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Vektorbündel

Familien von Vektorräumen, die durch die Punkte eines topologischen Raumes parametrisiert sind
Die obere Grafik zeigt den Kreis mit einigen seiner Tangentialräume. Die zweite Grafik fasst die Tangentialräume zum Tangentialbündel, einem besonderen Vektorbündel zusammen.

Vektorbündel oder manchmal auch Vektorraumbündel sind Familien von Vektorräumen, die durch die Punkte eines topologischen Raumes parametrisiert sind. Vektorbündel gehören damit auch zu den Faserbündeln. Existiert zu jedem Vektorraum des Vektorbündels eine Menge von Basen, so kann auch diese Menge ein Faserbündel bilden. Man spricht dann von Rahmen- oder auch Reperbündeln.[1] Diese speziellen Faserbündel sind zugleich auch Hauptfaserbündel.

Anschaulich besteht ein Vektorbündel aus je einem Vektorraum für jeden Punkt des Basisraumes. Da Vektorräume gleicher Dimension jedoch stets isomorph sind, liegt die wesentliche Information in den Beziehungen zwischen diesen Vektorräumen. Das bekannteste Beispiel für ein Vektorbündel ist das Tangentialbündel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Der Zusammenhang zwischen den verschiedenen Tangentialräumen, also den Vektorräumen zu den einzelnen Punkten, äußert sich beispielsweise in der Frage, ob ein Vektorfeld differenzierbar ist.

Die Frage, wie Vektorbündel auf einem Raum aussehen können, hängt eng mit globalen topologischen Eigenschaften des Raumes zusammen. Nicht-isomorphe Vektorbündel können oft durch ihre charakteristischen Klassen unterschieden werden.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionenBearbeiten

VektorbündelBearbeiten

 
Illustration des Vektorbündels  . Hier ist der Totalraum   und der Basisraum  . Die Abbildung   projiziert jede Gerade   auf den Punkt  . Der Raum   wird Faser über   genannt. Außerdem ist der Totalraum   die Vereinigung aller Fasern.[2]

Sei   ein reeller beziehungsweise komplexer n-dimensionaler Vektorraum. Ein reelles beziehungsweise komplexes Vektorbündel vom Rang   ist ein Tripel  , bestehend aus topologischen Räumen   (Totalraum) und   (Basis) sowie einer stetigen surjektiven Abbildung  , so dass gilt:

  • Für jeden Punkt   von   trägt die Faser   von   über   die Struktur eines reellen beziehungsweise komplexen n-dimensionalen Vektorraums.
  • „Lokale Trivialität“: Zu jedem Punkt   existiert eine Umgebung   von   und ein Homöomorphismus
 ,
der mit   kompatibel ist, das heißt  , und für den
 
für jedes   in   ein Isomorphismus von Vektorräumen ist. Dabei bezeichnet   die Projektion auf den ersten Faktor. Ein solches   heißt lokale Trivialisierung.

Ein Vektorbündel   heißt trivial, wenn es eine Trivialisierung mit   gibt.   ist ein triviales Vektorbündel.

In verkürzter Ausdrucksweise spricht man oft vom "Vektorbündel  ", womit das Tripel   implizit benannt wird.

GeradenbündelBearbeiten

Ein Vektorbündel mit Rang 1 wird Geradenbündel (als Fehlübersetzung aus dem Englischen auch Linienbündel) genannt.

BeispieleBearbeiten

 
Das Möbiusband als ein Vektorbündel über dem Kreis

Homomorphismus von VektorbündelnBearbeiten

HomomorphismusBearbeiten

Ein Vektorbündelhomomorphismus von dem Vektorbündel   in das Vektorbündel   ist ein Paar   von stetigen Abbildungen   und  , so dass

  •   gilt und
  •   für alle   eine lineare Abbildung ist.

Oftmals wird ein Vektorbündelhomomorphismus kurz als Bündelhomomorphismus oder als Homomorphismus bezeichnet.

IsomorphismusBearbeiten

Ein Vektorbündelhomomorphismus   von   nach   ist ein Vektorbündelisomorphismus, falls   und   Homöomorphismen sind und die induzierte lineare Abbildung   ein Vektorraumisomorphismus ist.

BeispielBearbeiten

Betrachtet man den Kreis   als Mannigfaltigkeit, dann ist das Tangentialbündel   vom   isomorph zu dem trivialen Vektorbündel  . Der Homöomorphismus zwischen den Basisräumen ist die identische Abbildung und der zwischen den Totalräumen lautet

 

für   und  .

