Matroid

mathematische Struktur

Ein Matroid (n.) ist eine mathematische Struktur, mit deren Hilfe der Begriff der Unabhängigkeit aus der linearen Algebra verallgemeinert wird. Es stellt einen Spezialfall der allgemeineren Unabhängigkeitssysteme dar. Matroide besitzen Anwendungen in vielen Bereichen der Kombinatorik, insbesondere der kombinatorischen Optimierung, sowie der Graphentheorie.

TerminologieBearbeiten

Hassler Whitney gebrauchte 1935 in seinem grundlegenden Artikel den Begriff Matroid.[1] Wie das Wort andeutet, konzipierte er ein Matroid als abstrakte Verallgemeinerung einer Matrix, wobei das aus dem Griechischen stammende Suffix -oid den Begriff vervollständigt. Ein großer Teil der Sprache dieser Theorie basiert auf der linearen Algebra. Allerdings beruht Whitneys Ansatz auch auf seinen Arbeiten in der Graphentheorie, wodurch die Matroid-Terminologie auch graphentheoretisch geprägt ist. Die Terminologie variiert jedoch von Autor zu Autor. Sogar der Ausdruck Matroid wird von einigen abgelehnt. Leonid Mirsky und Hazel Perfect gebrauchen den Ausdruck „independence space“[2] (dt. i. e. Unabhängigkeits-Raum), Henry H. Crapo und Gian-Carlo Rota in ihrer Monographie zur kombinatorischen Geometrie „pregeometry“[3] (dt. Prägeometrie), Richard Rado „independence functions“ (dt. i. e. Unabhängigkeits-Funktionen) und Paul Cohn „transitive dependence relation“[4] (dt. i. e. transitive Abhängigkeits-Relation). Nach Martin Aigner betont der Begriff Matroid den mengentheoretischen Standpunkt etwas stärker, während Prägeometrie vor allem von jenen Autoren verwendet wird, die den geometrischen Aspekt in den Vordergrund rücken.[5]

Historische BetrachtungBearbeiten

 
Der Mathematiker Hassler Whitney, der den Begriff Matroid einführte

Die mathematische Struktur eines Matroids wurde in den 1930er-Jahren von mehreren Autoren eingeführt und weiterentwickelt. Es ging darum, bekannte Begriffe aus der linearen Algebra wie lineare Abhängigkeit, Basis und Erzeugnis zu axiomatisieren und auf allgemeinere Strukturklassen zu übertragen. Dies ermöglicht eine präzisere Begriffsbildung in verschiedenen Gebieten der Kombinatorik und macht rein kombinatorische Fragen algebraischen Ideen und Methoden zugänglich. So lässt sich beispielsweise die Graphentheorie in die Theorie der Matroide einreihen.

In der Regel wird der Beginn der Matroid-Theorie dem US-amerikanischen Mathematiker Hassler Whitney zugerechnet. Dieser untersuchte 1935 matrische Matroide  , bei denen die Elemente von   die Zeilen einer gegebenen Matrix sind, und eine Menge von Zeilen unabhängig ist, wenn die Zeilen im gewöhnlichen Sinn linear unabhängig sind.[1] Etwas später benutzte auch Bartel Leendert van der Waerden in seinem Buch „Moderne Algebra“ das Konzept einer abstrakten Abhängigkeit.[6] Unabhängig davon verfasste der japanische Mathematiker Takeo Nakasawa zwischen 1935 und 1938 vier Artikel, die ihn zum Mitbegründer der Matroid-Theorie machen, wenn auch diese für lange Zeit in Vergessenheit gerieten.[7]

