Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)

In der Mathematik, insbesondere der Algebra, versteht man unter Abgeschlossenheit einer Menge bezüglich einer Verknüpfung, dass die Verknüpfung beliebiger Elemente dieser Menge wieder ein Element der Menge ergibt. Beispielsweise ist die Menge der ganzen Zahlen abgeschlossen bezüglich der Addition, Subtraktion und Multiplikation, aber nicht bezüglich der Division. Bei algebraischen Strukturen mit mehreren Verknüpfungen betrachtet man entsprechend die Abgeschlossenheit bezüglich all dieser Verknüpfungen.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine  -stellige innere Verknüpfung auf einer Menge  , das heißt   sei eine Funktion  . Eine nichtleere Teilmenge   heißt nun abgeschlossen bezüglich  , wenn

 

für alle   gilt. Das bedeutet,   eingeschränkt auf den Definitionsbereich   muss auch wieder eine  -stellige innere Verknüpfung auf   sein.

BeispieleBearbeiten

  • Eine Untergruppe ist eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe  , die abgeschlossen bezüglich der Verknüpfung   und der Inversenbildung ist.
  • Ein Untervektorraum ist eine nichtleere Teilmenge eines Vektorraums  , die abgeschlossen ist bezüglich der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation.
  • Allgemein ist eine algebraische Unterstruktur eine (nichtleere) Teilmenge einer algebraischen Struktur, die abgeschlossen bezüglich sämtlichen Verknüpfungen dieser Struktur ist.

Die Wichtigkeit der Abgeschlossenheit bezüglich einer Verknüpfung lässt sich am besten verstehen, wenn man Beispiele betrachtet, in denen sie verletzt ist.

  • So ist   als Unterstruktur der Gruppe   nicht abgeschlossen, also keine Untergruppe. Diese Teilmenge ist zwar bezüglich der Addition abgeschlossen, nicht aber bezüglich der Inversenbildung: mit   gehört   nicht   an.
  • Der Durchschnitt zweier Untervektorräume eines Vektorraums ist stets selbst ein Untervektorraum, jedoch ist die Vereinigung zweier Untervektorräume nicht notwendig ein Untervektorraum. Die Vereinigung ist zwar abgeschlossen bzgl. der skalaren Multiplikation, aber nicht unbedingt bzgl. der Vektoraddition.

VerallgemeinerungBearbeiten

Analog dazu ist eine Teilmenge   auch abgeschlossen gegenüber einer  -stelligen inneren Verknüpfung   auf  , wenn deren Bild in   liegt.

Beispiel:

  • Ist   die Potenzmenge einer unendlichen Menge   und   die Menge aller abgeschlossenen Mengen bezüglich einer T1-Topologie auf  , das heißt   enthält alle (unendlich viele) einelementigen Teilmengen von  , dann ist   eine abgeschlossene Menge bezüglich des mengentheoretischen Durchschnitts   auf  .

Die Eigenschaft, dass eine Verknüpfung   auf einer Menge   stets eindeutig bestimmte Werte in   liefert, bezeichnet man auch als Wohldefiniertheit dieser Verknüpfung.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten