählen. Es gibt aber eine andere Notation, in der die Elemente einer Menge durch eine Eigenschaft festgelegt werden, zum Beispiel  . (Sprich: „M ist die Menge aller x für die gilt: ‚x ist eine Grundfarbe‘.“)

Daneben prägte Dedekind das Synonym des Systems, zu welchem er Elemente zusammenfasste. Diese Bezeichnung ist heute noch teilweise üblich, so nennt man eine „Menge von Vektoren“ auch kurz ein Vektorsystem.

Andere SchreibweisenBearbeiten

Andere Schreibweisen für Mengen können als Abkürzungen für die intensionale Notation angesehen werden:

  • Die aufzählende Schreibweise   kann als eine Abkürzung für die umständliche Schreibweise   verstanden werden.
  • Bei der Schreibweise mit Auslassungspunkten werden nur einige Elemente als Beispiele aufgeführt, etwa:  . Sie ist nur verwendbar, wenn das Bildungsgesetz aus diesen Beispielen oder aus dem Zusammenhang klar ist. Hier ist offenbar die Menge gemeint, die sich intensional als   schreiben lässt. Diese Schreibweise wird häufig für unendliche Mengen angewendet. So beschreibt   die Menge der geraden natürlichen Zahlen, die größer sind als 2.
  • Neue Mengen kann man auch durch Mengenoperationen bilden, wie aus   und   die Schnittmenge  . Diese kann intensional geschrieben werden als  .
  • Ferner gibt es noch die induktive Definition von Mengen, bei welcher mindestens ein Grundelement explizit angegeben wird und dann mindestens eine Regel, wie aus einem Element ein weiteres Element abgeleitet werden kann. So kann die obige Menge   ebenfalls beschrieben werden durch
i)   ist in   und
ii) für jedes   in   ist auch   in   und
iii) nur Elemente, die durch i) und (keine, einmalige oder wiederholte) Anwendung von ii) erhalten werden, sind in  .

MächtigkeitBearbeiten

Für endliche Mengen ist die Mächtigkeit (oder Kardinalität) gleich der Anzahl der Elemente der Menge; das ist eine natürliche Zahl einschließlich der Null. Der Begriff lässt sich auch auf unendliche Mengen verallgemeinern; es stellt sich heraus, dass zwei unendliche Mengen nicht gleichmächtig sein müssen. Die Mächtigkeit einer Menge   wird im Allgemeinen mit  , gelegentlich auch mit   notiert.

Grundlegende Beziehungen zwischen MengenBearbeiten

Die Dinge, die in einer Menge enthalten sind, heißen Elemente. Ist ein Objekt   Element einer Menge  , so schreibt man dafür formal:  . Die Verneinung (  ist kein Element von  ) schreibt man als:  . Historisch geht das Elementzeichen   zurück auf den griechischen Buchstaben ε als Anfangsbuchstabe von εστί (estí, es ist)[4] und wurde 1889 von Giuseppe Peano zum ersten Mal verwendet.

Gleichheit von Mengen und ExtensionalitätBearbeiten

GleichheitBearbeiten

Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

Diese Definition bezeichnet die Extensionalität und damit die grundlegende Eigenschaft von Mengen. Formal:

 

Tatsächlich muss eine Menge   aber meist intensional beschrieben werden. Das heißt: Es wird eine Aussageform   angegeben (mit einer Objektvariablen  , die eine wohlbestimmte Definitionsmenge   haben sollte), sodass   genau dann gilt, wenn   zutrifft. Dafür schreibt man dann:

 

Zu jeder Menge   gibt es viele verschiedene Aussageformen  , die diese beschreiben. Die Frage, ob zwei gegebene Aussageformen   und   dieselbe Menge beschreiben, ist keineswegs trivial. Im Gegenteil: Viele Fragestellungen der Mathematik lassen sich in dieser Form formulieren: „Sind   und   die gleiche Menge?“

Viele Gleichheitsbeweise benutzen die Äquivalenz  .

ExtensionalitätBearbeiten

Wenn zwei Mengen dieselben Elemente enthalten, so sind sie gleich. Auf die Art und Weise, wie die Zugehörigkeit der Elemente zu den Mengen beschrieben ist, kommt es dabei nicht an. Die für Mengen charakteristische Eigenschaft, dass es auf die Art der Beschreibung nicht ankommt, nennt man ihre Extensionalität (von lateinisch extensio = Ausdehnung; betrifft den Umfang des Inhaltes).

Unendliche Mengen müssen aber meist „intensional“ (beschreibende Mengenschreibweise) beschrieben werden (von lateinisch intensio = Spannung; betrifft die Merkmale des Inhaltes). Das heißt: Eine Menge wird durch eine bestimmte Bedingung oder Eigenschaft beschrieben, die alle Elemente der Menge (und nur diese) erfüllen: beispielsweise  , gelesen „sei   die Menge aller  , für die gilt:   ist eine gerade natürliche Zahl und größer als 2“ oder kürzer: „sei   die Menge aller geraden natürlichen Zahlen  “.