Daneben erschienen vereinzelte Artikel von Garrett Birkhoff (1935),[8] Saunders Mac Lane (1936)[9] und Robert P. Dilworth (1941–1944)[10] zu verbandstheoretischen und geometrischen Aspekten der Matroid-Theorie. Richard Rado beschäftigte sich mit kombinatorischen Anwendungen von Matroiden (1942)[11] und unendlichen Matroiden (1949).[12] Wichtiger Anstoß für die weitere Entwicklung der Theorie der Matroide war die wechselweise Übernahme von Ideen aus verschiedenen Gebieten und ihre Auswirkungen in anderen, wie beispielsweise die Parallelität zwischen den Eigenschaften der Dimension in Vektorräumen und des Ranges in Graphen. 1958 und 1959 veröffentlichte William Thomas Tutte grundlegende Artikel zu Matroiden und Graphen.[13] Seither nahm das Interesse an Matroiden und ihren Anwendungen in der Kombinatorik stetig zu, nicht zuletzt im Bereich der kombinatorischen Optimierung.[14] Jack Edmonds und Delbert Ray Fulkerson (1965)[15] sowie Leonid Mirsky und Hazel Perfect (1967)[2] entdeckten unabhängig voneinander eine neue Klasse von Matroiden, sogenannte transversale Matroide. Nach Welsh erzielten Matroide bisher in der Transversaltheorie den größten Effekt (gemessen an neuen Resultaten, die dadurch erreicht wurden und einfacheren Beweisen, die für bereits bekannte Resultate gefunden wurden).[16]

Einführende BeispieleBearbeiten

Beispiel für einen VektormatroidenBearbeiten

 
Gegeben ist die Grundmenge E mit den Vektoren a, b, c, d, e, f. Die Mengen mit dem Nullvektor f und die Mengen, die die Vektoren d und e gemeinsam enthalten, sind linear abhängig.

Sei   ein Körper,   ein  -Vektorraum und   eine endliche Teilmenge. Sei   als die Menge der Teilmengen von   definiert, die in   linear unabhängig über   sind. Dann ist das Paar   ein Matroid, genannt Vektormatroid.

Seien beispielsweise der  -Vektorraum   und als Grundmenge   die Spalten der folgenden Matrix gegeben:[17]

 

Die entsprechenden Spaltenvektoren werden wie folgt bezeichnet:

 

Daraus ergibt sich die Grundmenge   und die Menge

 

der Vektormengen mit jeweils zueinander linear unabhängigen Vektoren.

Demgegenüber sind die Vektoren im Vektorraum   linear abhängig, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

  • Es handelt sich um eine einelementige Menge, die genau den Nullvektor enthält. Im obigen Beispiel wäre dies der Vektor  .
  • Zwei oder mehrere Vektoren sind skalare Vielfache voneinander. Im Beispiel sind dies Mengen mit den Vektoren   und   und alle Mengen, die den Vektor   enthalten.

Entsprechend sind eine Nullspalte und skalare Vielfache bzw. dessen Indizes in einem Matroid abhängig.

Für ein Matroid sind die Basen   als die inklusionsmaximalen Elemente von   definiert. Für ein Vektormatroid   sind dies genau die Basen des Vektorraumes. Im vorliegenden Beispiel gilt somit:

 .

Beispiel für ein graphisches MatroidBearbeiten

Sei   ein ungerichteter Multigraph (d. h. Mehrfachkanten und Schleifen sind möglich) mit Knotenmenge   und Kantenmenge  . Das graphische Matroid   enthält als unabhängige Mengen gerade die kreisfreien Teilgraphen von  .

Als Beispiel sei der Graph   mit der Knotenmenge   und der Kantenmenge   gegeben, wobei die Kanten durch folgende Multimengen definiert seien:  .[17]

 

In diesem Beispiel entsprechen die kreisfreien Teilgraphen unabhängigen Mengen  .

Die Basen   eines graphischen Matroids entsprechen den Spannwäldern des Graphen (bzw. den Spannbäumen bei zusammenhängenden Graphen). Für das Beispiel gilt somit:

 .

