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Spinor

mathematisches Objekt der Differentialgeometrie

Ein Spinor ist in der Mathematik, und dort speziell in der Differentialgeometrie, ein Vektor in einer kleinsten Darstellung einer Spin-Gruppe. Die Spin-Gruppe ist isomorph zu einer Teilmenge einer Clifford-Algebra. Jede Clifford-Algebra ist isomorph zu einer Teil-Algebra einer reellen, komplexen oder quaternionischen Matrix-Algebra. Diese hat eine kanonische Darstellung durch Spaltenvektoren, die Spinoren.

Ein Spinor ist in der Physik meist ein Vektor einer 2-dimensionalen komplexen Darstellung der Spin-Gruppe , die zur Gruppe der Lorentz-Transformationen des Minkowski-Raums gehört. Wichtig ist hier vor allem das Drehverhalten.

Geschichte der SpinorenBearbeiten

Élie Cartan klassifizierte 1913[1] die irreduziblen komplexen Darstellungen einfacher Liegruppen.[2] Er fand neben den bekannten Tensordarstellungen auch eine neue zweiwertige Darstellung in Form der Spinoren (und sagte vorher, dass diese die anderen Darstellungen aufbauen könnten), speziell für lineare Darstellungen der Drehgruppen. Später erschien sein Lehrbuch über Spinoren[3]. Ihre Bedeutung insbesondere in der Physik wurde aber erst nach Entdeckung der Diracgleichung durch Paul Dirac 1928 erkannt (sie ermöglichten es ihm eine Gleichung 1. Ordnung, die Diracgleichung, als Linearisierung einer Gleichung 2. Ordnung, der Klein-Gordon-Gleichung, zu gewinnen). Paul Ehrenfest wunderte sich, warum die Darstellung bei Dirac (mit der relativistisch kovarianten Diracgleichung) vierdimensional war, in der zuvor für den Spin im Rahmen der nichtrelativistischen Quantenmechanik aufgestellten Pauli-Gleichung von Wolfgang Pauli, in der er auch seine Pauli-Matrizen einführte, dagegen zweidimensional. Ehrenfest prägte für die neuartigen Größen 1928 den Namen Spinor[4] und beauftragte Bartel Leendert van der Waerden, diese mathematisch zu untersuchen, eine Untersuchung die Van der Waerden 1929 veröffentlichte.[5]

Dirac arbeitete bei seiner Einführung der Spinoren weitgehend unabhängig, nach seinen eigenen Worten auch unabhängig von Pauli in der Verwendung der Pauli-Matrizen. Pauli selbst wurde 1927 in der mathematischen Interpretation seiner Gleichung wesentlich von Pascual Jordan unterstützt[6] (der ihn auf den Zusammenhang mit Quaternionen hinwies).

Die Arbeiten von Dirac waren im Rahmen der Lorentzgruppe, den Zusammenhang mit Spinoren im euklidischen Raum stellte Cartan in seinem Buch 1938 her und Richard Brauer und Hermann Weyl in einem Aufsatz 1935 (unter Verwendung von Clifford-Algebren).[7] Die algebraische Theorie der Spinoren im Rahmen von Clifford-Algebren setzte Claude Chevalley in seinem Lehrbuch 1954 fort.[8]

Von Bedeutung in der Differentialgeometrie wurden sie vor allem durch das Atiyah-Singer-Indextheorem Anfang der 1960er Jahre.[9]

Spinoren der QuantenphysikBearbeiten

Struktur der Gruppe Spin(1,3)Bearbeiten

Die Spin-Gruppe   ist eine Teilmenge des geraden Teils   der Clifford-Algebra  . Die gesamte Algebra – als  -Vektorraum hat sie 16 Dimensionen – wird von den vier kanonischen Basisvektoren  ,  ,  ,   des 4-dimensionalen Minkowski-Raums   mit quadratischer Form (in Koordinaten dieser Basis)   erzeugt. Dementsprechend antikommutieren die Produkte verschiedener Basisvektoren; für ihre Quadrate gilt  , also  ,  .

