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Dirac-Operator

Quadratwurzel aus dem Laplace-Operator

In der Mathematik ist der Dirac-Operator ein Differentialoperator, der in einem noch zu definierenden Raum eine Quadratwurzel aus dem Laplace-Operator ergibt. In der Physik ist er abstrakter definiert: Als Wurzel des algebraisch definierten Impulsquadrates (siehe Mathematische Struktur der Quantenmechanik), im vierdimensionalen Raum der Einsteinschen Speziellen Relativitätstheorie, dem Minkowskiraum, der mit dem Dirac-Operator eine mit dieser Theorie verträgliche Quantenmechanik ergibt. (Die nichtrelativistische Quantenmechanik war bereits gefunden.)

Namensgebend ist der Physiker Paul Dirac, der das Problem und seine Lösung bereits 1928 behandelte – die Mathematiker haben es erst Jahrzehnte später „wiederentdeckt“ und vertieft.

DefinitionBearbeiten

Es sei   ein geometrischer Differentialoperator erster Ordnung, der auf ein Vektorbündel   über einer riemannschen Mannigfaltigkeit   wirkt. Wenn dann

 

gilt, wobei   ein verallgemeinerter Laplace-Operator auf   ist, so heißt   Dirac-Operator.[1]

GeschichteBearbeiten

Ursprünglich hatte Paul Dirac die Wurzel aus dem D’Alembertoperator   betrachtet und damit die relativistische Quantenfeldtheorie eines Elektrons begründen wollen. Wenig später stellte sich heraus, dass er damit „in ein Wespennest gestoßen hatte“, indem sich die Theorie als sehr viel umfangreicher herausstelle als gedacht: Insbesondere ergab sich auch die Notwendigkeit, sog. Antiteilchen zu den Elektronen zu beschreiben, die Positronen, und heutzutage ist die aus der diracschen Arbeit entstandene Theorie, die Quantenfeldtheorie, noch viel allgemeiner.

Dirac betrachtete für n=4 den Differentialausdruck

 

wobei   die Dirac-Matrizen sind. Dies ergab den Dirac-Operator, indem die Matrizen gewisse Vertauschungsrelationen zu erfüllen hatten (es gibt verschiedene äquivalente Darstellungen): Der Dirac-Ausdruck selbst ist jedoch nach heutigem Verständnis in der Mathematik nur dann ein Operator, wenn man ihn durch explizite Angaben über die Randbedingungen ergänzt.[2] (In der Physik sind die notwendigen Änderungen meist trivial, sodass man oft vergisst, explizit zu erwähnen, dass man hinreichend rasches Verschwinden im Unendlichen voraussetzt. Deshalb werden bei den bei Physikern oft die Differentialausdrücke selbst als „Operatoren“ bezeichnet.)

Der Dirac-Operator eines Dirac-BündelsBearbeiten

Es sei   eine riemannsche Mannigfaltigkeit und   ein Dirac-Bündel, bestehend aus einem Clifford-Modul   einer hermiteschen Metrik   auf   und einem Clifford-Zusammenhang   auf  . Dann ist der Operator

 

der zum Dirac-Bündel   assoziierte Dirac-Operator. In lokalen Koordinaten hat er die Darstellung

 

BeispieleBearbeiten

Elementares BeispielBearbeiten

Der Operator   ist ein Dirac-Operator über dem Tangentialbündel von  .

Spin-Dirac-OperatorBearbeiten

Betrachtet werde der Konfigurationsraum eines Teilchens mit Spin 1/2, das auf die Ebene   beschränkt ist, welche die Basis-Mannigfaltigkeit bildet. Der Zustand wird durch eine Wellenfunktion ψG mit zwei komplexen Komponenten beschrieben, für die also jeweils   gelten soll, wobei Gesamtzustände, die sich nur um einen komplexen Faktor unterscheiden, identifiziert werden. Der Gesamtzustand ist also:

 

Dabei sind   und   die üblichen kartesischen Koordinaten auf  :   definiert die Wahrscheinlichkeitsamplitude für die aufwärts gerichteten Spin-Komponente (Spin-Up), und analog   für die Spin-Down-Komponente. Der sogenannte Spin-Dirac-Operator kann dann geschrieben werden als

 

wobei σx und σx die Pauli-Matrizen sind. Man beachte, dass die antikommutativen Beziehungen der Pauli-Matrizen einen Beweis der obigen Definition trivial machen. Diese Beziehungen definieren den Begriff der Clifford-Algebra#Beispiele am Beispiel der Quaternionen-Algebra. Lösungen der Dirac-Gleichung für Spinor-Felder werden oft harmonische Spinoren genannt[3].

Hodge-De-Rham-OperatorBearbeiten

Sei   eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit und sei   die äußere Ableitung und   der zur äußeren Ableitung bezüglich der L²-Metrik adjungierte Operator. Dann ist

 

ein Dirac-Operator.[4]

Atiyah-Singer-Dirac-OperatorBearbeiten

Es gibt auch einen Dirac-Operator in der Clifford-Analysis. Im n-dimensionalen euklidischen Raum ist das

 ,

wobei

 

eine Orthonormalbasis des euklidischen Raumes ist und   als in eine Clifford-Algebra eingebettet gilt. Dies ist ein Spezialfall des Atiyah-Singer-Dirac-Operators, der auf den Schnitten eines Spinorbündels wirkt.

Für eine Spin-Mannigfaltigkeit  , ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator lokal folgendermaßen definiert: Für   und   eine lokale Orthonormalbasis für den Tangentenraum von   in   ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator

 ,

wobei   ein Paralleltransport des Levi-Civita-Zusammenhangs auf   für das Spinorbündel über   ist.

PhysikBearbeiten

In der Physik befasst man sich wegen der Betonung des Minkowski-Raumes hauptsächlich mit dem Spezialfall n=4 und mit speziellen 4x4-Darstellungen der γ-Matrizen.

EigenschaftenBearbeiten

Das Hauptsymbol eines verallgemeinerten Laplace-Operators ist  . Entsprechend ist das Hauptsymbol eines Dirac-Operators   und somit sind beide Klassen von Differentialoperatoren elliptisch.[5]

VerallgemeinerungenBearbeiten

Der Operator  , der auf die nachfolgend definierten spinorwertige Funktionen wirkt,

 

wird in der Clifford-Analysis oft als Dirac-Operator in k CliffordVariablen genannt. In dieser Notation ist S der Raum von Spinoren,   sind n-dimensionale Variablen und   ist der Dirac-Operator in der  -ten Variablen. Dies ist eine gebräuchliche Verallgemeinerung des Dirac-Operators (k=1) und der Dolbeault-Kohomologie (n=2, k beliebig). Er ist ein Differentialoperator, der invariant zu der Operation der Gruppe   ist. Die Injektive Auflösung von D ist nur für einige Spezialfälle bekannt.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

ReferenzenBearbeiten

  1. Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270853-3, S. 498
  2. Herbert Schröder: Funktionalanalysis. 2. korr. Auflage. Harri Deutsch, 2000, ISBN 3-8171-1623-3, S. 364.
  3. D. V. Alekseevskii (originator): Spinor structure. Encyclopedia of Mathematics
  4. Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270853-3, S. 499
  5. H. B. Lawson, M. Michelson: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0-691-08542-5, S. 113.