Es ist teilweise schwer zu entscheiden, ob zwei intensional beschriebene Mengen gleich sind. Dafür muss festgestellt werden, ob die Eigenschaften aus den intensionalen Beschreibungen logisch äquivalent sind (wenn die eine Eigenschaft wahr ist, ist es auch die andere, und umgekehrt).

Leere MengeBearbeiten

Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Sie wird mit   oder auch   bezeichnet und hat die Mächtigkeit  . Aus der Extensionalität folgt unmittelbar, dass es nur eine leere Menge gibt: Jede „andere“ leere Menge, die die gleichen (also keine) Elemente enthält, wäre dieser gleich. Folglich sind   und   verschieden, da letztere Menge eine andere Menge als Element enthält.

Nichtleere MengeBearbeiten

Eine nichtleere Menge ist eine Menge, die nicht die leere Menge ist. Eine nichtleere Menge enthält daher mindestens ein Element. Die Mächtigkeit einer nichtleeren Menge ist größer als 0.

TeilmengeBearbeiten

 
A ist eine (echte) Teilmenge von B

Eine Menge   heißt Teilmenge einer Menge  , wenn jedes Element von   auch Element von   ist.

  wird dann Obermenge (selten: Übermenge) von   genannt. Formal:

 .

Insbesondere ist also auch jede Menge A Teilmenge von sich selbst:  . Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge.

  ist echte Teilmenge von   (oder   ist echte Obermenge von  ), wenn   Teilmenge von   ist, aber von   verschieden, also jedes Element aus   auch Element von   ist, aber (mindestens) ein Element in   existiert, das nicht in   enthalten ist.

Die Relation „ist Teilmenge von“ bildet eine Halbordnung. Die Relation „echte Teilmenge“ ist eine strenge Halbordnung.

Es sind zwei Notationen für Teilmengen gebräuchlich:

  •   für „Teilmenge“ und   für „echte Teilmenge“ oder
  •   für „Teilmenge“ und   für „echte Teilmenge“.

Das erstgenannte System entspricht dem vom Bertrand Russell (vgl. Principia Mathematica) eingeführten und verdeutlicht die Analogie zu den Zeichen   und  . Es wird in diesem Artikel verwendet, es sind jedoch beide Systeme weit verbreitet.

Die Negation der Relationen  ,   und   kann durch das durchgestrichene jeweilige Relationssymbol bezeichnet werden, also zum Beispiel durch  . Außerdem ist es möglich, die Reihenfolge der beiden Argumente zu vertauschen, wenn dabei auch das Relationssymbol umgedreht wird. So kann also anstelle von   auch  , anstelle von   auch   und anstelle von   auch   geschrieben werden. Auch ein gleichzeitiges Durchstreichen und Umdrehen dieser Relationssymbole ist denkbar.

Schnittmenge (Schnitt, auch „Durchschnitt“)Bearbeiten

 
Schnittmenge  
 
Beispiel für eine Schnittmenge

Gegeben ist eine nichtleere Menge   von Mengen. Die Schnittmenge (auch Durchschnittsmenge) von   ist die Menge der Elemente, die in jeder Elementmenge von   enthalten sind. Formal:

 .[5]

Die Schnittmenge von   ist auch dadurch charakterisiert, dass für jede Menge   gilt:

 .

Elementmengen ohne gemeinsame Elemente heißen elementfremd oder disjunkt. Ihre Schnittmenge ist die leere Menge.

Ist   eine Paarmenge, also  , so schreibt man für  

 

und liest dies:   geschnitten mit   (oder: Der Durchschnitt von   und  ) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in   als auch in   enthalten sind.

Diese Schreibweise lässt sich leicht auf den Durchschnitt aus endlich vielen Mengen   verallgemeinern.

Abweichende Schreibweise für den Durchschnitt aus beliebig vielen Mengen:

Die Elemente der Menge  , die ja selbst wieder Mengen sind, werden mit   bezeichnet. Es wird eine „Indexmenge  (Lambda) eingeführt, sodass   ist. Die Schnittmenge   wird dann geschrieben als:

 ,

also die Menge aller Elemente, die in sämtlichen Mengen   enthalten sind.[6]

Eine ältere Bezeichnung für den Durchschnitt ist inneres Produkt oder Produkt erster Art. Dieses wird dann auch als

  oder  

geschrieben. Insbesondere die letzte Schreibweise ist von vielen Autoren für das kartesische Produkt (siehe unten) reserviert und sollte daher nicht für die Schnittmenge verwendet werden, um Missverständnisse zu vermeiden.