AxiomatisierungBearbeiten

In der Matroidtheorie gibt es kein Standardaxiomensystem. Bereits Whitney bemerkte im grundlegenden Artikel, dass sich verschiedene Strukturen in den Matroiden zur Axiomatisierung anbieten. Da die eine Struktur jeweils die andere impliziert, kann ein Matroid somit auf viele verschiedene äquivalente Weisen definiert werden. So sind die Unabhängigkeitsaxiome eher durch die lineare Algebra motiviert, während die Kreisaxiome sich eher an einem graphentheoretischen Zugang orientieren. Birkhoff führte für eine solche Äquivalenz verschiedener Axiomatisierungen den Begriff Kryptomorphismus ein. Damit soll gesagt werden, dass zwei Axiomatisierungen auf nicht offensichtliche oder gar kryptische Weise „isomorph“ sind.

UnabhängigkeitsaxiomeBearbeiten

Ein Matroid   ist ein geordnetes Paar   bestehend aus einer endlichen Menge  , Grundmenge genannt, und einer Menge   von Teilmengen (Mengensystem), unabhängige Mengen genannt, das folgende Axiome erfüllt:[18]

(I1)  .
(I2) Wenn   und  , dann ist  .
(I3) Wenn   und   in   sind und  , dann gibt es ein Element   aus  , so dass  

Dabei ist   die Kardinalität der Menge   und   meint die Differenz der Mengen   und  . Oft schreibt man auch   für   und   für  , insbesondere wenn mehrere Matroide berücksichtigt werden. Die Mengen aus   werden abhängig genannt.

Das erste Axiom besagt, dass die leere Menge unabhängig ist. Entsprechend dem zweiten Axiom ist jede Teilmenge einer unabhängigen Menge ebenfalls unabhängig. Man sagt diesbezüglich auch, dass das Mengensystem erblich oder hereditär ist. Das Alleinstellungsmerkmal eines Matroides gegenüber einem gewöhnlichen Unabhängigkeitssystem besteht in der Austauscheigenschaft, also der dritten Bedingung. Während sich die ersten beiden Axiome leicht als Forderungen der Existenz mindestens einer unabhängigen Menge und der Abgeschlossenheit des Systems   bezüglich der Inklusion verstehen lassen, so ist die Motivation der Austauscheigenschaft weniger offensichtlich.

Man kann sich diese wie folgt veranschaulichen: Durch Anwendung der Austauscheigenschaft lassen sich Punkte einer unabhängigen Menge   zu einer (kleineren) unabhängigen Menge   hinzufügen. Deshalb spricht man auch von der Vergrößerungseigenschaft (von engl. augmentation property). Von der so erzeugten Menge weiß man, dass sie ebenfalls wieder unabhängig ist. Sie enthält nun zwar Elemente der Menge  , allerdings wurden im Vergleich zu dieser die übrigen enthaltenen Punkte durch Elemente aus   ersetzt. Dies begründet wiederum den Namen Austauscheigenschaft.[19]

BasisaxiomeBearbeiten

Eine Basis ist ein bezüglich der Mengeninklusion   maximales Element des Mengensystems  . Durch eine Menge   aller maximal unabhängigen Mengen lässt sich ein Matroid   effizienter spezifizieren als durch die Aufführung aller unabhängigen Mengen.

Für eine Grundmenge   und eine Menge   der Basen ist das geordnete Paar   ein Matroid, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:[20]

(B1)  
(B2) Für Basen   und   von   und jedes   gibt es ein  , sodass  .

Die Bedingung (B2) wird auch als der verallgemeinerte Austauschsatz von Steinitz bezeichnet. Sind die Basen   eines Matroids gegeben, lassen sich die unabhängigen Mengen   als Menge aller Teilmengen von Basen aus   herleiten.

Zwei Basen eines Matroids besitzen stets dieselbe Kardinalität: Wenn   und   Basen eines Matroids   sind, dann gilt  .

Beweis: Man nehme an, dass  . Da   und   beide unabhängig in   sind, impliziert (I3), dass es ein Element   aus   gibt, so dass  . Dies widerspricht der Maximalität von  , also  . Auf gleiche Weise lässt sich   zeigen und daraus folgt  

KreisaxiomeBearbeiten

 
Axiom C3: In der Vereinigung von   (rot) und   (grün) ist ein Kreis   enthalten, der eine gemeinsame Kante   (rot-grün gestrichelt) nicht enthält.