Die (als  -Vektorraum 8-dimensionale) Unteralgebra   der geraden Elemente wird erzeugt von zweifachen Produkten, die   enthalten:  ,  ,  . Diese antikommutieren ebenfalls; ihre Quadrate haben den Wert 1.

Eine Basis von   besteht beispielsweise aus dem Einselement, den   und den nachfolgend beschriebenen vier Elementen   und  :

Die fehlenden zweifachen Produkte (d. h. die, die   nicht enthalten) bilden eine „doppelt gerade“ Unteralgebra, die von geraden Produkten der   erzeugt wird:

 
 
 

Die Quadrate der   haben der Wert -1, und jedes der   ist (eventuell bis aufs Vorzeichen) das Produkt der beiden anderen, also   usw. Die von den   erzeugte Unteralgebra ist isomorph zur Algebra der Quaternionen. Mit Rücksicht auf die Pauli-Matrizen identifizieren wir  ,  ,  ; Genaueres weiter unten.

Unter den Basisvektoren der geraden Unteralgebra fehlt noch das Volumenelement

 

Dieses kommutiert mit der gesamten geraden Unteralgebra, es gilt  .

Isomorphe MatrixalgebraBearbeiten

Es ist leicht zu sehen, dass   die gerade Unteralgebra erzeugen und dass der ungerade Teil der Algebra als   zu erhalten ist. Insgesamt gilt:

  •   und   erzeugen jeweils zu den Quaternionen isomorphe Unteralgebren,
  • diese Unteralgebren kommutieren miteinander und
  • spannen zusammen die gesamte Algebra auf.

Dies liefert den Isomorphismus  

 ,

der eingeschränkt einen Isomorphismus

 

ergibt.

Es sei im Folgenden immer  , wobei   eine imaginäre Einheit der Quaternionen ist. Dann kann der Isomorphismus wie folgt definiert werden:

 
 

Als Folge daraus ergeben sich mit   und  

 
 

Darstellung in den Quaternionen, Majorana-SpinorenBearbeiten

Es gibt einen Isomorphismus  , der einem Tensorprodukt   die Abbildung   zuordnet. Damit ist   eine quaternionisch eindimensionale oder reell vierdimensionale Darstellung der gesamten Clifford-Algebra. Als letzteres hat sie den Namen Majorana-Spinor-Darstellung, nach Ettore Majorana.

Darstellung in den komplexen Zahlen, Weyl-SpinorenBearbeiten

Wir definieren eine bijektive Abbildung   als  . Diese Abbildung ist reell linear und komplex rechts antilinear, d. h.  . Sei   die Koordinatenabbildung. Damit definieren wir

 , durch  ,

d. h. einem Element   aus   wird die Abbildung, die durch

 

gegeben ist, zugeordnet. Dabei ist z. B.

 .

Die Matrix dieser Abbildung ist die erste Pauli-Matrix  , analog gilt   und  .

Somit ist   eine komplex zweidimensionale Darstellung der geraden Unteralgebra und damit auch der  -Gruppe. Diese Darstellung von   heißt Weyl-Spinor-Darstellung, benannt nach Hermann Weyl (siehe auch: Pauli-Matrizen).

Zu dieser gibt es eine konjugierte Darstellung  , wobei  

Weyl-, Dirac- und Majorana-SpinorenBearbeiten

Eine treue Darstellung ist eine Einbettung der Algebra in eine Matrixgruppe, oder generell in die Endomorphismengruppe eines Vektorraums. Dabei sollen Elemente der Spin-Gruppe auf orthogonale oder unitäre Matrizen abgebildet werden.

Dazu folgendes Lemma: Sind  ,   selbstadjungierte unitäre Abbildungen auf   mit   und  , so zerfällt   in isomorphe, zueinander orthogonale Unterräume   und  . Das Tripel   lässt sich isomorph abbilden auf

 

  ist die Identität auf  . Das auftretende Tensorprodukt kann hier auch als das Kronecker-Produkt von Matrizen aufgefasst werden.

Weyl-SpinorenBearbeiten

Eine Weyl-Spinor-Darstellung, benannt nach Hermann Weyl, ist eine kleinste komplexe Darstellung von  . Diese ist gleichzeitig auch die kleinste komplexe Darstellung der geraden Unteralgebra  .

