Ein Dirac-Spinor ist ein Begriff aus der Mathematik, der nach Paul Dirac benannt ist. Dirac-Spinoren sind ein Elemente der fundamentalen Darstellung der komplexifizierten Clifford-Algebra und sind somit eine bestimmte Gattung von Spinoren. Sie sind ein nützliches Konzept der Quantenphysik.

Häufig als Dirac-Spinoren bezeichnet werden auch Lösungen der Dirac-Gleichung. Diese sind Dirac-Spinorfelder, das heißt jedem Punkt der Raumzeit wird ein vierdimensionaler Dirac-Spinor zugeordnet.

Mathematische KonstruktionBearbeiten

Sei  . Die komplexifizierte Clifford-Algebra   ist isomorph zur Matrizenalgebra   falls   gerade ist, oder isomorph zu   falls   ungerade ist. In jedem Fall hat sie eine kanonische  -dimensionale Darstellung, die also für alle Signaturen   mit   existiert und auch eine Darstellung der Spin-Gruppe   ist. Diese Darstellung heißt Spinor-Darstellung, die Vektoren dieses Darstellungsraumes werden als Dirac-Spinoren bezeichnet.

In ungeraden Dimensionen   ist diese Darstellung, als Darstellung von   betrachtet, reduzibel. Sie kann in zwei sogenannte Weyl-Spinoren der Dimension   zerlegt werden:  .

Anwendung in der ElementarteilchenphysikBearbeiten

Dirac-Spinoren in 3+1 Raum-Zeit-Dimensionen, also zu  , dienen im Rahmen der Quantenelektrodynamik zur mathematischen Beschreibung von Fermionen mit Spin 1/2. Zu diesen Dirac-Fermionen gehören im Standardmodell der Teilchenphysik sämtliche fundamentalen Fermionen. In diesem Fall sind die Dirac-Spinoren vierdimensional, gehören zu einer Darstellung der Lorentzgruppe und sind Lösungen der Dirac-Gleichung.

Majorana-Fermionen wurden dagegen bisher nicht gefunden, aber von manchen vereinheitlichten Feldtheorien vorhergesagt. Sie entsprechen reellen Darstellungen der Cliffordalgebren. In Stringtheorien und Branentheorien werden auch Dirac-Spinoren in höheren Dimensionen betrachtet.

LiteraturBearbeiten