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Operator (Mathematik)

Vorschrift mit der aus mathematischen Objekten neue Objekte gebildet werden können

Ein Operator ist eine mathematische Vorschrift (ein Kalkül), durch die man aus mathematischen Objekten neue Objekte bilden kann. Er kann eine standardisierte Funktion oder eine Vorschrift über Funktionen sein. Anwendung finden die Operatoren bei Rechenoperationen, also bei manuellen oder bei maschinellen Berechnungen.

Einige Operatoren für die vier Grundrechenarten: Plus, Minus, Mal und Geteilt.

Inhaltsverzeichnis

OperatorBearbeiten

Standardisierte Operatoren werden in der Mathematik meist dann definiert, wenn es sich um eine häufige, immer wiederkehrende Vorschrift handelt, meist eine ein- oder zweistellige Verknüpfung. Die Argumente dieser Verknüpfung heißen Operanden. Die Operatoren werden durch ein spezielles, kennzeichnendes mathematisches Symbol (ein spezielles Schriftzeichen der Formelschreibweise) dargestellt.[1]

Beispiele:

OperandBearbeiten

Die Argumente, auf die man einen Operator anwendet, heißen Operanden. Beim Ausdruck   sind also die Zahlen   und   die Operanden, die mit dem zweiseitigen Operator   verknüpft sind.

Operatoren in der FunktionalanalysisBearbeiten

In der Funktionalanalysis hat man es mit Vektorräumen zu tun, deren Elemente selbst Funktionen sind. Um die Elemente dieser Vektorräume besser von den Abbildungen zwischen solchen Vektorräumen zu unterscheiden, nennt man letztere auch Operatoren. Abbildungen von Funktionenräumen in den Körper der reellen oder komplexen Zahlen heißen auch Funktional.[2] Spezielle Klassen von Operatoren sind etwa kompakte Operatoren oder Fredholm-Operatoren.

BeispieleBearbeiten

Bekannte Beispiele für Operatoren, die einer Funktion eine Zahl oder eine andere Funktion zuordnen, sind:

Lineare und nichtlineare OperatorenBearbeiten

In Funktionalanalysis betrachtet man Eigenschaften von Abbildungen zwischen (unendlichdimensionalen) Banachräumen. Lineare Abbildungen heißen lineare Operatoren, nichtlineare Abbildungen werden nichtlineare Operatoren genannt.

Operatoren der PhysikBearbeiten

Observablen in der Quantenmechanik sind Operatoren. Sie werden meist nach der zu messenden Größe benannt: der Operator zur Ortsmessung heißt dann der Ortsoperator  . Entsprechend gibt es den Impulsoperator  , den Spinoperator   usw.

Der Operator zur Energie wird Hamilton-Operator genannt und mit   bezeichnet. Er kommt insbesondere in der Schrödinger-Gleichung   vor.

Der Dichteoperator   gibt für ein Ensemble die Wahrscheinlichkeit an, mit der sich ein herausgegriffenes System in einem bestimmten Zustand befindet.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Formelzeichen, Formelsatz, Mathematische Zeichen und Begriffe. DIN-Taschenbuch 202. 1994-07.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Alonzo Church: Introduction to Mathematical Logic. Princeton University Press, 1996, ISBN 0-691-02906-7, S. 39 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Klaus Deimling: Nichtlineare Gleichungen und Abbildungsgrade. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York 1974, ISBN 3-540-06888-0.