Angenommen, wir hätten eine komplexe Darstellung   von   in einen hermiteschen Vektorraum   vorliegen. Dabei sind die Bilder   (der Kürze wegen lassen wir im weiteren das   weg) unitäre, selbstadjungierte Abbildungen von   in sich.

  und   erfüllen die Voraussetzungen des Lemmas, wir können also zu einer isomorphen Darstellung

  mit   und  

übergehen.

Um die Gestalt von   einzuschränken, betrachten wir das Produkt   und stellen fest, dass aufgrund der Vertauschungsregeln

  und  

sich folgende Gestalt zwingend ergibt

  mit  

Da der Vektorraum   komplex ist, können wir ihn in zueinander orthogonale Unterräume   und   aufspalten, auf welchen   wie   oder   wirkt. Beide Unterräume ergeben separate Darstellungen, die jeweils minimalen sind zueinander komplex konjugiert, die Matrizen sind die schon genannten Pauli-Matrizen, denn wenn  , so ist

 

Im minimalen Fall ist  ,   oder umgekehrt. Es gibt also zwei konjugierte Weyl-Spinor-Darstellungen.

Anwendung: siehe Weyl-Gleichung

Dirac-SpinorenBearbeiten

In der Quantenelektrodynamik bzw. Atiyah-Singer-Indextheorie wird der Dirac-Operator definiert. Das „wie“ ist nicht wichtig, nur, dass eine Darstellung der gesamten Clifford-Algebra benötigt wird. Die Dirac-Spinor-Darstellung, nach Paul Dirac, ist bei Anwendung in 3+1 Raum-Zeit-Dimensionen die kleinste komplexe Darstellung von  . Es werden aber auch höherdimensionale Dirac-Spinoren zum Beispiel in der Stringtheorie betrachtet.

Ist eine solche komplexe Darstellung gegeben, so können wir wie oben die Darstellung der geraden Unteralgebra analysieren. Um auch den ungeraden Teil zu bestimmen, betrachten wir das Bild von  . Es kommutiert mit   und antikommutiert mit  . Wie oben stellen wir fest, dass

  mit  

Man überzeugt sich, dass   die Unterräume   und   vertauscht, wir können also die Darstellung durch eine noch weiter faktorisierte ersetzen:

  mit den Bildern der Generatoren
 
 
 
 

Die minimale Dirac-Spinor-Darstellung ist wieder die mit   (und jede dazu isomorphe).

Dirac-Spinoren in 3+1 Dimensionen dienen im Rahmen der Quantenelektrodynamik zur mathematischen Beschreibung von Fermionen mit Spin 1/2. Zu diesen Dirac-Fermionen gehören im Standardmodell der Teilchenphysik sämtliche fundamentalen Fermionen.

Majorana-SpinorenBearbeiten

Die Majorana-Spinor-Darstellung, nach Ettore Majorana, sowohl der Spin-Gruppe als auch der Clifford-Algebra ist die kleinste reelle Darstellung von  . Wir können die Analyse von oben übernehmen bis zu der Stelle, an welcher   und   auf   definiert sind. Hier können wir nun   nach   zerlegen in   und  ,   vertauscht beide Unterräume, allerdings ist  , somit

  mit   und  

Nach Ausmultiplizieren erhalten wir für  

  mit den Bildern der Generatoren
 
 
 
 

Sie dienen in der Elementarteilchenphysik zur Beschreibung von Majorana-Fermionen, die aber bisher noch nicht beobachtet wurden.

DrehverhaltenBearbeiten

Aus Obigem ist die für die Physik vielleicht wesentlichste Eigenschaft der Spinoren nicht leicht zu erkennen bzw. zu folgern:

  • Für Teilchen mit ganzzahligem Spin   (gemessen in Einheiten des reduzierten Planck'schen Wirkungsquantums   ), sogenannte Bosonen, wird die Wellenfunktion bei einer vollen Drehung um   mit dem Faktor   multipliziert, d. h. sie bleibt unverändert.
  • Dagegen ergibt sich für Teilchen mit halbzahligem Spin, die Fermionen, bei einer vollen Drehung um   der Faktor -1 für die Wellenfunktion. D. h. diese Teilchen wechseln bei einer vollen Drehung das Vorzeichen ihrer quantenmechanischen Phase bzw. sie müssen zwei volle Drehungen durchführen, um wieder in ihren Ausgangszustand zu gelangen, ähnlich dem Stundenzeiger einer Uhr.