Vereinigung (Vereinigungsmenge)Bearbeiten

 
Vereinigungsmenge  
 
Beispiel einer Vereinigungsmenge

Dies ist der zur Schnittmenge duale Begriff: Die Vereinigungsmenge von   ist die Menge der Elemente, die in mindestens einer Elementmenge von   enthalten sind. Formal:

 .

Die Vereinigungsmenge von   ist auch dadurch charakterisiert, dass für jede Menge   gilt:

 .

Im Gegensatz zu   ist   auch dann erklärt, wenn   leer ist, und zwar ergibt sich  .

Für   schreibt man (analog zum Durchschnitt):

 

und liest dies:   vereinigt mit   (oder: Die Vereinigung von   und  ) ist die Menge aller Elemente, die in   oder in   enthalten sind. Das „oder“ ist hier nicht-ausschließend zu verstehen: Die Vereinigung umfasst auch die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind.

Wenn Mengen keine gemeinsamen Elemente enthalten, sie also disjunkt sind, verwendet man auch das Zeichen   für die Vereinigung dieser disjunkten Mengen. Während jedoch das Zeichen für die Vereinigung   intuitiv mit dem des Junktors   (oder) identifiziert werden kann, muss zwischen dem Zeichen für die disjunkte Vereinigung   und dem Junktor   (ausschließendes oder) unterschieden werden.

Unter Verwendung einer geeigneten Indexmenge   schreibt man:

 .

Diese Schreibweise ist auch für die Vereinigung endlich vieler Mengen   geeignet.

Als ältere Bezeichnung hierfür wird zuweilen noch die Summe verwendet und dann geschrieben

  oder  .

Vorsicht: Der Begriff Summe wird heute auch für die disjunkte Vereinigung von Mengen benutzt.

Differenz und KomplementBearbeiten

 
Differenzmenge  : „A ohne B

Die Differenz wird gewöhnlich nur für zwei Mengen definiert: Die Differenzmenge (auch Restmenge) von   und   (in dieser Reihenfolge) ist die Menge der Elemente, die in  , aber nicht in   enthalten sind. Formal:

 

Die Differenzmenge   ist auch dadurch charakterisiert, dass für jede Menge   gilt:

 .

Die Differenz ist im Gegensatz zu Schnitt und Vereinigung weder kommutativ noch assoziativ.

Ist  , so heißt die Differenz   auch Komplement von   in  . Dieser Begriff wird vor allem dann verwendet, wenn   eine Grundmenge ist, die alle in einer bestimmten Untersuchung in Frage stehenden Mengen umfasst. Diese Menge muss dann im Folgenden nicht mehr erwähnt werden, und

 

heißt einfach das Komplement von  . Andere Schreibweisen für   sind  ,   oder  .

Symmetrische DifferenzBearbeiten

 
Symmetrische Differenz  :
A ohne B“ vereinigt mit „B ohne A

Die Menge

 

wird als symmetrische Differenz von   und   bezeichnet. Es handelt sich um die Menge aller Elemente, die jeweils in einer, aber nicht in beiden Mengen liegen. Bei Verwendung des ausschließenden Oder („entweder-oder“:   bzw.  ) kann man dafür auch

 

schreiben.

Kartesisches ProduktBearbeiten

Die Produktmenge oder das kartesische Produkt ist eine weitere Art der Verknüpfung von Mengen. Die Elemente des kartesischen Produkts zweier Mengen sind allerdings keine Elemente der Ausgangsmengen, sondern komplexere Objekte. Formal ist die Produktmenge von   und   definiert als

 

und damit die Menge aller geordneten Paare, deren erstes Element aus   und deren zweites Element aus   ist. Unter der Verwendung von n-Tupeln lässt sich das kartesische Produkt auch für die Verknüpfung endlich vieler Mengen   verallgemeinern:

 ,

Sind die Mengen   alle gleich einer Menge  , so schreibt man für die Produktmenge auch kurz  . Für die Produktmenge einer Familie von Mengen   mit einer beliebigen Indexmenge   wird ein allgemeiner Funktionsbegriff benötigt. Sie ist die Menge aller Funktionen, die jedem Indexelement   ein Element der Menge   zuordnet, also

 

Ob ein solches kartesisches Produkt nicht leer ist, das heißt, ob es überhaupt stets solche Funktionen wie auf der rechten Seite dieser Definitionsgleichung angegeben gibt, hängt eng mit dem Auswahlaxiom zusammen.

Wenn die Mengen   alle gleich einer Menge   sind, schreibt man die Produktmenge auch kurz als  .

PotenzmengeBearbeiten

Die Potenzmenge   von   ist die Menge aller Teilmengen von  .

