Mengensystem

Menge, deren Elemente Teilmengen einer Grundmenge sind

Ein Mengensystem ist in der Mathematik eine Menge, deren Elemente allesamt Teilmengen einer gemeinsamen Grundmenge sind.

Im Kontext der Graphentheorie wird ein Mengensystem als Hypergraph bezeichnet.

Formale DefinitionBearbeiten

Ist eine Grundmenge   gegeben, so heißt jede Teilmenge   der Potenzmenge   ein Mengensystem über  . Anders ausgedrückt:   ist eine Menge von Mengen und jedes Element von   ist eine Teilmenge von  .

StabilitätBearbeiten

Ein Mengensystem   heißt abgeschlossen oder stabil bezüglich einer Mengenoperation (Durchschnitt, Vereinigung, Komplement etc.), wenn die Anwendung der Operation auf Elemente von   wieder ein Element von   liefert. Mengensysteme werden oftmals bezüglich der stabilen Operationen benannt. So heißt ein Mengensystem zum Beispiel

  •  -stabil (durchschnittsstabil) oder auch ein π-System, wenn   gilt;
  •  -stabil (vereinigungsstabil), wenn   gilt;
  • σ- -stabil oder auch ein δ-System, wenn für abzählbar unendlich viele Mengen   auch   wieder in   ist;
  • σ- -stabil oder auch kurz ein σ-System, wenn für abzählbar unendlich viele Mengen   auch   wieder in   ist;
  •  -stabil (differenzstabil), wenn   gilt;
  • komplementstabil, wenn   gilt.

BeispieleBearbeiten

Die folgenden mathematischen Objekte sind Mengensysteme mit zusätzlichen Eigenschaften. Bei der Formulierung dieser Eigenschaften spielt oft die Stabilität bezüglich bestimmter Mengenoperationen eine Rolle.

        
 
 
Ein Hypergraph mit 7 Knoten und 4 Hyperkanten
 
Ein ungerichteter Graph mit 6 Knoten und 7 Kanten

HypergraphenBearbeiten

Im Kontext der Graphentheorie wird ein Mengensystem auch als Hypergraph bezeichnet. Die Elemente der Grundmenge heißen dann Knoten und die Elemente des Mengensystems heißen Hyperkanten. Man kann sich eine Hyperkante als Verallgemeinerung einer Kante in einem gewöhnlichen Graphen vorstellen, die eben nicht zwei, sondern mehrere Knoten gleichzeitig miteinander „verbindet“. Im nebenstehenden Beispiel gilt:

Menge der Knoten  .
Menge der Hyperkanten  , wobei
Hyperkante  ,
Hyperkante  ,
Hyperkante  ,
Hyperkante  .

In vielen Anwendungsfällen von Hypergraphen wird die Knotenmenge als endlich festgelegt und die leere Hyperkante ausgeschlossen.

Verbindet jede Hyperkante genau 2 Knoten, liegt ein ungerichteter Graph vor (genauer: ein ungerichteter Graph ohne Mehrfachkanten und ohne Schleifen). Das Mengensystem besteht dann also nur aus 2-elementigen Teilmengen der Grundmenge. Im nebenstehenden Beispiel gilt:

Grundmenge =  ,
Mengensystem =  .

Axiomatische MengenlehreBearbeiten

In der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre gibt es nur einen Typ von Objekten, nämlich Mengen. Damit sind alle Elemente einer Menge selbst wieder Mengen, und die Begriffe Menge und Mengensystem stimmen überein.

Beispiel: Jede natürliche Zahl wird in diesem Zusammenhang mit der Menge ihrer Vorgänger identifiziert. Dies ergibt den folgenden Aufbau:

  (die leere Menge),
 ,
 ,
 ,
 ,
     

LiteraturBearbeiten