UnterstrukturenBearbeiten

UntervektorbündelBearbeiten

Mit   werden die Fasern des Vektorbündels   am Punkt   bezeichnet. Ein Untervektorbündel des Vektorbündels   besteht aus einem topologischen Teilraum   bestehend aus einer Familie von Untervektorräumen   von  , so dass   ein eigenes Vektorbündel ist.

Eingeschränktes VektorbündelBearbeiten

Mit   werden wieder die Fasern des Vektorbündels   am Punkt   bezeichnet und   bezeichnet einen topologischen Teilraum. Das auf   eingeschränkte Vektorbündel   ist definiert durch

 .

Das eingeschränkte Vektorbündel ist ein eigenständiges Vektorbündel bezüglich des topologischen Teilraums  .

Konstruktionen mit VektorbündelnBearbeiten

Zurückgezogenes VektorbündelBearbeiten

Für ein Vektorbündel   und eine stetige Abbildung   definiert man das zurückgezogene Vektorbündel (engl.: "pull-back" oder "induced bundle", siehe auch Rücktransport) als das Bündel über   mit Totalraum

 

und Projektion  . Die Vektorraum-Struktur wird definiert durch  . Man kann zeigen, dass dies wieder ein lokal triviales Vektorbündel definiert.

Für die durch   definierte Abbildung   gilt also   und für jedes   induziert   einen Vektorraum-Isomorphismus  .

Für jede Bündelabbildung   hat man einen Isomorphismus  , wobei   die zu   gehörende Abbildung der Basen ist.

Direktes Produkt, Whitney-Summe, TensorproduktBearbeiten

Für zwei Vektorbündel   definiert man das direkte Produkt als

 

wobei jede Faser   mit der Vektorraum-Struktur als direkte Summe der Vektorräume   und   versehen wird.

Seien jetzt   Vektorbündel über derselben Basis, also  . Ihre Whitney-Summe wird dann mit Hilfe der Diagonal-Abbildung   definiert als zurückgezogenes Bündel

 .

Die Whitney-Summe ist also gerade das Vektorbündel über  , dessen Faser über   die direkte Summe   ist.

Analog wird das Tensorprodukt   definiert als das Vektorbündel, dessen Faser über   das Tensorprodukt   ist.

Weitere Objekte bei VektorbündelnBearbeiten

SchnittBearbeiten

Ist   eine offene Teilmenge von  , so heißt eine Abbildung

 

für die   gilt, ein Schnitt von   über  . Die Menge   aller Schnitte von   über   bildet einen Vektorraum.

RahmenBearbeiten

Unter einem Rahmen (englisch frame, französisch repère) versteht man eine Art Basis eines Vektorbündels. Es handelt sich um n linear unabhängige Vektoren zu jeder Faser. Diese Vektoren bilden also an jedem Punkt eine Basis der Faser. Präzise bedeutet dies:

Sei   ein Vektorbündel mit Rang   und sei   eine offene Teilmenge des Basisraums. Ein lokales Reper oder Rahmen von   über   ist ein geordnetes n-Tupel  . Dabei ist für alle i   ein Schnitt in   über  , so dass   eine Basis der Faser   für alle   bildet. Falls man   wählen kann, so spricht man von einem globalen Rahmen.

Vektorbündel mit zusätzlichen StrukturenBearbeiten

Differenzierbares VektorbündelBearbeiten

Sei   ein Vektorbündel. Sind   und   differenzierbare Mannigfaltigkeiten und sind die Projektion   sowie die Trivialisierungen   differenzierbar, so heißt das Vektorbündel differenzierbar. Es heißt glatt, wenn die Mannigfaltigkeiten glatt sind und die Abbildungen beliebig oft differenzierbar sind.

Holomorphes VektorbündelBearbeiten

Ein holomorphes Vektorbündel ist ein komplexes Vektorbündel   über einer komplexen Mannigfaltigkeit  , so dass der Totalraum   eine komplexe Mannigfaltigkeit und die Projektion   eine holomorphe Abbildung ist.