Die Potenzmenge von   enthält immer die leere Menge und die Menge  . Somit ist  , also eine einelementige Menge. Die Potenzmenge einer einelementigen Menge   ist  , enthält also zwei Elemente. Allgemein gilt: Besitzt   genau   Elemente, so hat   die Elementanzahl  , das heißt  . Dies motiviert auch die Schreibweise   anstelle  .

Bei unendlichen Mengen ist der Begriff nicht unproblematisch: Es gibt nachweislich kein Verfahren, das alle Teilmengen auflisten könnte. (Siehe dazu: Cantors zweites Diagonalargument.) Bei einem axiomatischen Aufbau der Mengenlehre (etwa ZFC) muss die Existenz der Potenzmenge durch ein eigenes Potenzmengenaxiom gefordert werden.

Konstruktive Mathematiker betrachten deshalb die Potenzmenge einer unendlichen Menge als einen grundsätzlich unabgeschlossenen Bereich, zu dem – je nach Fortgang der mathematischen Forschung – immer noch neue Mengen hinzugefügt werden können.

Beispiele für MengenoperationenBearbeiten

Wir betrachten die Mengen  ,   und  . Es gelten beispielsweise:

  •  ,  
  •  
  •  ,  ,  
  •  
  •  
  • Für die Komplemente bezüglich   gilt  ,  ,  ,  .
  •  ,  ,  ,  
  •  ,  ,  
  •   = 3,   =   = 2,   = 0,   = 1
  •  
  •  
  •  ,  ,  ,  
  •  ,  ,  
  •  ,  
  •  

Konkrete Beispiele seien hier nochmals benannt.

  • Die Menge aller zweistelligen „Schnapszahlen“ lautet  . 33 ist ein Element dieser Menge, 23 ist es nicht.
  • Die Menge der natürlichen Zahlen   ist eine echte Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen  .

Weitergehende BegriffeBearbeiten

 
Spezielle Zahlenmengen: ℙ ⊂ ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ ⊂ ℍ

LiteraturBearbeiten

  • Klaus Kursawe: Mengen, Zahlen, Operationen. Scripta Mathematica. Aulis Verlag Deubner, Köln 1973, ISBN 3-7614-0176-0.
  • Hans-Dieter Gerster: Aussagenlogik, Mengen, Relationen. Studium und Lehre Mathematik. Franzbecker, Hildesheim 1998, ISBN 3-88120-287-0.
  • Adolf Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 1928. (Nachdruck: Dr. Martin Sändig, Walluf 1972, ISBN 3-500-24960-4)
  • Erich Kamke: Mengenlehre. 6. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 1969.
  • Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1968, ISBN 3-525-40527-8.
  • H. Schinköthe: Mengen und Längen, Lehrbuch der elementaren Grundlagen mathematischen Denkens und seiner Entwicklung für die Bereiche: Kindergarten, Vorschule, Grundschule, Sonderschule, Rechenschwächetherapie. RESI, Volxheim 2000 (Libri/BoD), ISBN 3-8311-0701-7.
  • Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 3. Auflage. Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-01444-4, doi:10.1007/978-3-642-01445-1.

WeblinksBearbeiten

 Wiktionary: Menge – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
  Commons: Boolesche Algebra – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Bernard Bolzano: Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre. Hrsg.: Jan Berg (= Eduard Winter u. a. [Hrsg.]: Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe. II, A). Band 7. Friedrich Frommann Verlag, Stuttgart / Bad Cannstatt 1975, ISBN 3-7728-0466-7, S. 152.
  2. Siehe Textstelle mit der Mengendefinition von Georg Cantor.png für die entsprechende Textstelle im Artikel Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre – Mathematische Annalen (Zeitschriftenband 46) (Memento vom 23. April 2014 im Internet Archive).
  3. ti.inf.uni-due.de (PDF) Abgerufen am 18. November 2011.
  4. So erklärt in Bertrand Russell, Alfred North Whitehead: Principia Mathematica. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge, S. 26 (englisch, Universität Michigan [PDF; abgerufen am 23. Oktober 2011] 1910–1913). und bereits früher bei Peano.
  5. Für leeres   tritt bei dieser Formulierung (noch deutlicher bei  ) nach der Regel „ex falso quodlibet“ ein logisches Problem auf: Welche   sollen da gemeint sein? In Analogie zu   für alle anderen, nichtleeren   setzt man aber wegen   meist  .
  6. Fasst man   selbst als Indexmenge auf und setzt   für  , dann stimmt diese Schreibweise   mit der obigen Definition   überein.
  7. John B. Conway: A Course in Point Set Topology. Springer Science+Business Media, Cham 2014, ISBN 978-3-319-02367-0, doi:10.1007/978-3-319-02368-7.
  8. Wolfgang Rautenberg: Messen und Zählen. Heldermann Verlag, Lemgo 2007, ISBN 978-3-88538-118-1.