Eine inklusionsminimale abhängige Teilmenge eines beliebigen Matroids   wird Kreis genannt. Die Menge der Kreise von   wird mit   oder   bezeichnet. Ein Kreis   ist also nicht unabhängig, aber jede echte Teilmenge von   ist unabhängig. Ein Kreis von   mit n Elementen wird auch n-Kreis genannt. Offensichtlich kann   aus   bestimmt werden und umgekehrt   aus  .

Für eine Grundmenge   und eine Menge   der Kreise ist das geordnete Paar   ein Matroid  , wenn   folgende Axiome erfüllt:[21]

(C1)  .
(C2) Wenn   und  , dann folgt  .
(C3) Für alle   mit   und   gibt es  , sodass  .

Die minimal abhängigen Teilmengen eines Matroides bilden stets ein Kreissystem. Besonders anschaulich wird dies in graphischen Matroiden, da dort die Elemente von   die Kreise des zugrundeliegenden Graphen enthalten, woher auch die Bezeichnung stammt. Die Eigenschaft (C3) wird auch (schwaches) Kreiseliminationsaxiom genannt: Zu je zwei verschiedenen Kreisen   und   und einem Element   aus dem Schnitt dieser beiden Kreise, gibt es einen dritten Kreis  , der in den beiden Kreisen   und   enthalten ist und das gewählte Element   aus dem Schnitt vermeidet.[22]

Axiome der RangfunktionBearbeiten

Sei   ein Matroid und  . Sei nun   definiert als  . Das Paar   ist wiederum ein Matroid. Dieses wird Restriktion von   auf   genannt und mit   oder   gekennzeichnet. Man sagt auch, dass   aus   gelöscht wird.

Für ein Matroid   definiert man seine Rangfunktion   als

  für ein  .

Der Rang eines Matroids   ist also die Mächtigkeit einer (und damit jeder) Basis   von  . Er soll eine Art „Dimension“ eines Matroids beschreiben. Der Rang einer Teilmenge   eines Matroids   entspricht der Mächtigkeit einer (und damit aller) maximal unabhängiger Elemente der Restriktion von   auf  . Man beachte, dass eine Restriktion   stets durch Löschen der Teilmenge   aus der Grundmenge   entsteht.[23]

Mit Hilfe von Rangfunktionen lässt sich nun ein weiteres äquivalentes Axiomensystem für Matroide entwickeln. Es seien   ein Matroid und   dessen Rangfunktion, dann gilt:

(R1) Wenn  , dann  .
(R2) Wenn  , dann  .
(R3) Für alle   gilt:  .

Die Rangfunktion   ist somit nicht-negativ und subkardinal (R1), monoton (R2) und submodular (R3). Die letzte Eigenschaft erinnert außerdem an die Dimensionsformel aus der linearen Algebra.

Unabhängige Mengen, Basen und Kreise können relativ einfach durch die Rangfunktion charakterisiert werden. Sei   ein Matroid mit Rangfunktion   und sei  . Dann gilt

  •   ist unabhängig genau dann wenn  ;
  •   ist eine Basis genau dann wenn  ; und
  •   ist ein Kreis genau dann wenn   nicht leer ist und für alle   in   gilt  .

Axiome des HüllenoperatorsBearbeiten

Die lineare Hülle   einer Teilmenge   eines Vektorraums   über einem Körper   ist die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren aus   mit Skalaren aus  . Die lineare Hülle bildet einen Untervektorraum, der gleichzeitig der kleinste Untervektorraum ist, der   enthält. Ist z. B. die Menge   von Vektoren des Vektorraums   gegeben, dann wirken sich sämtliche Vektoren des Untervektorraums   invariant gegenüber der Dimension   aus. Die Dimension wird durch diese Vektoren also nicht vergrößert.[24]

Mit dem Hüllenoperator (auch Abschlussoperator)   werden nun diejenigen Elemente   eines Matroids   ausgezeichnet, die den Rang gegenüber einer Teilmenge   nach Hinzufügen eines der Elemente nicht verändern:

 

Der Hüllenoperator eines Matroids   auf einer Grundmenge   hat nun folgende Eigenschaften:

(CL1) Wenn  , dann  .
(CL2) Wenn  , dann  .
(CL3) Wenn  , dann  .
(CL4) Wenn  ,   und  , dann  .