G-VektorbündelBearbeiten

Sei   eine Gruppe. Wenn   und   G-Räume sind, dann ist ein Vektorbündel   ein G-Vektorbündel falls die Gruppenwirkung

 

für alle   eine lineare Abbildung ist.[3]

Klassifizierender Raum und klassifizierende AbbildungBearbeiten

Der klassifizierende Raum für  -dimensionale reelle Vektorbündel ist die Graßmann-Mannigfaltigkeit der  -dimensionalen Unterräume im  , diese wird als   bezeichnet. Das bedeutet: jedes  -dimensionale reelle Vektorbündel   ist von der Form   für eine stetige Abbildung   (die sogenannte klassifizierende Abbildung des Bündels) und das tautologische Bündel  , und zwei Bündel sind isomorph genau dann, wenn ihre klassifizierenden Abbildungen homotop sind.

Analog ist  , die Graßmann-Mannigfaltigkeit der  -dimensionalen Unterräume im  , der klassifizierende Raum für  -dimensionale komplexe Vektorbündel.

Stabile VektorbündelBearbeiten

Zwei Vektorbündel   und   heißen stabil äquivalent, wenn es triviale Vektorbündel   (nicht notwendig derselben Dimension) mit

 

gibt. Die Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation werden als stabile Vektorbündel bezeichnet. (Diese Definition steht in keinem Zusammenhang mit dem Begriff der stabilen Vektorbündel in der Algebraischen Geometrie.)

Es seien   und   die aufsteigenden Vereinigungen (d. h. die Kolimiten bzgl. der mittels   definierten Inklusionen   und  ), dann kann man zu einem Vektorbündel   und seiner klassifizierenden Abbildung   bzw.   die Komposition mit der Inklusion   bzw.   betrachten. Zwei Vektorbündel sind genau dann stabil äquivalent, wenn die entsprechenden Abbildungen   bzw.   homotop sind.

Vektorbündel in der algebraischen GeometrieBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Für (algebraische) Vektorbündel in der algebraischen Geometrie sind   und   Schemata,   ist für alle Punkte   von   ein  -Vektorraum, und die lokalen Trivialisierungen sind Isomorphismen

 

Meist ist mit „Vektorbündel“ in der algebraischen Geometrie jedoch eine lokal freie Garbe gemeint (s. u.).

Lokalfreie GarbeBearbeiten

Es sei   ein lokal geringter Raum, z. B. ein topologischer Raum mit der Garbe der stetigen reell- oder komplexwertigen Funktionen, eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit der Garbe der  -Funktionen oder ein Schema.

Eine lokal freie Garbe ist ein  -Modul  , der lokal isomorph zu einem freien  -Modul ist, d. h.   kann durch offene Mengen   überdeckt werden, für die   isomorph zu einer direkten Summe von Kopien von   ist.

Lokalfreie Garben und VektorbündelBearbeiten

Die beiden folgenden Konstruktionen liefern im Fall von topologischen Räumen oder differenzierbaren Mannigfaltigkeiten eine Äquivalenz der Kategorien von lokal freien Garben sowie Vektorbündeln auf   (der Einfachheit der Notation halber ist der Fall von reellen Vektorbündeln über einem topologischen Raum beschrieben):

  • Einem Vektorbündel wird die Garbe seiner Schnitte zugeordnet.
  • Einer lokal freien Garbe   wird die disjunkte Vereinigung   ihrer Fasern   zugeordnet. Wir wählen eine offene Überdeckung   von  , so dass   auf jedem   trivial wird. Eine Trivialisierung definiert   nirgends verschwindende Schnitte von   über  , die fasernweise eine Basis bilden. Diese definieren eine Abbildung
 ,
und wir definieren die Topologie auf   dadurch, dass wir fordern, dass diese Abbildungen Homöomorphismen sind. Sie ist wohldefiniert, da sich diese Abbildungen über dem Schnitt zweier Mengen   und   nur um einen Homöomorphismus (genauer gesagt einen stetig variierenden Vektorraumautomorphismus von  ) unterscheiden.

Im Fall der algebraischen Geometrie ist diese Konstruktion etwas einfacher: das Bündel zu einer lokalfreien Garbe   ist

 

dabei bezeichnet   die symmetrische Algebra und   das Algebrenspektrum.

Weiterführende BegriffeBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Vector bundles – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. 1. Auflage. Vieweg, 1997, ISBN 3-528-06926-0.
  2. John Baez, Javier P. Muniain: Gauge fields, knots and gravity (= Series on knots and everything. 4). World Scientific, Singapore u. a. 1994, ISBN 981-02-2034-0, S. 200.
  3. Graeme Segal: Equivariant K-theory