Ganz- oder halbzahlige Werte von   sind die einzigen Möglichkeiten für die Ausprägung des Spins.

Verallgemeinerung in der MathematikBearbeiten

In der Mathematik, speziell in der Differentialgeometrie, wird unter einem Spinor ein (meist glatter) Schnitt des Spinorbündels verstanden. Das Spinorbündel ist ein Vektorbündel, das wie folgt entsteht: Ausgehend von einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g) bildet man Bündel P der ON-Repere. Dieses besteht punktweise aus allen orientierten Orthonormalbasen:

 

Dies ist ein Hauptfaserbündel mit Strukturgruppe  . Eine Spin-Struktur ist dann ein Paar (Q,f) aus einem Hauptfaserbündel Q mit Strukturgruppe Spinn und einer Abbildung  , die folgende Eigenschaften erfüllt:

  1.  , wobei   und   die Projektionen der Hauptfaserbündel sind und
  2.  , wobei   die zweifache Überlagerungsabbildung ist.

Eine Spin-Struktur existiert nicht zu jeder Mannigfaltigkeit, existiert eine, so nennt man die Mannigfaltigkeit spin. Die Existenz einer Spin-Struktur ist äquivalent zum Verschwinden der zweiten Stiefel-Whitney-Klasse.

Gegeben eine Spin-Struktur (Q,f) konstruiert man das (komplexe) Spinorbündel wie folgt: Man nutzt die (bei Einschränkung auf die Spin-Gruppe eindeutige) irreduzible Darstellung der (komplexen) Clifford-Algebra   (vergleiche hier) und bildet das Spinorbündel als assoziiertes Vektorbündel

 ,

wobei die Äquivalenzrelation durch   gegeben ist.

Analoge Konstruktionen lassen sich auch durchführen, wenn man die riemannsche Metrik durch eine pseudoriemannsche ersetzt. Die oben beschriebenen Spinoren sind Spinoren im hier beschriebenen Sinne über der Mannigfaltigkeit   mit der pseudo-euklidischen Metrik  . Das Spinorbündel ist in diesem Fall ein triviales Vektorbündel.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Cartan, Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane, Bull. Soc. Math. France, Band 41, 1913, S. 53–96
  2. Die Geschichte der Spinoren ist zum Beispiel dargestellt in Marcel Berger, A panoramic view of Riemannian Geometry, Springer 2003, S. 695f
  3. Cartan, The theory of spinors, Hermann 1966, Dover 1981, zuerst 1938 in Französisch als Leçons sur la théorie des spineurs bei Hermann in zwei Bänden erschienen
  4. Martina Schneider, Zwischen zwei Disziplinen. B. L. van der Waerden und die Entwicklung der Quantenmechanik, Springer 2011, S. 122
  5. Van der Waerden, Göttinger Nachrichten, Spinoranalyse, Nachrichten Ges. Wiss. Göttingen, 1929, S. 100. Der Aufsatz eröffnet mit der von Ehrenfest gestellten Frage.
  6. Pauli, Brief an Jordan 12. März 1927, in Pauli, Briefwechsel, Band 1, Springer 1979, S. 385
  7. Brauer, Weyl, Spinors in n dimensions, American Journal of Mathematics, Band 37, 1935, S. 425–449
  8. Chevalley, The algebraic theory of spinors. New York, Columbia University Press 1954. Nachdruck in den Gesammelten Werken von Chevalley, Band 2 (Springer 1996) mit Nachwort von Jean-Pierre Bourguignon.
  9. Berger, loc. cit. Die Konstruktion von Spinor-Bündeln auf riemannschen Mannigfaltigkeiten war nach Berger in den 1950ern Folklore und das Jahr 1963 war herausragend in der Geschichte der Spinoren nicht nur durch die Einführung des Atiyah-Singer-Indextheorems, sondern auch durch die Formel für die Skalarkrümmung von André Lichnerowicz