Greedy-AlgorithmenBearbeiten

Ein gewichteter Matroid ist ein Matroid mit einer Gewichtsfunktion  . Für diese Matroide berechnen Greedy-Algorithmen stets Basen mit minimalem bzw. maximalem Gewicht. Ein Beispiel ist der Algorithmus von Kruskal zur Berechnung eines minimalen aufspannenden Waldes eines kantengewichteten Graphen.

Ein Unabhängigkeitssystem ist umgekehrt genau dann ein Matroid, wenn ein Greedy-Algorithmus zu jeder Gewichtsfunktion immer Basen mit minimalen/maximalen Gewicht berechnen kann.[19]

Matroide und HyperebenenBearbeiten

Einen wichtigen Zusammenhang zwischen Matroidtheorie und Geometrie und vor allem zwischen Matroiden und endlichen geometrischen Strukturen findet man über den Begriff der Hyperebene. Hierbei bezeichnet man innerhalb eines Matroids   über der Grundmenge   als Hyperebene eine unter dem zugehörigen Hüllenoperator   abgeschlossene echte Teilmenge von  , welche bezüglich dieser Eigenschaft maximal ist.

Eine Hyperebene   von   zeichnet sich also durch zwei Eigenschaften aus:[25]

  1.  
  2.  

Bei Matroiden endlichen Ranges, deren Basismengen   sämtlich dieselbe endliche Kardinalität   haben[26], findet man auch eine weitere Beschreibung der Hyperebenen, welche den Zusammenhang mit dem Hyperebenenbegriff der Geometrie augenfällig werden lässt. Hiernach ist nämlich eine Hyperebene   eines Matroids   charakterisierbar als eine maximale Teilmenge   des Ranges  .[25] Wegen dieses Zusammenhangs ist neben Hyperebene auch die Bezeichnung Copunkt geläufig.[27]

Die Hyperebenen eines Matroids legen dessen Struktur eindeutig fest, da sie per Komplementbildung umkehrbar eindeutig mit den Kreisen des dualen Matroids   verknüpft sind. Auf diesem Wege findet man, dass sich Matroidstrukturen auch festlegen lassen durch Hyperebenensysteme, also durch Systeme von Teilmengen, welchen den folgenden Hyperebenenaxiomen genügen.[28][29]

HyperebenenaxiomeBearbeiten

Ein Teilmengensystem   bildet genau dann das System der Hyperebenen eines Matroids über der Grundmenge  , wenn es den folgenden Bedingungen genügt:

(H1)  
(H2)  
(H3)  

Die ersten beiden Bedingungen besagen, dass   eine Antikette bzgl. der Inklusionsrelation darstellt, welche aus lauter echten Teilmengen von   besteht. Das dritte Axiom formuliert eine Art Überdeckungsbedingung (englisch covering condition)[30]

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Einzelnachweise und FußnotenBearbeiten

