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Verknüpfung (Mathematik)

Rechenoperationen, geometrische, logische und weitere Operationen
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Illustration einer zweistelligen Verknüpfung , die aus den zwei Argumenten und das Ergebnis zurückgibt.

In der Mathematik wird Verknüpfung als ein Oberbegriff für diverse Operationen gebraucht: Neben den arithmetischen Grundrechenarten (Addition, Subtraktion usw.) werden damit etwa auch geometrische Operationen (wie Spiegelung, Drehung u. a.) sowie weitere Rechenoperationen bzw. gelegentlich auch logische Operatoren erfasst. Eine Verknüpfung legt fest, wie mathematische Objekte gleicher oder ähnlicher Art miteinander ein weiteres Objekt bestimmen. Bei einer relativ kleinen Anzahl von Elementen und einer Verknüpfung mit nur wenigen wie beispielsweise zwei Stellen, an denen Elemente als Operanden stehen können, ist diese Festlegung übersichtlich durch eine Verknüpfungstafel möglich, in der z. B. für eine 2-stellige Verknüpfung alle möglichen Paarungen aufgeführt sind und jeweils deren Resultat angegeben wird, das Ergebnis des Rechnens.

Das Wort Verknüpfung wird auch verwendet, um die Hintereinanderausführung (Verkettung) von Funktionen zu bezeichnen.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeine DefinitionBearbeiten

Für eine natürliche Zahl   seien   Mengen   und eine weitere Menge   gegeben. Dann wird jede Abbildung des kartesischen Produkts   nach   als  -stellige Verknüpfung bezeichnet. Eine solche Verknüpfung ordnet also jedem  -Tupel   mit   eindeutig ein Element der Menge   zu. Selbstverständlich können die Mengen   und   teilweise oder ganz übereinstimmen.

Im Sonderfall, dass nur   vorkommt, also   wird die Verknüpfung

 

innere  -stellige Verknüpfung oder  -stellige Operation auf   genannt. Kommt   wenigstens ein Mal unter den   vor, etwa

  und  

für ein   mit   so heißt die Verknüpfung äußere  -stellige Verknüpfung auf   mit Operatorenbereich  . Die Elemente von   heißen dann Operatoren.

Eine innere  -stellige Verknüpfung auf   kann man auch als äußere zweistellige Verknüpfung auf   mit dem Operatorenbereich   betrachten.

Jede  -stellige Verknüpfung kann als  -stellige Relation aufgefasst werden.

BeispieleBearbeiten

  • Die durch
 
definierte Abbildung von   nach   ist eine dreistellige Verknüpfung bzw. innere dreistellige Verknüpfung auf  .
  • Ist   eine Abbildung von   nach  , so ist durch
 
(jedem aus der Abbildung   und einem Element   aus   gebildeten Paar wird das Bild dieses Elementes unter der Abbildung   zugeordnet)
eine äußere zweistellige Verknüpfung auf   mit Operatorenbereich   und dem einzigen Operator   gegeben.

Nullstellige VerknüpfungenBearbeiten

Als eine nullstellige Verknüpfung von einer Menge   nach einer Menge   kann eine Abbildung von   nach   angesehen werden. Es gilt

 

daher lässt sich jede dieser Abbildungen wie folgt angeben:

  für ein  

Jede nullstellige Verknüpfung ist damit konstant und   lässt sich wiederum als die Konstante   auffassen.

Da stets   gilt, kann jede nullstellige Verknüpfung   als innere Verknüpfung auf   betrachtet werden:  

Einstellige VerknüpfungenBearbeiten

Einstellige Verknüpfungen sind Abbildungen einer Menge   nach einer Menge  .

BeispieleBearbeiten

  • Gegeben sei eine Menge  . Für jedes Element   der Potenzmenge  , also für jede Teilmenge   von  , sei definiert:
  (Komplement von  ).
 
ist eine einstellige Verknüpfung.

Zweistellige (binäre) VerknüpfungenBearbeiten

Besonders häufig wird der Begriff „Verknüpfung“ im Sinn einer zweistelligen Verknüpfung verwendet. Wichtige Spezialfälle sind innere und äußere Verknüpfungen. Zweistellige Verknüpfungen werden oft in Infixschreibweise notiert, also durch ein zwischen den beiden Operanden stehendes Symbol wie etwa ein Pluszeichen.

Drei- und mehrstellige VerknüpfungenBearbeiten

Eher selten spricht man von drei- und mehrstelligen Verknüpfungen. Beispiele für eine dreistellige Verknüpfung sind:

  • die Abbildung, die je drei Vektoren aus dem   ihr Spatprodukt (aus  ) zuordnet und
  • die Ternärverknüpfung in einem Ternärkörper.

Partielle VerknüpfungenBearbeiten

Wird in der obigen Definition für (totale) Verknüpfungen der Begriff der (total verstandenen) Abbildung durch partielle Abbildung ersetzt, dann spricht man von einer partiellen Verknüpfung: Es ist dann erlaubt, dass nicht für Parameter (n-Tupel-Kombinationen) ein Verknüpfungswert (d. h. Bildwert, Funktionswert) zugeordnet wird.

Verknüpfungen in der AlgebraBearbeiten

Verknüpfungen dienen in der Algebra dazu, algebraische Strukturen zu definieren. Die Verknüpfungen müssen dabei bestimmte Bedingungen (Axiome) erfüllen. Bei partiellen Algebren sind auch partielle Verknüpfungen zugelassen.

Zum Beispiel ist eine Halbgruppe eine Menge mit einer inneren zweistelligen Verknüpfung, die das Assoziativgesetz erfüllt. Die Forderung, dass das Ergebnis der Verknüpfung wieder Element der gegebenen Menge sein soll (Abgeschlossenheit), ist bereits in der Definition der inneren Verknüpfung enthalten.

WeblinksBearbeiten

  Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Verknüpfung – Lern- und Lehrmaterialien