  1. a b Hassler Whitney: On the abstract properties of linear dependence. In: Amer. J. Math. 57, 3, 1935, S. 509–533.
  2. a b Leonid Mirsky, Hazel Perfect: Applications of the notion of independence to combinatorial analysis. In: J. Combinatorial Theory. 2, 1967, S. 317–357.
  3. Henry H. Crapo, Gian-Carlo Rota: On the Foundations of Combinatorial Theory: Combinatorial Geometries. Cambridge, MIT Press 1970.
  4. Paul M. Cohn: Universal Algebra. Harper & Row, 1965.
  5. Martin Aigner: Kombinatorik II. S. 15–16.
  6. Bartel Leendert van der Waerden: Moderne Algebra. 2. Auflage. Springer, Berlin 1937.
  7. Hirokazu Nishimura, Susumu Kuroda (Hrsg.): A Lost Mathematician, Takeo Nakasawa: The Forgotten Father of Matroid Theory. Birkhäuser, Basel/ Boston/ Berlin 2009.
  8. Garrett Birkhoff: Abstract linear dependence in lattices. In: Amer. J. Math. 57, 1935, S. 800–801.
  9. Saunders MacLane: Some interpretations of abstract linear dependence in terms of projective geometry. In: Amer. J. Math. 58, 1936, 236–240.
  10. Robert P. Dilworth: Ideals in Birkhoff lattices. In: Trans. Amer. Math. Soc. 49, 1941, S. 325–353; Arithmetic theory of Birkhoff lattices. In: Duke Math. J. 8, 1941, S. 286–299; Dependence relations in a semimodular lattice. In: Duke Math. J. 11, S. 575–587.
  11. Richard Rado: A theorem on independence relations. In: Quart. J. Math. 13, 1942, S. 83–89.
  12. Richard Rado: Axiomatic treatment of rank in infinite sets. In: Canad. J. Math. 1, 1949, S. 337–343.
  13. William Thomas Tutte: A homotropy theory for matroids, I and II. In: Trans. Amer. Math. Soc. 88, 1958, S. 144–174; Matroids and graphs. In: Trans. Amer. Math. Soc. 90, 1959, S. 527–552.
  14. Welsh: Matroids. In: Handbook of Combinatorics. S. 483.
  15. Jack Edmonds, Delbert R. Fulkerson: Transversals and matroid partition. In: J. Res. Nat. Bar. Stand. 69B, 1965, S. 147–153.
  16. D. J. A. Welsh: Matroid Theory. 1976, S. 6.
  17. a b Die einführenden Beispiele orientieren sich an Beispielen aus einer Einführungsvorlesung zum Thema Matroid, die 2007 von Frederico Ardila an der San Francisco State University gehalten wurde. Siehe dazu dieses Video und diese Vorlesungsnotizen.
  18. Die Notation der grundlegenden Definitionen orientiert sich an Oxley: Matroid Theory. S. 7–15.
  19. a b G. Meyer: Vorlesung: Algorithmen und Datenstrukturen 2; Universität Leipzig; Wintersemester 2000; C. Kingsford: CMSC 451: Matroids, When Greed Works (PDF; 93 kB); Lecture Slides; Departement of Computer Science, University of Maryland; 2009; College Park, US-MD.
  20. Für einen Beweis der Kryptomorphie zwischen Unabhängigkeitsaxiomen und Basisaxiomen siehe z. B. Oxley: Matroid Theory. S. 16–18.
  21. Für einen Beweis der Kryptomorphie zwischen Unabhängigkeitsaxiomen und Kreisaxiomen siehe z. B. Oxley: Matroid Theory. S. 9–11.
  22. Für einen Beweis der Kryptomorphie zwischen Unabhängigkeitsaxiomen und Kreisaxiomen siehe Oxley: Matroid Theory. S. 9–10.
  23. Alexander von Felbert: Einführung in die Theorie der Matroide, In: mathematik-netz.de, 28. November 2007, S. 29; Oxley: Matroid Theory. S. 22.
  24. Alexander von Felbert: Einführung in die Theorie der Matroide. 2007, S. 31.
  25. a b D. J. A. Welsh: Matroid Theory. 1976, S. 38.
  26.   nennt man auch den Rang von   und es ist dabei  ; vgl. M. Aigner: Kombinatorik. II. 1976, S. 21.
  27. M. Aigner: Kombinatorik. II. 1976, S. 21.
  28. Nicoletti-White: Axiom Systems. S. 37 ff.
  29. D. J. A. Welsh: Matroid Theory. 1976, S. 35–39.
  30. D. J. A. Welsh: Matroid Theory. 1976, S. 37.